上海市育才初級(jí)中學(xué)2025--2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考一、單選題1.下列圖形中一定相似的是()A.四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形B.四條邊之比對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形C.有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形D.同一腰上兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰梯形2.已知點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，被分得較長(zhǎng)的線段PA=4cm,那么較短的線段PB的A.2√5-2B.6-2√5C.2√5+23.已知y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=(m2-1)x2+(m-1)x+m+1,,則下列說法正確的是()A.若m=1,則函數(shù)圖像平行于y軸B.若m=-1,則函數(shù)圖像過原點(diǎn)，且經(jīng)過一、三象限C.若m>1,則函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)D.若m<-1,則函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)4.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5,BC=12,那么下列各式中，正確的是()5.已知，線段a、b、c,求作線段d,使得,那么下列作法中正確的是()6.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是()C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<二、填空題7.A、B兩地的實(shí)際距離為2000米，畫在地圖上的距離為4厘米，那么比例尺為8.一個(gè)三角形的三邊之比為2:3:4,與它相似的另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為20cm,那么另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為cm.9.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，∠ABD=∠C,AD=9,DC=7,那么AB=12.已知AB=a,AC=b,那么BC=(用向量a、b的式子表示)13.二次函數(shù)y=2x2-3x的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是14.將拋物線y=2x2-1向右平移3個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式是15.如果等腰三角形三邊之比為3:3:4,那么底角的正弦值為相似，那么BC的長(zhǎng)為答案第2頁(yè)，共23頁(yè)果AD=x,AE=y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域?yàn)?8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、F在邊AC上，點(diǎn)EDE、AB距離之比為1:2,如果△ABC的面積為32,△CDE的面積為2,那么△CFG的面積三、解答題20.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是拋物線y=2(2-x)(x+1)的頂點(diǎn)，(1)用配方法求此拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；答案第4頁(yè)，共23頁(yè)(2)將上述拋物線平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,1),求平移后的拋物線的表達(dá)式.21.如圖，已知兩個(gè)不平行的向量a、6.先化簡(jiǎn)，再求作向量：.(不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量)22.《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代的一部天文學(xué)與數(shù)學(xué)著作，大約成書于公元前5到7世紀(jì)之間，其利用數(shù)學(xué)測(cè)算日月運(yùn)行等，在唐代時(shí)成為國(guó)子監(jiān)教材.其中記載了在夏至日利用日晷影長(zhǎng)測(cè)算大地南北長(zhǎng)度的方法，并歸納出“影差一寸，地差千里”的規(guī)律.學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)“π隊(duì)”,為了驗(yàn)證該規(guī)律進(jìn)行了以下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).如圖，A為路燈燈泡，CM為地面，AC⊥CM,AC=6米，當(dāng)長(zhǎng)為1米且垂直地面的木桿DE、DE'分別放置在點(diǎn)E、E'時(shí)，影長(zhǎng)分別為BE、EF,C、E、E'、M在一條直線(2)在路燈下，對(duì)于任意的兩點(diǎn)E、E',“影差”與“地差”的關(guān)系是否確定?如果確定，有怎樣的關(guān)系?如果不確定，請(qǐng)說明理由.(1)求證：24.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)M(1,0)、N(3,0),與y軸交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)為B,過點(diǎn)P作直線PD//x軸交拋物線于點(diǎn)D.(3)如果拋物線L:y=tx2+mx+n(t≠0)的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,且經(jīng)過N(3,0),分別過點(diǎn)B、D作y(1)如圖1,如果AB=AC,②求DE:DF的值.(2)如圖2,當(dāng)DE=2DF時(shí)，求AB的值.答案第6頁(yè)，共23頁(yè)123456CADDBD【分析】本題主要考查了相似圖形的判斷，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵.判定相似多邊形必須同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊成比例，菱形因其特殊性質(zhì)，一個(gè)角相等即可推出相似.【詳解】∵菱形的四條邊相等，且對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，∴若兩個(gè)菱形有一個(gè)角相等，則所有對(duì)應(yīng)角相等。又∵菱形的邊都相等，∴對(duì)應(yīng)邊成比例，∴兩個(gè)菱形相似，選項(xiàng)C正確；對(duì)于其他選項(xiàng)：選項(xiàng)A中，四個(gè)角相等的四邊形(如矩形和正方形)不一定邊成比例；選項(xiàng)B中，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的四邊形(如菱形和正方形)不一定角相等；選項(xiàng)D中，同一腰上兩角對(duì)應(yīng)相等的等腰梯形不一定所有角相等且邊成比例.故選C.【分析】本題主要考查了黃金分割的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)，較長(zhǎng)的線段與較短線段的比等于整個(gè)線段與較長(zhǎng)的線段的比，設(shè)PB=x,列出方程求解.【詳解】∵P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PA是較長(zhǎng)的部分，交叉相乘得：4×4=x×(4+x),即16=4x+x2,解方程：故選A.【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義和性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)的定義和性質(zhì)，分別計(jì)算各選項(xiàng)下函數(shù)的表達(dá)式，判斷開口方向、對(duì)稱軸位置【詳解】∵函數(shù)為y=(m2-1)x2+(m-1)x+(m+1),對(duì)于A:當(dāng)m=1時(shí)，y=0·x2+0·x+2=2,為常數(shù)函數(shù)，圖像平行于x軸，不平行于y軸，對(duì)于B:當(dāng)m=-1時(shí)，y=0·x2+(-2)x+0=-2x,過原點(diǎn)，但斜率k=-2<0,圖像經(jīng)過第二、四象限，不經(jīng)過第一、三象限，∴B錯(cuò)誤；軸左側(cè)，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D:當(dāng)m<-1時(shí)，a=m2-1>0,軸右側(cè)，D正確.故選D.【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，先利用勾股定理求出斜邊AB,再分別計(jì)算sinA、cosA、tanA、cotA的值，與選項(xiàng)對(duì)比即可.【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5,BC=12,答案第8頁(yè)，共23頁(yè)確.故選D.【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.第二步：在邊OM上依次取OA=a,AB=b,在ON上取OC=c;第三步：連接AC,過點(diǎn)B作BD//AC,交ON于點(diǎn)D;故選B.【分析】本題考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定.由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與Y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸的位置及開口方向可判斷b的符號(hào)，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】解：由拋物線的開口向下知a<0,與Y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，【分析】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵.比例即可.【詳解】解：∵實(shí)際距離為2000米，1米=100厘米，∴實(shí)際距離為2000×100=200000厘米，∵圖上距離為4厘米，∴比例尺為4:200000,故比例尺為1:50000.故答案為：1:50000.【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例，由已知最長(zhǎng)邊求比【詳解】設(shè)相似三角形的三邊分別為2kcm、3kcm、4kcm,其中最長(zhǎng)邊為4k,由題意，4k=20,解得k=5;∴三邊分別為10cm、15cm、20cm,周長(zhǎng)為10+15+20=45cm.故答案是：45.故答案為12.【分析】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.答案第10頁(yè)，共23頁(yè)利用三角形重心的性質(zhì)，重心將每條中線分成2:1的比例，從而得到三個(gè)小三角形的面積相【詳解】設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則AD為中線，△ABD的面積為VABC面積的一半，即∴△ABG的面積=△ABD面積故答案是：4.【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握該定理并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系.利用平行線分線段成比例定理，找出線段之間的比例關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算出FC的長(zhǎng)度.【詳解】解：∵AD//EF//BC,已知AB=5,AE=2,則EB=AB-AE=5-2=3.解得【分析】根據(jù)AB+BC=AC,即可解決問題.【詳解】∵AB+BC=AC,故答案為b-a.這個(gè)關(guān)系式.13.(0,0)和【分析】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，要求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即要y=0,得到關(guān)于x的方程來求解.令二次函數(shù)解析式中y=0,得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函數(shù)與x【詳解】令y=0代入y=2x2-3x,得方程2x2-3x=0,答案為：y=2x2-12x+17.關(guān)鍵.【詳解】由等腰三角形三邊之比為3:3:4,可設(shè)腰長(zhǎng)為3答案第12頁(yè)，共23頁(yè)故答案為【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的思想.根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分類進(jìn)行求解即可.∴由勾股定理得AD=√AB2-BD2=4,∴當(dāng)BC與BD為對(duì)應(yīng)邊時(shí)，當(dāng)BC與AD為對(duì)應(yīng)邊時(shí)，【分析】本題考查了求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì).先證明△ADE∽△ABC,得到,進(jìn)而可知,根據(jù)0<AD≤AC可知0<x≤2.∵點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，當(dāng)AD=AC=2時(shí)，x達(dá)到最大值2,【分析】本題考查三角形的相似，若兩個(gè)三角形相似，則兩個(gè)相似三角形的面積之比等于相似比的平方.的距離之比為1:2,可得·,故可解得△CFG的面積.【詳解】解：∵DE//FG//AB,∴C到DE、AB的距離之比為1:4,∵FG到DE、AB的距離之比為1:2,∴C到DE、FG的距離之比為1:2,∴△CFG的面積等于8,故答案為：8.【分析】可(k≠0),可得a=3k,b=4k,c=5k,再根據(jù)a+b+c=36可得關(guān)于k的方程，解方程求出k,進(jìn)一步求得a、b、c的值.答案第14頁(yè)，共23頁(yè)解得k=4,【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)k法得到關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵.【分析】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)圖象的平移，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.(1)先轉(zhuǎn)化成一般形式，再利用配方法變形即可；(2)根據(jù)平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出解析式；【詳解】(1)∵y=2(2-x)(x+1)=2(2x+2-x2-x)=-2x2+2x+4,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)∵拋物線平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,1),21.2a-b,作圖見解析【分析】本題主要考查了向量的知識(shí)，去括號(hào)法則，熟悉平面向量的意義是解題的關(guān)鍵.首先將原式去括號(hào)化簡(jiǎn)，再根據(jù)向量的意義畫圖即可；【詳解】解：此題的關(guān)鍵.(2)思路與方法同(1)可解.【詳解】(1)解：∵DE⊥CM,AC⊥CM,答案第16頁(yè)，共23頁(yè)同理，由(1)知△D'E'F∽△FAC,23.(1)見解析；(2)見解析.(2)∵CF2=FG·FB,答案第18頁(yè)，共23頁(yè),即CG·CE=BC·DE.【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與幾何應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.(1)利用拋物線過已知點(diǎn)及與y軸交點(diǎn)求表達(dá)式；(2)利用拋物線對(duì)稱性求水平線段長(zhǎng)度；(3)通過設(shè)參數(shù)求交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算線段比值；【詳解】(1)∵拋物線過點(diǎn)M(1,0)、N(3,0),∵與y軸交于點(diǎn)P(0,3),(2)∵拋物線過點(diǎn)M(1,0)、N(3,0),∵與Y軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PD//x軸交拋物線于點(diǎn)D,則P和D縱坐標(biāo)相同，均為c,代入拋物線方程：a(x-1)(x-3)=c=3a,解得：x