試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁天津市河西區(qū)天津市第四十一中學2025-2026學年高三上學期開學數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設集合，，，則（

）A． B． C． D．2．下列條件中，使成立的必要而不充分條件是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．4．少年強則國強，少年智則國智．黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，提高學生身體素質．為了加強對學生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學生中，抽查了100名學生的體重數(shù)據(jù)情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．樣本的眾數(shù)為65 B．樣本的第80百分位數(shù)為72.5C．樣本的平均值為67.5 D．該校學生中低于的學生大約為1000人5．設，，，則（

）A． B．C． D．6．已知等比數(shù)列的首項為1，若，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項和為（

）A． B．2C． D．7．已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．設、分別為雙曲線（，）的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線與拋物線的準線圍成三角形的面積為（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，關于該函數(shù)有下列四個說法：①的圖象關于點對稱；②的圖象關于直線對稱；③的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到；④若方程在上有且只有兩個極值點，則的最大值為．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題10．已知復數(shù)的實部為5，虛部為-1，則.11．在的展開式中，常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）12．寫出與直線和軸都相切，半徑為的一個圓的方程：．13．隨著城市經濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式有自駕?坐公交車?騎共享單車三種，某天早上他選擇自駕?坐公交車?騎共享單車的概率分別為，而他自駕?坐公交車?騎共享單車遲到的概率分別為，則小明這一天遲到的概率為；若小明這一天遲到了，則他這天是自駕上班的概率為.14．在△ABC中，，，，，則，若動點F在線段AC上，則的最小值為.15．已知函數(shù)若關于的方程有6個互不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.三、解答題16．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，的面積為，．(1)求A的值；(2)求b的值；(3)求的值．17．已知橢圓的離心率，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程.18．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．19．已知函數(shù)，.(1)若，求的單調區(qū)間.(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求的范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《天津市河西區(qū)天津市第四十一中學2025-2026學年高三上學期開學數(shù)學試題》參考答案題號123456789答案DBCBDCABC1．D【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡,進而由集合的交并補運算即可求解.【詳解】或，由得,所以，故選：D2．B【解析】根據(jù)不等式的性質和必要不充分條件的定義判斷．【詳解】是假命題，不是必要而不充分條件；是正確的，但不能得出，是必要而不充分條件；與之間不能相互推出，不是必要而不充分條件，也不充分；，是充要條件．故選：B．3．C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除AD，取特殊點排除B，由此可得結論.【詳解】由可得，，，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象不關于軸對稱，A，D錯誤，又，B錯誤；選項C滿足以上要求.故選：C.4．B【分析】根據(jù)眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義判斷A，B，C，再求低于的學生的頻率，由此估計總體中體重低于的學生的人數(shù)，判斷D.【詳解】由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為，A錯誤；平均數(shù)為，C錯誤；因為體重位于的頻率分別為，因為，所以第80百分位數(shù)位于區(qū)間內，設第80百分位數(shù)為，則，所以，即樣本的第80百分位數(shù)為72.5，B正確；樣本中低于的學生的頻率為，所以該校學生中低于的學生大約為，D錯誤；故選：B.5．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性分別判斷出的范圍，然后可得到結果.【詳解】由對數(shù)函數(shù)單調性可知：，由指數(shù)函數(shù)單調性可知：，由冪函數(shù)單調性可知：，所以，故選：D.6．C【分析】設的公比為，由，，成等差數(shù)列求出，再由等比數(shù)列前和公式得的前5項和．【詳解】解：設的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，所以，所以．所以，因為，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以．故選：C．7．A【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質，求出球的半徑，即可得出結論.【詳解】設圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質平面，，球的表面積.故選：A

【點睛】本題考查球的表面積，應用球的截面性質是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.8．B【分析】由題意首先求得漸近線方程，然后結合漸近線方程確定其與準線方程的交點坐標，最后求解三角形的面積即可.【詳解】依題意，可知是一個等腰三角形，在直線的投影是其中點，由勾股定理可知|根據(jù)雙曲定義可知，整理得，代入整理得，所以所以雙曲線漸近線方程為，即，拋物線的準線方程為，漸近線與拋物線的準線的交點坐標為：，，的面積.所以雙曲線的漸近線與拋物線的準線圍成三角形的面積為.故選：B.9．C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及五點作圖法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質一一判斷即可.【詳解】依題意可得，，，再根據(jù)五點法作圖可得，解得，．因為，所以的圖象關于點對稱，故①正確；因為，所以的圖象關于直線對稱，故②正確；將的圖象向左平移個單位長度得到，故③錯誤；因為，當時且，，因為函數(shù)在上有且只有兩個極值點，所以，解得，即的最大值為，故④正確；故選：C10．【分析】根據(jù)題意，得到，由復數(shù)的運算法則，利用模的計算公式，即可求解.【詳解】由復數(shù)的實部為，虛部為，可得，則，所以.故答案為：.11．【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求得答案.【詳解】的展開式的通項公式為，令，故常數(shù)項為，故答案為：12．（答案不唯一）.【分析】由題意可得圓心為，再由圓心到直線的距離為半徑，求解即可得出答案.【詳解】因為直線和軸都相切，所以圓心為，當圓心為時，，解得或；當圓心為時，，解得或．所以圓的方程為或或或．故答案為：（答案不唯一）.13．【分析】設事件表示“自駕”，事件表示“坐公交車”，事件表示“騎共享單車”，事件“表示遲到”，利用全概率公式可得小明這一天遲到的概率；利用貝葉斯公式即可得到若小明這一天遲到了，則他這天是自駕上班的概率；或者在遲到的前提下計算概率即可．【詳解】由題意設事件表示“自駕”，事件表示“坐公交車”，事件表示“騎共享單車”，事件表示“遲到”，則.由全概率公式可得小明這一天遲到的概率：.解法一：小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是.解法二：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率.故答案為：；.14．/0.5【分析】第一空：用分別表示出，再由數(shù)量積的定義及運算律即可求出；第二空：設，用分別表示出，由數(shù)量積的定義及運算律表示出，結合二次函數(shù)求出最小值.【詳解】

第一空：，則，則，又，，故，解得；第二空：設，，，則，當時，取得最小值.故答案為：；.15．【分析】如圖，結合圖象得出解的情況，設，則原方程變?yōu)椋鶕?jù)解的情況，可得出方程三根的取值范圍，根據(jù)解的范圍，即可得出系數(shù)的范圍.【詳解】由題意，畫出直線和函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知，當時，有3個解.設，則原方程變?yōu)椋栽匠逃?個不同的實數(shù)解的充要條件是方程的兩根滿足且.則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：．【點睛】思路點睛：畫出直線和函數(shù)的圖象，.進而根據(jù)圖象，得出解的情況.然后根據(jù)已知零點的個數(shù)，分析得出方程根的分布情況，即可得出系數(shù)的范圍.16．(1)(2)8(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化及三角恒等變形化簡得，結合三角形內角即可求A的值；（2）由面積公式可得，利用余弦定理得，結合即可求b的值；（3）由（2）知，利用余弦定理的推論可求，根據(jù)倍角公式求出，最后用和差公式求值即可．【詳解】（1）由正弦定理得，，，，又，所以．（2），即①，又，即②，由①②解得或，又，所以b的值為8．（3）由（2）知，所以，，又，所以，，則，所以，即的值為．17．(1)(2)或【分析】（1）由長軸長可得，再根據(jù)離心率可得，再求，即可得到方程；（2）方法一、根據(jù)題意，直線斜率為0時，得到不符合題意，當直線斜率不為0時，設，聯(lián)立曲線得到，再根據(jù)求解即可；方法二、直線斜率不存在時，，不符合題意，當直線斜率存在時，設，聯(lián)立曲線得到，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）由題可知，，，又，且，解得，，則橢圓的方程為.（2）法一：①當直線斜率為0時，，不符合題意.②當直線斜率不為0時，設直線方程為，聯(lián)立，得，，設，則.由題意，，即，解得.故直線的方程為：或.法二：①當直線斜率不存在時，，不符合題意.②設直線方程為，聯(lián)立，得，，設，則，由，得，即，解得.故直線的方程為或.18．(1)，；(2)【分析】（1）設出公差和公比，根據(jù)條件得到方程組，求出公差和公比，得到通項公式；（2），利用錯位相減法求和得到答案.【詳解】（1）設公差為，公比為，，故，，，故，聯(lián)立，解得或（舍去），故，；（2），設數(shù)列的前項和為，則，①，②兩式①-②得，所以.19．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，直接判斷函數(shù)單調區(qū)間；（2）分情況討論函數(shù)單調性，即可判斷函數(shù)最值，進而解決不等式恒成立問題