答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年全國100所名校高三下學期模擬聯(lián)考測試（二）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若有一組數(shù)據(jù)為6，6，5，5，4，4，3，2，1，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．2．若復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．若為正方體，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．4．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象與的圖象完全重合，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．若，，，則（

）A． B． C． D．6．已知兩個非零向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．7．若存在，使得成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與曲線的右支交于一點，直線平分，過點，作直線的垂線，垂足分別為，，為坐標原點，則的面積為（

）A．10 B．12 C．16 D．8二、多選題9．已知集合，，則（

）A．B．C．D．10．已知定義域為的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸B．為周期函數(shù)C．D．為偶函數(shù)11．如圖一，四邊形為矩形，，，，，，分別為矩形各邊的中點，現(xiàn)按圖中虛線折起，得到圖二所示的四面體，其中點，，，重合為點，則在圖二中，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．四面體的體積為D．四面體的外接球的表面積為三、填空題12．已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是.13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一動點，為的內(nèi)心，若直線和的斜率分別為，，其中為坐標原點，則.14．已知，，且，則的最大值為.四、解答題15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.(1)求角的大?。?2)若，，求的面積.16．已知拋物線上的點到焦點的距離為4.(1)求的值；(2)過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程.17．如圖，是圓柱底面內(nèi)接正三角形，，，為圓柱的母線，，為的中點，，分別為，的中點，直線與平面相交于點.(1)求的值；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：；(3)表示不超過的最大整數(shù)，如，，設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若隨機變量可取的值為，，且，，為的數(shù)學期望.證明：（i）；（ii）.《2025年全國100所名校高三下學期模擬聯(lián)考測試（二）》參考答案題號12345678910答案CDABCDBDBCDABC題號11答案ABD1．C【分析】借助平均數(shù)定義計算即可得.【詳解】平均數(shù)為.故選：C.2．D【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則及模長的計算公式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：D.3．A【分析】由題意作圖，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，利用異面直線夾角的定義，可得答案.【詳解】連接，，如下圖：易知，所以為異面直線與所成的角（或其補角），易知為等邊三角形，所以.故選：A.4．B【分析】結(jié)合三角函數(shù)周期計算即可得.【詳解】由題知，是函數(shù)周期的整數(shù)倍，所以，所以，所以正數(shù)的最小值為4.故選：B.5．C【分析】借助全概率公式與對立事件概率公式計算即可得.【詳解】因為，所以，解得.故選：C.6．D【分析】根據(jù)向量的模長、數(shù)量積運算，再根據(jù)投影向量公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以向量在向量上的投影向量為．故選：D.7．B【分析】化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】不等式等價于，即.令，由可知，在上為增函數(shù)，，，則，令，，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以結(jié)合題意可知，即實數(shù)的最小值為1.故選：B8．D【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，結(jié)合平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理和性質(zhì)、雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】延長，交于點，延長，交于點.由題知為直徑，所以，因為直線平分，所以，且，分別為，的中點，所以，，所以，所以，所以為等腰直角三角形.因為，所以的面積為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義、平行線的性質(zhì).9．BCD【分析】先解一元二次不等式及絕對值不等式，再分別求出交集，并集，及補集最后分別判斷各個選項即可.【詳解】由題易知，，所以，，所以，，，故選項A錯誤，選項B，C，D正確.故選：BCD.10．ABC【分析】根據(jù)條件可得到，可得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，再結(jié)合條件，可得是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，是函數(shù)的一個周期，即可判斷出選項A，B和C的正誤；對于D，先假設(shè)為偶函數(shù)，根據(jù)題設(shè)得出矛盾，即可求解.【詳解】因為，令，得到，所以，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，令，得到，即，所以，故是函數(shù)的一個周期，所以選項B正確，又，可得，所以直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，故選項A正確，對于選項C，因為是函數(shù)的一個周期，則，又定義為，且圖象關(guān)于點中心對稱，所以，得到，所以選項C正確，對于選項D，假設(shè)為偶函數(shù)，則，因為，令，則，所以，則是函數(shù)的一個周期，又函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，所以直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，矛盾，所以選項D錯誤，故選：ABC.11．ABD【分析】由題分析折疊前后圖形中的不變量可知，，以及三棱錐的棱長，選項B即可判斷；對于選項A，證明線面垂直即可判斷；對于選項C，利用三棱錐體積公式即可求解；對于選項D，根據(jù)三棱錐對棱棱長相等可知三棱錐可放到長方體中，則三棱錐外接球的直徑即為長方體的體對角線，選項D即可判斷.【詳解】由題知，，.又，平面，平面，平面.又平面，，即，故選項A正確；，，故選項B正確；，，，.，，，平面，平面，平面.所以四面體的體積為，故選項C錯誤；，，所以四面體可以放入長方體中，如圖所示，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則有，解得，所以外接球的表面積，故選項D正確.故選：ABD.12．【分析】因為分段函數(shù)的函數(shù)值計算求參.【詳解】當時，不合題意；當時，,符合題意，結(jié)合，所以.故答案為：13．/【分析】結(jié)合橢圓性質(zhì)與內(nèi)切圓中的切線長定理，可得，設(shè)，可得，則有，再由等面積可得，從而表示斜率即可得解.【詳解】由題知，，，，，設(shè)，的內(nèi)切圓與，，的切點分別為，，，則、、，所以，即，因為，所以，所以，，易知與同號，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于結(jié)合切線長定理，得到，從而得到.14．【分析】借助對數(shù)運算法則，可得，再令，則有，結(jié)合基本不等式計算可得，即可得，故.【詳解】，令，則，因為，即，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以，所以，即的最大值是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于設(shè)出，再結(jié)合基本不等式得到，即可得解.15．(1)(2)【分析】（1）通過正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，根據(jù)兩角和的正弦公式即可得解；（2）通過余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，因為，所以.（2）由（1）知，，因為，，，所以，解得，所以的面積為.16．(1)6(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式，求出的值，即得答案.（2）由（1）可得拋物線方程，設(shè)直線方程，并聯(lián)立，利用拋物線弦長公式求出參數(shù)，即得答案.【詳解】（1）由題知，，所以.因為點到焦點的距離為4，所以4，所以，即，所以，所以.（2）由（1）知，拋物線的方程為，其焦點坐標為.設(shè)，，由題意知l的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.由得，，所以，所以.因為，所以，即，解得，所以直線的方程為，即.17．(1)(2)【分析】（1）延長至點，使得，證明，過點作的垂線，垂足為，結(jié)合相似三角形性質(zhì)求結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求平面與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】（1）因為，分別為，的中點，所以，延長至點，使得，連接，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.連接，交于點，過點作的垂線，垂足為，則，，又為的中點，所以為的中點，又，為的中點，故，所以，又，是正三角形，故，.由相似易知，，即，解得，所以.（2）設(shè)的中點為，連接，，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，，所以是平面的一個法向量.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，，所以是平面的一個法向量.故，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）分析可知數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式運算求解；（2）根據(jù)（1）可得，再利用等比數(shù)列求和公式分析證明；（3）根據(jù)（1）結(jié)合二項式定理求數(shù)列的通項公式，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解.【詳解】（1）因為，則，且，則，可知數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，可得，所以.（2）由（1）可知，，則，可得.又因為，所以.（3）由（1）可知，，則.因為，可得，當為奇數(shù)時，則，即；當為偶數(shù)時，則，即.設(shè)為數(shù)列的前項和，可得.所以數(shù)列的前項和為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵在于根據(jù)結(jié)合二項展開式整理，并討論奇偶項求數(shù)列的通項公式.19．(1)答案見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）先求出導函數(shù)再分和兩種情況分別得出導函數(shù)正負進而得出單調(diào)性（2）（i）應(yīng)用（1）知，進而得出相乘結(jié)合數(shù)學期望性質(zhì)計算證明；（ii）結(jié)合結(jié)合對數(shù)的運算律計算證明.【詳