專題10.2事件的相互獨(dú)立性（重難點(diǎn)題型精講）1．事件的相互獨(dú)立性(1)定義

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.(2)性質(zhì)

若事件A與B相互獨(dú)立，則與B，A與，與也相互獨(dú)立.

(3)應(yīng)用

因?yàn)椤癆與B相互獨(dú)立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以如果已知兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，則由它們各自發(fā)生的概率可以迅速得到它們同時(shí)發(fā)生的概率.在實(shí)際問(wèn)題中，我們常常依據(jù)實(shí)際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認(rèn)為事件之間沒(méi)有影響，則認(rèn)為它們相互獨(dú)立.

(4)推廣

兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到n(n>2，n∈)個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，，相互獨(dú)立，則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P()=P()P()P().2．互斥事件與相互獨(dú)立事件的辨析(1)互斥事件與相互獨(dú)立事件都描述的是兩個(gè)事件間的關(guān)系，但互斥事件強(qiáng)調(diào)不可能同時(shí)發(fā)生，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.用表格表示如下：相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即AB=.概率公式若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).若事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.(2)已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，我們有如下結(jié)論：事件表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互獨(dú)立）A，B中至少有一個(gè)發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)1P()P()或P(A)+P(B)P(AB)A，B都發(fā)生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P()1[P(A)+P(B)]P()P()A，B恰有一個(gè)發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)P(A)P()+P()P(B)A，B中至多有一個(gè)發(fā)生P(∪A∪B)11P(A)P(B)【題型1獨(dú)立性的判斷】【方法點(diǎn)撥】(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立.(2)定性法：直觀地判斷一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生的概率是否有影響，若沒(méi)有影響就是相互獨(dú)立事件.【例1】下列事件中A，B是相互獨(dú)立事件的是（

）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面”，B=“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”【解題思路】利用相互獨(dú)立事件的概念，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，從而得出正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】解：對(duì)于A中，把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨(dú)立事件；對(duì)于B：兩個(gè)事件是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，事件A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；對(duì)于D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選：A．【變式1-1】袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，則A1與AA．相互獨(dú)立事件 B．不相互獨(dú)立事件C．互斥事件 D．對(duì)立事件【解題思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件的含義即可判斷.【解答過(guò)程】由題意可得A2表示第二次摸到的不是黑球,即A2表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到白球互不影響,故事件A1與A2是相互獨(dú)立事件，由于【變式1-2】拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下股子朝上面的點(diǎn)數(shù).用x表示紅色股子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用x,y表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.定義事件：A=“x+y為奇數(shù)”，事件B=“x=y”，事件C=“x>4”，則下列結(jié)論不正確的是（

A．PA=3PB B．AC．B與C獨(dú)立 D．A與B獨(dú)立【解題思路】A選項(xiàng)，利用古典概型求概率公式得到PA,PB，從而得到PA=3PB；由PA∩B=0得到B正確；求出【解答過(guò)程】由題意得：當(dāng)x,y一奇一偶時(shí)，x+y為奇數(shù)，若x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，有3×3=9種情況，同理若x為偶數(shù)，y為奇數(shù)，有3×3=9種情況，則共有2×3×3=18種情況則PA=186×6=因?yàn)楫?dāng)x,y一奇一偶時(shí)，x+y為奇數(shù)，故x≠y，同理當(dāng)x=y時(shí)，x+y一定是偶數(shù)，故PA∩B=0，“x>4”包含x=5或6，而y可能取值為6種，故共有2×6=12種情況，故P而事件B∩C包含兩種情況，即5,5,6,6，故由PBC=PB?PC，得B與C獨(dú)立，C正確；因?yàn)镻故選：D.【變式1-3】數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的的六位數(shù)，A表示事件“1和2相鄰”，B表示事件“偶數(shù)不相鄰”，C表示事件“任何連續(xù)兩個(gè)位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇數(shù)按從小到大的順序排列”．則（

）A．事件A與事件B相互獨(dú)立 B．事件A與事件C相互獨(dú)立C．事件A與事件D相互獨(dú)立 D．事件B與事件C相互獨(dú)立【解題思路】根據(jù)排列組合分別計(jì)算概率，進(jìn)而根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的概率公式即可求解.【解答過(guò)程】P(A)=A2對(duì)于A，P(AB)=C對(duì)于B，P(AC)=C對(duì)于C，P(AD)=C對(duì)于D，PBC【題型2相互獨(dú)立事件的概率】【方法點(diǎn)撥】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，進(jìn)行求解即可.【例2】假設(shè)PA=0.3,PB=0.4，且A與B相互獨(dú)立，則A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件的并事件的概率公式計(jì)算.【解答過(guò)程】由A與B相互獨(dú)立，則PA∪B故選：B．【變式2-1】已知事件A，B相互獨(dú)立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，給出下列四個(gè)式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(AB)＝0.42.其中正確的有()A．4個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．1個(gè)【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)事件A，B相互獨(dú)立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正確；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正確；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正確；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正確，故選A.【變式2-2】設(shè)事件A，B相互獨(dú)立，PA=0.6，PB=0.3，則A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，結(jié)合題意，帶值求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，AB與AB互斥，A，B相互獨(dú)立，B，A故PAB∪【變式2-3】設(shè)A，B，C是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且PA>0，PB①若A與B互斥，則PAB②若A與B獨(dú)立，則PA∪B③若A，B，C兩兩獨(dú)立，則PABC④若PABC=PAPBPC則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件以及相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐個(gè)判定即可【解答過(guò)程】對(duì)A，若A與B互斥，則根據(jù)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生可得PAB=0，又PA對(duì)B，若A與B獨(dú)立，則PA∪B對(duì)C，若A，B，C兩兩獨(dú)立，且PABC=PAPBPC對(duì)D，若PABC=PAPBPC，則事件AB與C故選：B.【題型3事件相互獨(dú)立的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】實(shí)際問(wèn)題中，計(jì)算相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件.對(duì)于計(jì)算問(wèn)題：將題中所求事件轉(zhuǎn)化為若干個(gè)獨(dú)立事件的交事件，利用獨(dú)立事件的性質(zhì)和推廣求解.【例3】甲、乙、丙三人能獨(dú)立解決某一問(wèn)題的概率分別是15，14，13A．160 B．320 C．1330【解題思路】設(shè)此三人至少有一個(gè)人把此問(wèn)題解決為事件A，計(jì)算出三人都沒(méi)有把此問(wèn)題解決的概率，再由間接法可得答案.【解答過(guò)程】設(shè)此三人至少有一個(gè)人把此問(wèn)題解決為事件A，三人都沒(méi)有把此問(wèn)題解決的概率是1?151?【變式3-1】一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，n個(gè)綠球，采用不放回的方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取出第二個(gè)球是紅球的概率為0.4，那么n的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【解題思路】結(jié)合已知條件，分類討論第一個(gè)球的顏色，按照獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【解答過(guò)程】若取出的第一個(gè)球?yàn)榧t色，則第二個(gè)球也是紅色的概率P1若取出的第一個(gè)球?yàn)榫G色，則第二個(gè)球是紅色的概率P2所以取出第二個(gè)球是紅色的概率P=P1+【變式3-2】某學(xué)校餐廳就餐刷卡器是由三個(gè)電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.如果各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，元件1、元件2正常工作的概率都是35，元件3正常工作的概率是2527，那么該刷卡器能正常工作的概率為（A．23 B．79 C．89【解題思路】利用對(duì)立事件的概率求出元器件1和2至少一個(gè)正常工作的概率，再由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.【解答過(guò)程】該刷卡器能正常工作需要元器件1和2至少有一個(gè)正常工作，同時(shí)元器件3正常工作，所以刷卡器能正常工作的概率P=(1?2【變式3-3】高一年級(jí)某同學(xué)參加了學(xué)?！皵?shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個(gè)社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否成功進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)是相互獨(dú)立的．假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“數(shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個(gè)社團(tuán)的概率分別為m，n，15，該同學(xué)進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為320，且三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為25，則m+n=A．712 B．112 C．815【解題思路】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，列出關(guān)于m，n的方程組，求解即可．【解答過(guò)程】解：由題意可知，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為320則mn?(1?15)+1所以(1?m)(1?n)(1?15)=25②，由①②【題型4互斥事件、事件的相互獨(dú)立性的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】閱讀題目，分析事件之間的關(guān)系，一般將問(wèn)題劃分為若干個(gè)彼此互斥的事件，然后運(yùn)用互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【例4】甲乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．若在某局比賽中，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為35，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為13，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10：10平后，甲先發(fā)球，則甲以13：11贏下此局的概率為（A．425 B．225 C．875【解題思路】由題意，分為乙分別在第一二場(chǎng)勝兩種情況，結(jié)合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.【解答過(guò)程】由題意，此局分兩種情況：（1）后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：35（2）后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為：25所以，所求事件概率為225【變式4-1】甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為13，各局的勝負(fù)之間是獨(dú)立的，某天兩人要進(jìn)行一場(chǎng)三局兩勝的比賽，先贏得兩局者為勝，無(wú)平局．若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（

A．13 B．59 C．23【解題思路】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負(fù)，第三局獲勝）討論得解.【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意知只需考慮剩下兩局的情況，（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時(shí)甲獲得最終勝利的概率為13（2）甲要獲勝，則甲第二局負(fù)，第三局獲勝，所以甲獲得最終勝利的概率為23故甲獲得最終勝利的概率為13【變式4-2】2021年神舟十二號(hào)、十三號(hào)載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國(guó)的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個(gè)人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗(yàn)成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個(gè)人，每個(gè)人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)成功的概率分別為45，34，23A．910 B．1920 C．2930【解題思路】把試驗(yàn)任務(wù)成功的事件拆成三個(gè)互斥事件的和，再求出每個(gè)事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計(jì)算作答.【解答過(guò)程】試驗(yàn)任務(wù)成功的事件M是甲成功的事件M1，甲不成功乙成功的事件M2，甲乙都不成功丙成立的事件M3的和，事件M1，M2，M3互斥，P(M【變式4-3】某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【解題思路】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率p甲；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率p乙；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率【解答過(guò)程】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?2，則此時(shí)連勝兩盤的概率為p則p甲記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為p乙則p乙記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為p丙則p丙則p甲p乙即p甲<p乙，p與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D.專題10.2事件的相互獨(dú)立性（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．單選題1．若事件A，B相互獨(dú)立，它們發(fā)生的概率分別為p1，p2，則事件A，A．1?p1p2 B．(1?p1【解題思路】由獨(dú)立事件與對(duì)立事件的概率公式計(jì)算．【解答過(guò)程】由事件A與事件B相互獨(dú)立,可得A與B相互獨(dú)立,所以P(AB)=P(A?B)=2．對(duì)于事件A，B，下列命題不正確的是（

）A．若A，B互斥，則PB．若A，B對(duì)立，則PC．若A，B獨(dú)立，則PD．若A，B獨(dú)立，則P【解題思路】根據(jù)對(duì)立事件，獨(dú)立事件和互斥事件的性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳，B互斥，互斥事件概率和在(0,1]區(qū)間，所以PA+PB因?yàn)锳，B對(duì)立，對(duì)立事件概率和為1，所以PA+PB因?yàn)锳，B獨(dú)立，則A,B也相互獨(dú)立，所以PAPB因?yàn)锳，B獨(dú)立，由獨(dú)立事件的性質(zhì)可知：二者同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)，由概率大于零可知：PA+PB≤1不一定成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；所以命題不正確的是3．九連環(huán)是中國(guó)傳統(tǒng)的有代表性的智力玩具，凝結(jié)著中國(guó)傳統(tǒng)文化，具有極強(qiáng)的趣味性.九連環(huán)能既練腦又練手，對(duì)于開(kāi)發(fā)人的邏輯思維能力及活動(dòng)手指筋骨大有好處.現(xiàn)有甲、乙兩人獨(dú)立地挑戰(zhàn)破解“九連環(huán)”智力扣，已知兩人能破解的概率分別為12，13，則（A．兩人都成功破解的概率為56 B．兩人都成功破解的概率為C．智力扣被成功破解的概率為34 D．智力扣被成功破解的概率為【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題意知兩人都成功破解的概率P=1智力扣被成功破解，說(shuō)明甲乙至少一人能破解，根據(jù)對(duì)立事件的概率可知P=1?1故C錯(cuò)誤D正確.故選：D.4．設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題錯(cuò)誤的為（

）A．若A,B是獨(dú)立事件，PA=13B．若A,B是對(duì)立事件，則PC．若A,B是互斥事件，PA=13D．若PA=13，PB【解題思路】利用互斥公式、獨(dú)立公式、對(duì)立公式滿足的條件可以一一判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A：當(dāng)A,B是獨(dú)立事件時(shí)，A,B也是獨(dú)立事件，∴PAB=PA對(duì)于C：當(dāng)A,B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=1對(duì)于D：∵PB=14,∴PB=5．拋擲一顆均勻骰子兩次，E表示事件“第一次是奇數(shù)點(diǎn)”，F(xiàn)表示事件“第二次是3點(diǎn)”，G表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是9”，H表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是10”，則（

）A．E與G相互獨(dú)立 B．E與H相互獨(dú)立C．F與G相互獨(dú)立 D．G與H相互獨(dú)立【解題思路】先根據(jù)古典概型的概率公式分別求出四個(gè)事件的概率，再利用獨(dú)立事件的定義P(AB)=P(A)P(B)判斷個(gè)選項(xiàng)的正誤.【解答過(guò)程】解：由題意得：P(E)=1836=12，對(duì)于選項(xiàng)A：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E和G互相獨(dú)立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E和6．“三個(gè)臭皮匠，賽過(guò)諸葛亮”，這句口頭禪體現(xiàn)了集體智慧的強(qiáng)大.假設(shè)李某能力較強(qiáng)，他獨(dú)自一人解決項(xiàng)目M的概率為P1=0.9；同時(shí)，有n個(gè)水平相同的人組成的團(tuán)隊(duì)也在研究項(xiàng)目M，團(tuán)隊(duì)成員各自獨(dú)立地解決項(xiàng)目M的概率都是0.4.如果這個(gè)n人的團(tuán)隊(duì)解決項(xiàng)目M的概率為P2，且P2≥A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式先求出團(tuán)隊(duì)成員都不能解決項(xiàng)目M的概率，再由對(duì)立事件的概率求出P2【解答過(guò)程】由題意，這n個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)不能解決項(xiàng)目M的概率為P=(1?0.4)所以P2=1?P=1?(35)n兩邊取常用對(duì)數(shù)可得：nlg35解得n≥4.55，又n∈N?，所以7．某產(chǎn)品需要通過(guò)兩類質(zhì)量檢驗(yàn)才能出貨．已知該產(chǎn)品第一類檢驗(yàn)單獨(dú)通過(guò)率為34第二類檢驗(yàn)單獨(dú)通過(guò)率為p0<p<1，規(guī)定：第一類檢驗(yàn)不通過(guò)則不能進(jìn)入第二類檢驗(yàn)，每類檢驗(yàn)未通過(guò)可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次，修復(fù)后無(wú)需從頭檢驗(yàn)，通過(guò)率不變且每類檢驗(yàn)最多兩次，且各類檢驗(yàn)間相互獨(dú)立．若該產(chǎn)品能出貨的概率為56．則p=A．25 B．12 C．23【解題思路】利用獨(dú)立事件和互斥事件概率計(jì)算公式直接求解．【解答過(guò)程】解：設(shè)Ai表示第i次通過(guò)第一類檢驗(yàn)，Bi表示第i次通過(guò)第二類檢驗(yàn)由題意得P(A即34p+14×34p+348．若正整數(shù)a的所有真因數(shù)（即不是自身的因數(shù)）之和等于b，正整數(shù)b的所有真因數(shù)之和等于a，則稱a和b是一對(duì)“親和數(shù)”.約兩千五百年前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)第一對(duì)親和數(shù)：284和220.220的所有真因數(shù)為1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110;284的所有真因數(shù)為1,2,4,71,142.若分別從284和220的所有真因數(shù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)的概率是（

）A．1255 B．1455 C．2655【解題思路】分別計(jì)算出從284和220的所有真因數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率，再利用概率的加法公式即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可知，從220的11個(gè)真因數(shù)中取出一個(gè)奇數(shù)的概率為411，取出一個(gè)偶數(shù)的概率為7從280的5個(gè)真因數(shù)中取出一個(gè)奇數(shù)的概率為25，取出一個(gè)偶數(shù)的概率為3若取出的兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)為一奇一偶，所以取出的兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)的概率P=4二．多選題9．甲?乙兩各投擲一枚骰子，下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”是互斥事件B．事件“甲投得6點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C．事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙都沒(méi)有投得6點(diǎn)”是對(duì)立事件D．事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒(méi)投得6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件【解題思路】根據(jù)互斥事件，相互獨(dú)立事件以及對(duì)立事件的定義即可根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷.【解答過(guò)程】在A中，甲?乙兩各投擲一枚骰子，“甲投得5點(diǎn)”與“甲投得4點(diǎn)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件；在B中，甲、乙各投擲一枚骰子，“甲投得6點(diǎn)”發(fā)生與否對(duì)事件“乙投得5點(diǎn)”的概率沒(méi)有影響，二者是相互獨(dú)立事件；在C中，甲，乙各投擲一枚骰子，“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙都沒(méi)有投得6點(diǎn)”不可能同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件，“甲?乙都投得6點(diǎn)”的對(duì)立事件為“至少有一個(gè)人沒(méi)有投得6點(diǎn)”，故“甲?乙都沒(méi)有投得6點(diǎn)”不是“甲?乙都投得6點(diǎn)”的對(duì)立事件；在D中，設(shè)“至少有1人投得6點(diǎn)”為事件A，則事件A包括只有甲一人投得6點(diǎn)，或者只有乙一個(gè)人投得6點(diǎn)，以及甲乙兩人都投得6點(diǎn)，而“甲投得6點(diǎn)且乙沒(méi)投得6點(diǎn)”為事件B，則AB=B，故A、B不獨(dú)立，故選：AB.10．某社區(qū)開(kāi)展“防疫知識(shí)競(jìng)賽”，甲?乙兩人榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為（

）A．p(1?q)+q(1?p)+pq B．p+q C．pq D．1?(1?p)(1?q)【解題思路】令P(A)=p,P(B)=q且A、B相互獨(dú)立，從正反兩個(gè)角度，利用事件的關(guān)系及含義表示出兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)，進(jìn)而求出其概率即可.【解答過(guò)程】記A為“甲獲得一等獎(jiǎng)”，B為“乙獲得一等獎(jiǎng)”，則P(A)=p,P(B)=q且A、B相互獨(dú)立.從正面考慮，甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)為AB所以P(AB從反面考慮，事件“甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)”的對(duì)立事件是“甲?乙兩人都沒(méi)獲得一等獎(jiǎng)”，即事件AB，易得P(AB11．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A=“第一次出現(xiàn)3點(diǎn)”，B=“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，C=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，D=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為10”，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．A與B不互斥且相互獨(dú)立 B．A與D互斥且不相互獨(dú)立C．B與C不互斥且相互獨(dú)立 D．B與D互斥且不相互獨(dú)立【解題思路】根據(jù)給定條件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷作答.【解答過(guò)程】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的試驗(yàn)結(jié)果有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36個(gè)不同結(jié)果，事件A所含的結(jié)果有：(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共6個(gè)，事件B所含的結(jié)果有24個(gè)，事件C所含的結(jié)果有18個(gè)，事件D所含的結(jié)果有：(4,6),(5,5),(6,4)，共3個(gè)，因此P(A)=6對(duì)于A，事件A與B都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，共4個(gè)結(jié)果，即事件A與B可以同時(shí)發(fā)生，而P(AB)=436=19對(duì)于B，事件A與D不能同時(shí)發(fā)生，P(AD)=0≠P(A)P(D)，A與D互斥且不相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，事件B與C都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)，共12個(gè)結(jié)果，即事件B與C可以同時(shí)發(fā)生，P(BC)=1236=13對(duì)于D，事件B與D都含有(6,4)，即B與D可以同時(shí)發(fā)生，P(BD)=1因此B與D不互斥且不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．甲乙兩人準(zhǔn)備買一部手機(jī)，購(gòu)買國(guó)產(chǎn)手機(jī)的概率分別為0.6，0.5，購(gòu)買白色手機(jī)的概率分別為0.4，0.6，若甲乙兩人購(gòu)買哪款手機(jī)互相獨(dú)立，則（

）A．恰有一人購(gòu)買國(guó)產(chǎn)手機(jī)的概率為0.5B．兩人都沒(méi)購(gòu)買白色手機(jī)的概率為0.52C．甲購(gòu)買國(guó)產(chǎn)白色手機(jī)的概率為0.48D．甲乙至少一位購(gòu)買國(guó)產(chǎn)白色手機(jī)的概率為0.468【解題思路】使用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由已知，甲乙兩人購(gòu)買哪款手機(jī)互相獨(dú)立，“甲購(gòu)買國(guó)產(chǎn)手機(jī)”記為事件A，PA=0.6；“乙購(gòu)買國(guó)產(chǎn)手機(jī)”記為事件B，“甲購(gòu)買白色手機(jī)”記為事件C，PC=0.4；“乙購(gòu)買白色手機(jī)”記為事件D，對(duì)于選項(xiàng)A，恰有一人購(gòu)買國(guó)產(chǎn)手機(jī)的概率為PA對(duì)于選項(xiàng)B，兩人都沒(méi)購(gòu)買白色手機(jī)的概率為PC對(duì)于選項(xiàng)C，“甲購(gòu)買國(guó)產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件E，其概率為PE對(duì)于選項(xiàng)D，“乙購(gòu)買國(guó)產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件F，其概率為PF結(jié)合選項(xiàng)C的判斷，甲乙至少一位購(gòu)買國(guó)產(chǎn)白色手機(jī)的概率為PEF∪E（也可以用1?PE故選：AD.三．填空題13．如果事件A與B獨(dú)立，則下列幾組事件也獨(dú)立的是（1）（2）（3）.（1）A與B；（2）A與B；（3）A與B.【解題思路】利用獨(dú)立事件的概念即得.【解答過(guò)程】∵事件A與B獨(dú)立，∴A與B，A與B，A與B，也是獨(dú)立事件.故答案為：（1）（2）（3）.14．對(duì)于獨(dú)立事件A、B，若PA=34，PB=【解題思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率計(jì)算即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)镻A=34，所以P(A因?yàn)锳，B為獨(dú)立事件，所以A與B相互獨(dú)立，則有PA故答案為：11215．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽沒(méi)有平局且相互獨(dú)立，每局比賽甲勝的概率為p，若比賽采取5局3勝制，甲僅用3局就贏得比賽的概率為827，則p=23【解題思路】利用相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)“甲僅用3局就贏得比賽”的事件為A，則P(A)=p3=827故答案為：2316．某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）超過(guò)1000小時(shí)的概率都是0.5，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為38【解題思路】根據(jù)題意，求出超過(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件1、元件2至少有一個(gè)正常和元件3正常的概率，再利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)槿齻€(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）超過(guò)1000小時(shí)的概率都是0.5，即p=1記事件A:超過(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件1、元件2至少有一個(gè)正常，事件B:超過(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件3正常，事件C:該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)，則PA=1?1?p2=34，PB=p=12四．解答題17．設(shè)A與B相互獨(dú)立，且P(A∪B)=45，P(A)=2【解題思路】由事件相互獨(dú)立有P(AB)=P(A)P(B)，結(jié)合P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)及已知條件即可得結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B)．又P(AB)=P(A)+P(B)?P(A∪B)，P(A∪B)=45，設(shè)P(B)=x，則P(B)=P(AB)?P(A)+P(A∪B)，即x=23x?2318．一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色．現(xiàn)以A、B、C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問(wèn)事件A、B、C是否兩兩相互獨(dú)立？【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】解：由題意可得PA則事件AB、BC、AC均為“第四面朝下”，故PAB所以，PAB=PAPB，PBC=PBP19．已知戰(zhàn)士A射擊的命中率為60%，戰(zhàn)士B的命中率為65%，且兩人的射擊互不影響，求：(1)兩人同時(shí)擊中目標(biāo)的概率；(2)目標(biāo)被擊中的概率．【解題思路】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出兩人同時(shí)擊中目標(biāo)的概率；（2）目標(biāo)被擊中的對(duì)立事件是兩人都沒(méi)有擊中目標(biāo)，利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件概率公式求解即可．【解答過(guò)程】（1）戰(zhàn)士A射擊的命中率為60%，戰(zhàn)士B的命中率為65%，兩人的射擊互相獨(dú)立，設(shè)事件A表示“戰(zhàn)士A命中”，事件B表示“戰(zhàn)士A命中”，則P(A)=0.6,P(B)=0.65，則兩人同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為：P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.65=0.39.（2）目標(biāo)被擊中的對(duì)立事件是兩人都沒(méi)有擊中目標(biāo)，所以目標(biāo)被擊中的概率為：P=1?P(A20．如圖所示為M、N兩點(diǎn)間的電路，在時(shí)間T內(nèi)不同元件發(fā)生故障的事件是相互獨(dú)立的，他們發(fā)生故障的概率如下表所示:元件KKLLL概率0.60.50.40.50.7(1)求在時(shí)間T內(nèi)，K1與K(2)求在時(shí)間T內(nèi)，K1，K(3)求在時(shí)間T內(nèi)，電路不通的概率.【解題思路】（1）設(shè)Ai表示Ki(i=1,2)發(fā)生故障，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出單位時(shí)間T內(nèi)，K（2）利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出在時(shí)間T內(nèi)，由于K1與K2（3）設(shè)Bi表示Li(i=1【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)Ai表示Ki(i=1,2)在時(shí)間T內(nèi)K1與K2同時(shí)發(fā)生故障的概率（2）解：在時(shí)間T內(nèi)，K1與KP