專題8.3簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型精講）1．多面體的側面積、表面積和體積2．旋轉體的側面積、表面積和體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.4．球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.5．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型1多面體的表面積與體積】【方法點撥】求解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積時，要結合具體條件，找出其中的基本量，利用相應的表面積、體積計算公式，進行求解即可.【例1】如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐P?ABCD的高為4.87m，其側棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（

）4.87A．231m3 B．179m3 C．【變式1-1】如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在CCA．V28 B．V21 C．3V28【變式1-2】已知斜三棱柱的一個側面的面積為10，該側面與其相對側棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（

）A．30 B．15 C．10 D．60【變式1-3】“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術.商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個長方體沿對角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個塹堵，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3，則下列選項不正確A．V=16 B．VC．V2=16【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】【方法點撥】求解圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積時，要結合具體條件，找出其中的基本量，利用相應的表面積、體積計算公式，進行求解即可.【例2】已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，則該圓錐的表面積為（

A．4π B．8π C．12π【變式2-1】已知一個圓柱體積為π，底面半徑為3，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側面積為（

）A．3π B．23π C．3【變式2-2】圓臺上?下底面半徑分別是1?2，高為3，這個圓臺的體積是（A．733π B．23π 【變式2-3】如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知AB=9cm,CD=3cmA．363+81πC．243+81π【題型3球的表面積與體積】【方法點撥】計算球的表面積和體積的關鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數(shù)的特征和半徑次數(shù)的區(qū)別.必要時需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.【例3】若球的表面積擴大為原來的n倍，則它的半徑比原來增加的倍數(shù)為（

）A．n?1 B．n+1 C．n+2【變式3-1】如果兩個球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為（

）A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9【變式3-2】已知球O的表面積為12π，則它的體積為（

）A．43π B．43 C．8【變式3-3】圓錐的母線長為2，側面積為2π，若球O的表面積與該圓錐的表面積相等，則球O的體積為（

A．2π3 B．2π3 C．【題型4球的截面問題】【方法點撥】利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要途徑.【例4】用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為A．8π3 B．C．8π D．8【變式4-1】已知AB為球O的一條直徑，過OB的中點M作垂直于AB的截面，則所得截面和點A構成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（）A．316 B．916 C．38【變式4-2】過半徑為2的球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（

）A．932 B．916 C．38【變式4-3】體積為183的正三棱錐A?BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內部，且R:BC=2:3，點E為線段BD上一點，且DE=2EB，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

A．[4π,12π] B．[8π,16π] C．[8π,12π] D．[12π,16π]【題型5幾何體與球的切、接問題】【方法點撥】1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點均在球面上.解題時要認真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對稱性，明確接點的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點間的關系，確定相關的數(shù)量關系，并作出合適的截面進行求解.2.解決幾何體的內切球問題，應先作出一個適當?shù)慕孛?一般作出多面體的對角面所在的截面)，這個截面應包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關系和數(shù)量關系.【例5】如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1A．814π,24C．24316π,24【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，將△ACD沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且PB=22，則三棱錐P?ABCA．15π B．25π C．55【變式5-2】如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=4，A．46π B．83π C．【變式5-3】已知菱形ABCD的各邊長為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐P?ACD，如圖所示，當三棱錐P?ACD的表面積最大時，三棱錐P?ACD的外接球體積為（A．523π B．433π【題型6實際應用問題】【方法點撥】對于實際應用問題，解題的關鍵是正確建立數(shù)學模型，然后利用表(側)面積或體積公式即可求解.另外，正確作出截面圖，找出其中的等量關系也是常用的方法.與球有關的實際應用問題一般涉及容積問題，解題的關健是正確作出截面圖，找出其中的等量關系.另外，利用總體積不變，正確建立等量關系，也是常用的方法.【例6】如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm．(1)這種“浮球”的體積是多少cm3(2)要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）【變式6-1】如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；(2)若每塊鋼板的厚度為10mm，求釘身的長度（結果精確到1mm）.【變式6-2】如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高10cm，為了測得某個球的體積，小明將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為8cm，如果不計容器的厚度，求球的體積（精確到1cm【變式6-3】如圖，AB是一圓柱形樹樁的底面直徑，PA是圓柱的母線，且AB=PA=2，點C是圓柱底面圓周上的點．(1)求該樹樁的側面積和體積；(2)若AC=1，D是PB的中點，線有一只小蟲在點C，先在線段PA上鉆一個小洞，記為點E，若該小蟲要從點C鉆過小洞點E到達點D，要使得小蟲爬過的路徑最短，請你確定小洞點E的位置，并求出路徑的最小值．專題8.3簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型檢測）一．選擇題1．已知正四棱錐的高為3，底面邊長為2，則該棱錐的體積為（

）A．6 B．32 C．2 D．2．若一個圓柱和一個圓錐的底面積相等，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高是圓錐高的（

）A．12 B．13 C．233．過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（

）A．4 B．6 C．203 D．4．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關于該多面體的說法中不正確的是（

）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為5D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點的球）5．如圖，在三棱錐A?BCD中，

平面ABD⊥平面BCD，△BCD是邊長為23的等邊三角形，AB=AD=2，則該幾何體外接球表面積為（

A．20π B．8π C．28π6．某車間需要對一個圓柱形工件進行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應設計為（

）A．10 B．15 C．4 D．57．《九章算術·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個面為梯形或平行四邊形（至多一個側面是平行四邊形），其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底面ABCD為正方形，EF=4，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A．22π B．42π C．8．在三棱錐A－BCD中，AB=BC=CD=DA=22，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱錐A－BCD的所有頂點都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別在線段OB，CD上運動（端點除外），BE=2CF．當三棱錐E－ACF的體積最大時，過點F作球OA．π B．3π C．32二．多選題9．已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖為一個半圓，則下列說法正確的是（

）A．圓錐的高是2 B．圓錐的母線長是4C．圓錐的表面積是16π D．圓錐的體積是10．“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術·商功》有如下敘述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵．其一為陽馬，其一為鱉臑”．意思是說：將一個長方體沿對角面斜截（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜截（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1,V2,A．V1+V2+V3=V 11．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為a的截角四面體，則下列說法正確的是（

）A．該截角四面體的內切球體積38πaC．該截角四面體的外接球表面積為132πa2 12．傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O1，O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1A．球與圓柱的表面積之比為1B．平面DEF截得球的截面面積最小值為16C．四面體CDEF的體積的取值范圍為(0，D．若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為[2+2三．填空題13．已知圓錐側面展開圖的周長為4+2π，面積為2π，則該圓錐的體積為．14．已知在三棱錐S?ABC中，SA=SB=SC=62，AB=2，AC⊥BC，則三棱錐外接球的表面積為15．如圖是我國古代測量糧食的容器“升”，其形狀是正四棱臺，“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”，若該“升”內糧食的高度為“平升”的一半時，糧食的體積約為“平升”時體積的14，則該“升”升口邊長與升底邊長的比值為16．傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O1、O2為圓柱上、下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1①平面DEF截得球的截面面積最小值為16π②球的表面積是圓柱的表面積的34③若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為2+25其中所有正確的命題序號為.四．解答題17．如圖，已知直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V，M，N分別為棱AA1，18．已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的32，且AC=8，BC=6，AB=1019．如圖