答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁河北省衡水市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期一調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，則（

）A．2 B．3 C． D．2．命題“”的否定是（）A． B．C． D．3．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若為空間的一個(gè)基底，則可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底B．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱C．若直線的一個(gè)方向向量與平面的一個(gè)法向量的夾角等于，則直線與平面所成的角等于D．在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一個(gè)法向量，若點(diǎn)在平面外，，則點(diǎn)到平面的距離為4．中，，則（

）A．是等腰三角形 B．是直角三角形C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形5．現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從15種疫苗中抽取5種檢測(cè)是否合格．②某科研院所共有480名科研人員，其中具有高級(jí)職稱的有48名，具有中級(jí)職稱的有360名，具有初級(jí)職稱的有72名．為了解該科研院所科研人員的創(chuàng)新能力，擬抽取一個(gè)樣本容量為20的樣本．③在中秋節(jié)前，某食品監(jiān)督局從某品牌的10盒月餅中隨機(jī)抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查．較為合理的抽樣方法是（

）A．①③簡單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣 B．①②簡單隨機(jī)抽樣，③分層抽樣C．②③簡單隨機(jī)抽樣，①分層抽樣 D．①簡單隨機(jī)抽樣，②③分層抽樣6．如圖，一個(gè)正三棱柱形容器中盛有水，且底面邊長和側(cè)棱長都為，若側(cè)面水平放置時(shí)，液面高為，若底面水平放置時(shí)，液面高為3，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，則常數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)家祖沖之、祖暅父子在《綴術(shù)》提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，用現(xiàn)代語言可以描述為：“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．”例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為的圓柱與半徑為的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為，高為的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用垂直于半徑的平面去截半徑為的半球，且球心到平面的距離為，則平面所截得的較小部分（稱之為“球冠”）的幾何體的體積是半球體積的（

）

A． B． C． D．二、多選題9．有1000人的某工廠舉行知識(shí)競賽，為了了解競賽成績（滿分100分，90分及以上為優(yōu)秀），從中抽取50人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．估計(jì)該工廠競賽成績優(yōu)秀的人數(shù)為40C．估計(jì)該工廠競賽成績的中位數(shù)為75D．估計(jì)該工廠競賽成績的平均數(shù)大于7510．已知事件兩兩互斥，若，，，則（

）A． B． C． D．11．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．存在點(diǎn)，使得直線平面B．過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為C．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值，且定值為D．的最小值為三、填空題12．已知向量，，，當(dāng)時(shí)，向量在向量上的投影向量為．（用坐標(biāo)表示）13．甲、乙、丙三人一同下棋（無平局），甲勝乙、乙勝丙、丙勝甲的概率分別為0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁觀，規(guī)則為負(fù)者在下一局旁觀，勝者與丙比賽……依次類推.若其中有一人累計(jì)勝兩局，則結(jié)束比賽，勝兩局者最終獲勝，則甲最終獲勝的概率是.14．已知一球內(nèi)切于棱長為的正四面體，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的體積最大為．四、解答題15．在中，角所對(duì)的邊分別為.(1)若，求的面積S；(2)若角C的平分線與的交點(diǎn)為，求的最小值.16．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；(2)求直線到平面的距離.17．某中學(xué)舉行了一次“垃圾分類知識(shí)競賽”，高一年級(jí)學(xué)生參加了這次競賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績x作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績進(jìn)行整理后，分為五組，其中第4組，第1組，第2組的頻數(shù)之比為1：2：4，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題：

(1)若根據(jù)這次成績，年級(jí)準(zhǔn)備淘汰80%的同學(xué)，僅留20%的同學(xué)進(jìn)入下一輪競賽，請(qǐng)問晉級(jí)分?jǐn)?shù)線劃為多少合理?(2)李老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差若剔除其中的95和85兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差；(3)從樣本數(shù)據(jù)在兩個(gè)小組內(nèi)的同學(xué)中，用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)，再從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來自同一小組的概率.18．如圖，在四棱錐中，平面是棱的中點(diǎn)，.(1)證明:平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.(3)若點(diǎn)在棱上，求平面與平面所夾銳角的余弦值的最小值.19．函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的對(duì)稱中心為，求函數(shù)的解析式．(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積．進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系．①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，當(dāng)時(shí)，求的最大值；②若，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，求的值.《河北省衡水市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期一調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案CDCCADCAABBCD題號(hào)11答案BC1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)模的公式求解.【詳解】由題意知，所以，故.故選：C2．D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定概念即可.【詳解】命題“”的否定為．故選：D．3．C【分析】A假設(shè)其共面，根據(jù)平面向量基本定理即可求出；B根據(jù)點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)定義即可；C根據(jù)方向向量、法向量夾角和線面角之間的關(guān)系即可；D利用點(diǎn)到面的距離公式求解.【詳解】對(duì)于A，假定向量共面，則存在實(shí)數(shù)使得，即，而不共面，則，此方程組無解，即不共面，故可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)為，故B正確；對(duì)于C，直線與平面所成的角等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確．故選：C．4．C【分析】利用切化弦及正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，得，進(jìn)而得或，即或，得解.【詳解】由，得，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，則，又，或，即或，所以是等腰或直角三角形.故選：C.5．A【分析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的概念判斷．【詳解】①③中總體容量較少，且個(gè)體沒有明顯差別，適合用簡單隨機(jī)抽樣；②中總體是由有明顯差異的幾部分組成的，適合用分層抽樣.故選：A．6．D【分析】根據(jù)液體體積不變列方程求解可得.【詳解】記側(cè)面水平放置時(shí)，液面與分別交于，的中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，的面積為，由題可知，，則，所以，則梯形的面積為，所以直棱柱的體積為，又底面水平放置時(shí)，液面高為3，所以液體體積為，所以，解得.故選：D.7．C【分析】由零點(diǎn)存在性判斷即可求.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由于，，所以，解得.故選：C8．A【分析】由題意可得所求球冠的體積等于圓柱體積的一半減去圓臺(tái)的體積，計(jì)算求解即可.【詳解】∵，，，∴，∴，半球體積為，所以平面所截得的較小部分（稱之為“球冠”）的幾何體的體積是半球體積的.故選：A.9．AB【分析】對(duì)于A，由頻率之和為1列方程即可；對(duì)于B，直接由頻率估計(jì)即可；對(duì)于CD，依次由中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可.【詳解】對(duì)于A，由題意，解得，故A正確；對(duì)于B，估計(jì)該工廠競賽成績優(yōu)秀的人數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，故該工廠競賽成績的中位數(shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，估計(jì)該工廠競賽成績的平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．BCD【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，故B正確；對(duì)于D，由，得，故D正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C正確.故選：BCD.11．BC【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判定可判斷ABC的正誤，利用展開法，結(jié)合余弦定理計(jì)算可求得的最小值，進(jìn)而判定D.【詳解】對(duì)于A，過點(diǎn)與平面平行的直線都在過點(diǎn)與平面平行的平面內(nèi)，易知過與平面平行的平面截正方體的截面為如圖所示的六邊形，其各頂點(diǎn)都是正方體的相應(yīng)棱的中點(diǎn)，由于，平面，平面，∴平面與直線平行，∴平面與線段沒有公共點(diǎn)，即點(diǎn)在平面外，點(diǎn)在平面內(nèi)，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵正方體的對(duì)面互相平行，∴過三點(diǎn)的平面截正方體的對(duì)面所得的截線互相平行，又∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴截面交于其中點(diǎn)，連接，則四邊形即為所求截面，顯然為等腰梯形，且，梯形的高，面積為，故B正確；對(duì)于C，∵，平面，，∴平面，又∵，∴點(diǎn)到平面的距離為定值，又∵的面積為定值，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，將矩形展開到與等腰直角三角形在同一平面內(nèi)，如圖所示，，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【分析】先根據(jù)向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以在上的投影向量為．故答案為?3．0.504【分析】列出甲最終獲勝的所有比賽情形，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別算出每種情形甲獲勝的概率，相加得到最終結(jié)果.【詳解】甲最終獲勝的所有比賽情形有3種，甲勝前兩局：；第一局甲勝乙，第二局丙勝甲，第三局乙勝丙，第四局甲勝乙：；第一局乙勝甲，第二局丙勝乙，第三局甲勝丙，第四局甲勝乙：，故甲最終獲勝的概率為.故答案為：0.504.14．【分析】根據(jù)題意作圖，利用正四面體的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，計(jì)算相關(guān)線段長度（如高），結(jié)合體積法（將正四面體體積分解為四個(gè)以內(nèi)切球心為頂點(diǎn)的小三棱錐體積之和）求出內(nèi)切球半徑，通過分析空隙處小球的位置，構(gòu)造相似三角形和，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出空隙處小球的最大半徑，最后根據(jù)球的體積公式計(jì)算小球體積即可．【詳解】如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，由正四面體結(jié)構(gòu)特征可知為的中心，面，設(shè)為中點(diǎn)，球和球分別與面相切于和．

易得，由，可得，又，，故，，，又由，可得，即，解得，即空隙處的最大球的半徑為．所以空隙處的最大球的體積為．故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，把化成，根據(jù)正弦定理可得，在根據(jù)余弦定理，可得角，再結(jié)合余弦定理，表示出，可得的值，進(jìn)而利用可求面積.（2）根據(jù)，結(jié)合可得：，再結(jié)合基本不等式，可求的最小值.【詳解】（1）由，得.由正弦定理得.所以，因?yàn)?，所?在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.（2）因?yàn)闉榻荂平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因?yàn)?，所以由基本不等式，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)易知，結(jié)合線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）因?yàn)槠矫?，直線到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，取的中點(diǎn)，連接，分析可知平面，結(jié)合等體積法可求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）連接，并交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，因此平?（2）因?yàn)槠矫妫本€到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：

因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫?，所以平面，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)?，、平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?、平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，因此，直線與平面的距離為.17．(1)78(2)8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)是90，方差是(3)【分析】（1）首先根據(jù)頻率比值求，再求百分位數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差公式，再結(jié)合10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和方差公式，即可求解；（3）利用編號(hào)和列舉的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1）第4組，第1組，第2組的頻數(shù)之比為1：2：4，所以，設(shè)晉級(jí)分?jǐn)?shù)線為分，則，得，所以晉級(jí)分?jǐn)?shù)劃為78分合理；（2）由條件可知，這10個(gè)數(shù)據(jù)的，，設(shè)剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，剩下8個(gè)數(shù)的方差為（3）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在，這兩組的頻率比為，所以抽取的6人中，抽取2人，抽取4人，這組的2人編號(hào)為，這組4人編號(hào)為，6人中所有抽取2人的組合包含，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況其中2人恰來自同一組包含，，，，，，，共7種情況，所以兩人恰好來自于同一小組的概率.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）應(yīng)用線面垂直得出結(jié)合已知應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面，再應(yīng)用線面垂直證明即可；（2）建