答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁湖北省部分名校2025-2026學年高三上學期9月月考數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（

）A．1 B． C． D．2．已知全集，，則集合B真子集的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．323．已知函數(shù)的圖象過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則的值為（

）A． B． C．2 D．44．當時，關(guān)于x的不等式有解的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．已知，，，，則的值為（

）A．或 B． C． D．6．的展開式中的系數(shù)為（

）A．162 B．168 C．180 D．1857．已知A、B是圓C：上的兩點，且，點O為坐標原點，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．8．已知，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定二、多選題9．已知是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．已知a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，則（

）A． B．C． D．若，則的面積為811．甲乙兩人各有三張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6.兩人進行三輪比賽.在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的一方獲勝并得1分，數(shù)字小的一方得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則（

）A．第一輪甲獲勝的概率為B．在第一輪甲獲勝的條件下，第二輪甲獲勝的概率為C．乙的總得分不小于2的概率為D．甲的總得分的期望為三、填空題12．若函數(shù)在處有極小值，則實數(shù)a的值為.13．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，等比數(shù)列的首項為1，若，則的值為.14．已知雙曲線：，與斜率為1且不過原點的直線交于，兩點，是雙曲線上一點，且，與的重心分別是，，的外心記為，直線、、的斜率之積為，則該雙曲線的離心率為.四、解答題15．記為數(shù)列的前n項和，已知.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前n項和.16．隨機抽取某集團公司旗下五家超市，得到廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：廣告支出x（萬元）24568銷售額y（萬元）2030506070(1)計算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高，）(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測若廣告支出15（萬元），則銷售額約為多少萬元？參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為，，.17．如圖，在等腰梯形中，，，，為邊上靠近點的三等分點，現(xiàn)將三角形沿翻折，得到四棱錐，使得平面平面，為棱的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由.18．如圖，在圓上任取一點P，過P作x軸的垂線段PH，H為垂足，當P點在圓上運動時，線段PH的中點M的軌跡記為曲線C，當P經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定點M與點P重合.

(1)求曲線C的標準方程；(2)設曲線C的右頂點為D，若直線l（不過D點）與曲線C交于A，B兩點，滿足，證明：直線l過定點.19．已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對于任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對任意的正整數(shù)n，.《湖北省部分名校2025-2026學年高三上學期9月月考數(shù)學試卷》參考答案題號12345678910答案CABCBBDCBDABD題號11答案AC1．C【分析】根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)求解，即得答案.【詳解】.故選：C2．A【分析】根據(jù)題干條件，求出集合B，代入公式，即可得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，共4個元素，所以集合B真子集的個數(shù)為.故選：A3．B【分析】易知，且函數(shù)為偶函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可求出的值即可.【詳解】由函數(shù)過原點可知，即可得，即；又函數(shù)定義域為，且滿足，可知函數(shù)為偶函數(shù)，易知當時，趨近于0，所以函數(shù)趨近于,因此可得，所以；即.故選：B4．C【分析】先求出當時，關(guān)于x的不等式有解的充要條件，再根據(jù)充分不必要條件與充要條件的關(guān)系得出答案.【詳解】當時，關(guān)于x的不等式有解，即在上有解.令，，所以，則，代入得，當且僅當時取等號，此時，的最小值為6.故當時，關(guān)于x的不等式有解的充要條件是，所以滿足題意的充分不必要條件是的真子集，選項中只有C符合故選：C5．B【分析】由題意得，，進一步得的值為.【詳解】因為，，所以，因為，，所以，因為，所以，所以，所以的值為.故選：B.6．B【分析】根據(jù)給定條件，求出展開式的通項公式，再利用多項式乘法法則求解.【詳解】二項式展開式的通項公式為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：B7．D【分析】確定圓C的圓心和半徑，進而確定點H在以C為圓心，半徑為1的圓上，結(jié)合向量的模的幾何意義以及圓的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由于，即為，故圓C的圓心為，半徑為2，設H為的中點，則，結(jié)合，得,即點H在以C為圓心，半徑為1的圓上；

又，則而，故的最小值為，則的最小值為，故選：D8．C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理確定的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】令函數(shù)，函數(shù)在R上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，同理函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，，則；，，則，即，所以.故選：C9．BD【分析】利用線面的位置關(guān)系的性質(zhì)定理逐項分析判斷即可.【詳解】選項A：若，，則或或直線n與平面相交，故A選項不正確；

選項B：若，則在平面內(nèi)存在一條直線，使得，又，根據(jù)線面垂直定義得，所以，故選項B正確；選項C：若，，則或，故C選項不正確；選項D：若，，則，選項D正確；故選：BD.10．ABD【分析】由正余弦定理、三角形面積公式及三角函數(shù)公式依次判斷各選項.【詳解】對于A，由，可得，，所以，故A正確；對于B，由于，結(jié)合正弦定理可得，即，所以，故B正確；對于C，由，則，，解得，故C錯誤；對于D，由，得，解得，則，由正弦定理得，解得，所以的面積為，故D正確.故選：ABD.11．AC【分析】根據(jù)枚舉法和古典概型的概率公式判斷A；根據(jù)條件概率公式計算判斷B；利用間接法計算概率判斷C；根據(jù)離散型隨機變量的期望公式計算判斷D；【詳解】對于A，根據(jù)題意第一輪兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，所有可能組合有種：，甲獲勝的情況是甲的數(shù)字大于乙的數(shù)字，有3種，所以甲獲勝的概率為，A正確；對于B，設“第一輪甲獲勝”為事件，“第二輪甲獲勝”為事件，由上可知第一輪甲獲勝的概率為，第一輪甲獲勝且第二輪甲獲勝的概率，根據(jù)條件概率公式，B錯誤；對于C，乙的總得分不小于2，即乙至少贏2輪，乙贏0輪：三輪甲都獲勝，由題意可知枚舉法所以種三輪選卡的排列，此時甲的排列需滿足每輪甲的數(shù)字大于乙的數(shù)字，因為甲中1小于乙排列中4，2，6無論怎么排列，都不滿足甲全贏；所以乙贏0輪，即乙得分為0的概率為0.乙贏1輪：兩輪甲獲勝，此時兩輪甲的排列需滿足每輪甲的數(shù)字大于乙的數(shù)字，一輪甲的排列需滿足每輪甲的數(shù)字小于乙的數(shù)字，具體有：；；；；，有6種，所以兩輪甲獲勝，即乙得分為1分的概率為，因此乙的總得分不小于2的概率為，C正確；對于D，設甲總得分為，則的可能取值為，在不考慮出牌順序的前提下，第一行為甲出牌，其余為乙出牌，如下表，甲得分135024612641426146226241642甲、乙兩人出牌共有36種，則，，則，D錯誤；故選：AC.12．【分析】通過對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在處有極小值，可知，解得的值，再驗證即可求出的值．【詳解】由，得，函數(shù)在處有極小值，所以，解得或，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以是的極小值，符合題意.當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以是的極大值，不符合題意.綜上所述，實數(shù)a的值為.故答案為：.13．【分析】設等比數(shù)列的公比為，由，得，進而計算，即可得，又由對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，所以，所以，又，所以，所以，所以，故答案為：.14．2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級結(jié)論斜率之積為定值，取，的中點，，得到，再由，，結(jié)合直線OP、OQ、OR的斜率之積為，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線，有兩個交點，，設的中點為，由，得，所以，所以，所以，所以，所以.取，的中點，，連接，，易知的重心在中線上，的重心在中線上，所以，，又，所以，由，得，所以，因為，且的外心為點，所以為線段的中點，所以，又，所以，所以，所以，所以.故答案為：2.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）當時，求出的值，當時，由可得到，兩式作差可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）由（1）中的結(jié)論可求出數(shù)列的通項公式，求得的表達式，再利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）令時，，即得，當時，①，②，由①②得，，又由，又，，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（2），，因為，所以，，兩式相減得：，所以.16．(1)，可以認為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度(2)，銷售額為136萬元.【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)即可判斷.（2）根據(jù)公式求出，進而確定線性回歸方程，然后將廣告支出代入方程中求出銷售額即可.【詳解】（1）根據(jù)表格里的數(shù)據(jù)可得：，.所以...所以可以認為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度.（2）根據(jù)公式可得：，.所以關(guān)于的線性回歸方程為.當廣告支出15萬元時，銷售額約為萬元.17．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，得出線線平行，再應用線面平行判定定理證明；（2）建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函數(shù)關(guān)系求解正弦；（3）設再應用點到平面距離即可計算求參.【詳解】（1）取的中點N，連接，如圖所示：

為棱的中點，四邊形ABMN是平行四邊形，又平面，平面，平面.（2）

由在等腰梯形中，，，為邊上靠近點的三等分點，可得，也即又平面平面，交線為,平面，所以平面，又平面ABCD，又以點D為坐標原點，

所在直線分別為軸建立直角坐標系，,如圖，則為棱的中點，（i）設平面的一個法向量為則令則平面的一個法向量為所以二面角的正弦值為.（3）假設在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，設則由（i）知平面的一個法向量為點Q到平面的距離是18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設，，由題意得到，結(jié)合點在圓上，得，將代入，即得點M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意，將式子化簡可得，然后分直線的斜率存在與不存在討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理代入計算，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）設，，則，因點是線段的中點，則得，即，因為點在圓上，則有，所以把代入上述方程，可得，即曲線的標準方程是.（2）由（1）知，設則，將兩邊平方，可得，即，代入坐標得，即（*），

①如圖，當直線垂直于軸時，且，則將上式代入（*）化簡得：，解得（舍），此時方程為，顯然經(jīng)過點；

②如圖，當直線的斜率存在時，設，聯(lián)立方程可得，由，可得，且，，由（*），，可得，即將，代入上式，整理得，即，解得或，當時，直線過點，不符合題意；所以，此時直線的方程為恒經(jīng)過點.綜上所述，直線過定點.19．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）直接求導，再令，解出即可；（2）求導得，注意，再利用必要性