高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題單元達(dá)標(biāo)同步練習(xí)試題一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，下列說法正確的是（）A．時(shí)，函數(shù)解析式為B．函數(shù)在定義域上為增函數(shù)C．不等式的解集為D．不等式恒成立【答案】BC【分析】對(duì)于A，利用奇函數(shù)定義求時(shí)，函數(shù)解析式為；對(duì)于B，研究當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知在上的單調(diào)性；對(duì)于C，求出，不等式，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解不等式；對(duì)于D，分類討論與兩種情況是否恒成立.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，又是奇函數(shù)，所以，即時(shí)，函數(shù)解析式為，故A錯(cuò)；對(duì)于B，，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在上為增函數(shù)，故B對(duì)；對(duì)于C，由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，則時(shí)，，解得，（舍去），即，所以不等式，轉(zhuǎn)化為，又在上為增函數(shù)，得，解得，所以不等式的解集為，故C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不恒大于0，故D錯(cuò)；故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組）來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式常用的方法：（1）已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式；（2）已知函數(shù)奇偶性，用奇偶性定義求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法；（4）若與或滿足某個(gè)等式，可構(gòu)造另一個(gè)等式，通過解方程組求解；2．已知（k為常數(shù)），那么函數(shù)的圖象不可能是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)選項(xiàng)，四個(gè)圖象可知備選函數(shù)都具有奇偶性．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行分析得出答案．【詳解】由選項(xiàng)的四個(gè)圖象可知，備選函數(shù)都具有奇偶性．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤.故選:AD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)與圖象，本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可知或，再判斷函數(shù)的單調(diào)性.3．狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷函數(shù)（Q是有理數(shù)集）的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的理解開始了深刻的變化，從研究“算”到研究更抽象的“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．關(guān)于的性質(zhì)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是周期函數(shù)C．對(duì)任意的，，都有D．對(duì)任意的，，都有【答案】ABC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；驗(yàn)證，可判斷B選項(xiàng)的正誤；分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；取，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，任取，則，；任取，則，.所以，對(duì)任意的，，即函數(shù)為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，任取，則，則；任取，則，則.所以，對(duì)任意的，，即函數(shù)為周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意，，則，；對(duì)任意的，，則，.綜上，對(duì)任意的，，都有，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，若，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知函數(shù)的定義依次討論各選項(xiàng)，分自變量為無理數(shù)和有理數(shù)兩種情況討論，對(duì)于D選項(xiàng)，可取，驗(yàn)證.4．已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.記，下列結(jié)論正確的是（）A．為奇函數(shù)B．若的一個(gè)零點(diǎn)為，且，則C．在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)D．若大于1的零點(diǎn)從小到大依次為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷A選項(xiàng)；將等價(jià)變形為，結(jié)合的奇偶性判斷B選項(xiàng)，再將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C選項(xiàng)，結(jié)合圖象，得出的范圍，由不等式的性質(zhì)得出的范圍.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，故A正確；假設(shè)，即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，則由于的一個(gè)零點(diǎn)為，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則大于的零點(diǎn)為的交點(diǎn)，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有2個(gè)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有1個(gè)，并且所以函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故C錯(cuò)誤；由圖可知，大于1的零點(diǎn)所以故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷函數(shù)的奇偶性以及判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于較難題.5．下列選項(xiàng)中的范圍能使得關(guān)于的不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】將不等式變形為，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)恰有一個(gè)負(fù)數(shù)解時(shí)判斷出臨界位置，再通過平移圖象得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以且，在同一坐?biāo)系中作出的圖象如下圖：當(dāng)與在軸左側(cè)相切時(shí)，僅有一解，所以，所以，將向右移動(dòng)至第二次過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)或（舍），結(jié)合圖象可知：，所以ACD滿足要求.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合的思想，難度較難.利用數(shù)形結(jié)合可解決的常見問題有：函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)問題、求解參數(shù)范圍或者解不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)等.6．下列命題正確的是（）A．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減則或B．函數(shù)的有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于0，一個(gè)小于0的一個(gè)充分不必要條件是．C．已知函數(shù)，若，則的取值范圍為D．已知函數(shù)滿足，，且與的圖像的交點(diǎn)為則的值為8【答案】BD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的判定，可得判定B是正確；根據(jù)函數(shù)的定義域，可判定C不正確；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可判定D正確，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以A不正確；對(duì)于B中，若函數(shù)的有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于0，一個(gè)小于0，則滿足，解得，所以是函數(shù)的有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于0，一個(gè)小于0的充分不必要條件，所以B是正確；對(duì)于C中，由函數(shù)，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，所以不等式中至少滿足，即至少滿足，所以C不正確；對(duì)于D中，函數(shù)滿足，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又由，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了以函數(shù)的基本性質(zhì)為背景的命題的真假判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7．已知函數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)取確定的某個(gè)值時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)可以是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】ABC【分析】令，畫出，結(jié)合的解的情況可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，而且當(dāng)時(shí)，恒成立，故的圖象如圖所示：考慮方程的解的情況.，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的正根，因?yàn)?，故，，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為2，方程的解的個(gè)數(shù)為0，故方程的根的個(gè)數(shù)是2.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的正根，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為1，故方程的根的個(gè)數(shù)是1.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，故方程的根的個(gè)數(shù)是0.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的負(fù)根，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為1，故方程的根的個(gè)數(shù)是1.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的負(fù)根，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為1，方程的解的個(gè)數(shù)為1，故方程的根的個(gè)數(shù)是2.故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程的解，此類問題，一般用換元法來考慮，其中不含的參數(shù)的函數(shù)的圖象應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)來刻畫，本題屬于難題．8．已知定義在R上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱是回旋函數(shù).給出下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A．常值函數(shù)為回旋函數(shù)的充要條件是；B．若為回旋函數(shù)，則；C．函數(shù)不是回旋函數(shù)；D．若是的回旋函數(shù)，則在上至少有2015個(gè)零點(diǎn).【答案】ACD【分析】A.利用回旋函數(shù)的定義即可判斷；B.代入回旋函數(shù)的定義，推得矛盾，判斷選項(xiàng)；C.利用回旋函數(shù)的定義，令，則必有，令，則，推得矛盾；D.根據(jù)回旋函數(shù)的定義，推得，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，推得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】A.若，則，則，解得：，故A正確；B.若指數(shù)函數(shù)為回旋函數(shù)，則，即，則，故B不正確；C.若函數(shù)是回旋函數(shù)，則，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，令，則必有，令，則，顯然不是方程的解，故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)，故C正確；D.若是的回旋函數(shù)，則，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，即有，則與異號(hào)，由零點(diǎn)存在性定理得，在區(qū)間上必有一個(gè)零點(diǎn)，可令，則函數(shù)在上至少存在2015個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查以新定義為背景，判斷函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查對(duì)定義的理解，應(yīng)用，屬于中檔題型.9．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不同解，則的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及已知條件得到，代入，令，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性分析原函數(shù)的單調(diào)性，即可求出取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膬筛鶠椋?，從而．令，則，．因?yàn)椋?，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，所以，即的取值范圍是，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的范圍問題.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.10．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或【答案】BCD【分析】通過反例可得A錯(cuò)誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，從而可判斷D正確與否.【詳解】對(duì)于A，，則，故，故A不成立.對(duì)于B，，則，故，所以，故B成立.對(duì)于C，設(shè)，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對(duì)于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.11．已知，則關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】畫出的圖像，由，可分類討論，，三種情況，令，并畫出圖像，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖像以及，判斷出實(shí)根個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合.【詳解】畫出的圖像如圖所示，令，畫出圖像如圖所示.由，解得：，由，解得..由，解得：，由，解得.（1）當(dāng)時(shí)，，有解，且或或，結(jié)合的圖像可知，時(shí)沒有與其對(duì)應(yīng)，或時(shí)每個(gè)都有個(gè)與其對(duì)應(yīng)，故此時(shí)有個(gè)實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)時(shí)，，有解，且或，有一個(gè)與其對(duì)應(yīng)，有兩個(gè)與其對(duì)應(yīng)，故此時(shí)有個(gè)實(shí)數(shù)根.（3）當(dāng)時(shí)，，有解，且，結(jié)合的圖像可知，每個(gè)有兩個(gè)與其對(duì)應(yīng)，故此時(shí)有個(gè)實(shí)數(shù)根.綜上所述，關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查分類討論參數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.12．已知函數(shù)其中，下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的為（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域C．當(dāng)且時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，直接代入計(jì)算即可；對(duì)于B選項(xiàng)，由題得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得當(dāng)時(shí)，，故的值域；對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)得當(dāng)且時(shí)，進(jìn)而得解析式；對(duì)于D選項(xiàng)，取特殊值即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于當(dāng)，函數(shù)的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，由于，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)得當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，，不滿足式，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析能力與運(yùn)算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)，函數(shù)的值域?yàn)?，進(jìn)而利用函數(shù)平移與伸縮變換即可求解.13．對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)，，使得對(duì)一切均成立，則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個(gè)函數(shù)中是“控制增長函數(shù)”的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】假設(shè)各函數(shù)是“控制增長函數(shù)”，根據(jù)定義推斷對(duì)一切恒成立的條件，并判斷的存在性，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A.可化為，，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增長函數(shù)”；對(duì)于B.可化為，，即恒成立.又，故只需保證恒成立即可.，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，是“控制增長函數(shù)”；對(duì)于C.，時(shí)，為任意正數(shù)，恒成立，是“控制增長函數(shù)”；對(duì)于D.化為，，令，則，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，是“控制增長函數(shù)”.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解，函數(shù)存在成立和恒成立問題的研究.我們可先假設(shè)結(jié)論成立，再不斷尋求結(jié)論成立的充分條件，找得到就是“控制增長函數(shù)”.如果找出了反例，就不是“控制增長函數(shù)”.14．設(shè)函數(shù)，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列選項(xiàng)正確的有（）A．當(dāng)m＞3時(shí)，f[f（x）]＝m有5個(gè)不相等的實(shí)根B．當(dāng)m＝0時(shí)，g[g（x）]＝m有4個(gè)不相等的實(shí)根C．當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f[g（x）]＝m有6個(gè)不相等的實(shí)根D．當(dāng)m＝2時(shí)，g[f（x）]＝m有5個(gè)不相等的實(shí)根【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象分析可解得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象：令，得；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根：，方程有1個(gè)根，方程有2個(gè)根，所以A錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，，，令，由得由由所以B正確；③令，，因?yàn)?，所以有個(gè)實(shí)根根，設(shè)，所以，，因?yàn)樵谏线f減，所以，所以，所以，即方程的最小根大于的最小值，所以、、都有2個(gè)不等實(shí)根，且這6個(gè)實(shí)根互不相等，所以當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f[g（x）]＝m有6個(gè)不相等的實(shí)根，所以C正確；④令，則，當(dāng)時(shí)，方程化為，得；當(dāng)，得；當(dāng)?shù)梅项}意，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解是解題關(guān)鍵.15．1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一個(gè)引入了現(xiàn)代函數(shù)概念：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù)”.由此引發(fā)了數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函數(shù)”：(Q表示有理數(shù)集合)，關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是偶函數(shù)B．C．對(duì)于任意的有理數(shù)，都有D．存在三個(gè)點(diǎn)，使為正三角形【答案】ABCD【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，可確定A的正誤，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)，判斷其它三個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由定義知：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)則，當(dāng)則，即有，故是偶函數(shù)，正確；B：由解析式知：或，即，正確；C：任意的有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，正確；D：若存在為正三角形，則其高為1，邊長為，所以當(dāng)時(shí)成立，正確；故選：ABCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)的奇偶性判斷，結(jié)合新定義函數(shù)及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的正誤.16．已知函數(shù)，則（）A．的值域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，存在非零實(shí)數(shù)，滿足D．函數(shù)可能有三個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】A．考慮時(shí)的情況，求解出各段函數(shù)值域再進(jìn)行判斷；B．先根據(jù)條件分析的單調(diào)性，再根據(jù)與的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；C．作出的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)行分析判斷；D．根據(jù)條件先分析出，再根據(jù)有三個(gè)零點(diǎn)確定出滿足的不等式，由此判斷出是否有解，并判斷結(jié)論是否正確.【詳解】A．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，所以此時(shí)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，所以，故B正確；C．作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且與相交于，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，所以當(dāng)時(shí)，存在使得，故C正確；D．由題意知：有三個(gè)根，所以不是單調(diào)函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，且，若方程有三個(gè)根，則有，所以或，這與矛盾，所以函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)與方程的綜合問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).17．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．的最小值為10【答案】ACD【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍，利用特殊值確定B選項(xiàng)錯(cuò)誤，利用基本不等式確定CD選項(xiàng)正確.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，由于關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，，由圖可知，故A選項(xiàng)正確.由圖可知關(guān)于直線對(duì)稱，故，由解得或，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.令，，，，是此方程的解，所以，或，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D選項(xiàng)正確.由圖象可知，，，，由，解得或，由，解得或，所以，①.令或，所以①的等號(hào)不成立，即，故C選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)問題，可考慮結(jié)合圖象來求解.求解不等式、最值有關(guān)的問題，可考慮利用基本不等式來求解.18．已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)a∈R，則下列關(guān)于x的方程f2(x)?(1+a)?f(x)+a=0的實(shí)數(shù)根的情況，說法正確的有（）A．a(chǎn)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程最多有5個(gè)根B．當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)根C．當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根D．當(dāng)a≤?4時(shí)，方程有4個(gè)根【答案】CD【分析】先化簡方程為或，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖象來確定或分別有幾個(gè)根，根據(jù)結(jié)果逐一判斷選項(xiàng)正誤即可.【詳解】解：關(guān)于x的方程f2(x)?(1+a)?f(x)+a=0，即，故或.函數(shù)中，單調(diào)遞增，，對(duì)稱軸為，判別式.（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如下：由圖象可知，方程有1個(gè)根，時(shí)方程有2個(gè)根，時(shí)，方程有1個(gè)根，故時(shí)已知方程有3個(gè)根，時(shí)，已知方程有2個(gè)根，時(shí)已知方程有1個(gè)根；（2）時(shí)，函數(shù)圖象如下：時(shí)，函數(shù)圖象如下：由兩個(gè)圖象可知，時(shí)，方程有2個(gè)根，方程沒有根，故已知方程有2個(gè)根；（3）時(shí)，函數(shù)圖象如下：方程有兩個(gè)根.下面討論最小值與的關(guān)系，由解得，故當(dāng)時(shí)，，直線如圖①，方程有2個(gè)根，故已知方程有4個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，直線如圖②，方程有有1個(gè)根，故已知方程有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，直線如圖③，方程沒有根，故已知方程有2個(gè)根.綜上可知，a取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程最多有4個(gè)根，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)方程有2個(gè)根，時(shí)已知方程有1個(gè)根，時(shí)方程有3個(gè)根，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，C正確；當(dāng)時(shí)，