2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)2/34第04講基本不等式及其應(yīng)用目錄考情探究 2知識(shí)梳理 2探究核心考點(diǎn) 3考點(diǎn)一利用基本不等式求最值 3考點(diǎn)二拼湊法求最值 5考點(diǎn)三消元法求最值 7考點(diǎn)四“1”的妙用 9考點(diǎn)五給定條件求最值 11考點(diǎn)六不等式恒（能）成立問題求參 13考點(diǎn)七不等式綜合問題 16三階突破訓(xùn)練 20基礎(chǔ)過關(guān) 20能力提升 24真題感知 31一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)20225年北京卷，第6題，4分不等式判斷正誤無2024年新Ⅰ卷，第18題第一問,4分基本不等式求范圍導(dǎo)數(shù)綜合2023年新Ⅰ卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識(shí)點(diǎn)命題可變性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為載體和其他版塊結(jié)合考查，難度不定，分值為5分左右【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”2.能正確處理常數(shù)“1”求最值3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。一、基本不等式1．如果a>0，b>0，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．a(chǎn)＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．3.不等式2ab與不等式≤成立的條件一樣嗎？不一樣，2ab成立的條件時(shí)a，b∈R，≤成立的條件是a>0，b>0.4.不等式2ab與不等式≤中“＝”成立的條件相同嗎？相同.都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立.5.基本不等式成立的條件一正二定三相等.二、基本不等式與最大值最小值1.兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值；兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值.(1)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)時(shí)，積xy有最大值.(2)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值.考點(diǎn)一利用基本不等式求最值典例1．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由余弦定理及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：A.典例2．（多選）下列各式能用基本不等式直接求得最大（?。┲档氖牵?/p>

）A． B．，C． D．，【答案】BCD【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈恼?fù)未知，所以，不能用基本不等式直接求得最大（小）值；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，能用基本不等式直接求得最大（?。┲担粚?duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于代數(shù)式，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值.故選：BCD.跟蹤訓(xùn)練1．已知實(shí)數(shù)，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用分離參數(shù)法求出的取值范圍判斷充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【詳解】對(duì)，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此；當(dāng)時(shí),，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以是的充要條件.故選：C.跟蹤訓(xùn)練2．（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）已知正數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為．【答案】【分析】利用基本不等式，然后再解關(guān)于的一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)槭钦龜?shù)，所以，令，則不等式可化為，即，所以，取等條件為，.故答案為：考點(diǎn)二拼湊法求最值典例1．已知，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故選：D.典例2．已知，求函數(shù)的最大值．【答案】【分析】將函數(shù)兩邊取平方，通過湊項(xiàng)，利用三維的基本不等式即可求得函數(shù)的值域.【詳解】由題意知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故，又，所以．跟蹤訓(xùn)練1．已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.故選：B跟蹤訓(xùn)練2．（1）設(shè)；求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將變形為，利用均值不等式即可求出結(jié)果；（2）將變形為，利用均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因此，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最大值為；（2）因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.考點(diǎn)三消元法求最值典例1．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：D.典例2．已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入得，由構(gòu)造，利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，即，因?yàn)椋?，于是，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B跟蹤訓(xùn)練1．已知都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件得，通過配湊變形，利用基本不等式求的最小值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為.故選：C.跟蹤訓(xùn)練2．已知，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得且，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用即可求解.【詳解】由，可得，由，可得且，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：B跟蹤訓(xùn)練3．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知，代入化簡(jiǎn)后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.考點(diǎn)四“1”的妙用典例1．已知，且，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)式子，然后使用基本不等式計(jì)算.【詳解】由，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值為.故選：D典例2．（25-26高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，過點(diǎn)P的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】利用向量基本定理得到，由共線定理的推論得到方程，求出，然后根據(jù)“1”的代換結(jié)合均值不等式求解最小值即可.【詳解】，因?yàn)椋?，所以，又，，三點(diǎn)共線，所以.由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.故選：B跟蹤訓(xùn)練1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】由條件先求出公比，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出，滿足的關(guān)系，然后由基本不等式得最值．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，解得（舍去），∴，由得，∴，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值是．故選：A跟蹤訓(xùn)練2．已知函數(shù)，正數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】先對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到，然后利用基本不等式的性質(zhì)將原式進(jìn)行變形，即可求出最小值.【詳解】由題意可得：.化簡(jiǎn)得.所以，所以，即.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值為5.故選：C.跟蹤訓(xùn)練3．已知，且，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合已知將變形為，然后利用基本不等式中的常數(shù)代換技巧求解最小值即可.【詳解】，又，可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．即最小值為.故選：B．考點(diǎn)五給定條件求最值典例1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由進(jìn)行換元求解．【詳解】令，所以．故選：B．典例2．已知x，y為正實(shí)數(shù)，，求的最大值．【答案】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)，等號(hào)成立．所以，故的最大值為：.跟蹤訓(xùn)練1．已知（），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將變形為，再利用基本不等式求解即可.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取到最小值．故選：B．跟蹤訓(xùn)練2．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．15 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】由條件得，還原利用基本不等式求的最小值.【詳解】由，得，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是18.故選：B跟蹤訓(xùn)練3．已知，且，求的最大值．【答案】【分析】將已知條件化為，再將待求式拆配系數(shù)，利用柯西不等式求解.【詳解】由題意知，故，則．【評(píng)注】對(duì)于有條件定值的齊次型函數(shù)，宜先考慮柯西不等式，這樣更簡(jiǎn)單、快速，而解題關(guān)鍵在于系數(shù)的拆配．考點(diǎn)六不等式恒（能）成立問題求參典例1．已知，若對(duì)任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】已知，，，恒成立等價(jià)于恒成立.又，則，.，即，解得（舍去）或，的最小值為，故選：B.典例2．已知，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【分析】根據(jù)，由基本不等式得出的最小值8，然后根據(jù)這個(gè)最小值確定m的取值范圍.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，恒成立，，解得.故選：A.跟蹤訓(xùn)練1．已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【分析】將不等式變形為，利用基本不等式即可得出答案．【詳解】，，則，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為.故選：B.跟蹤訓(xùn)練2．已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，，且，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，所以的最小值為，因?yàn)楹愠闪ⅲ裕獾?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.跟蹤訓(xùn)練3．（多選）已知，，且不等式恒成立，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AB【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范圍.【詳解】由，，則不等式，令，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，解得，因此可得的最小值為，的最大值為，故選：AB.考點(diǎn)七不等式綜合問題典例1．（多選）若滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，代入已知條件，再由判別式可求得的范圍，從而可判斷A、B選項(xiàng)，將已知條件變形為，再由均值不等式可得的范圍，再利用代入法化簡(jiǎn)即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】令，即，代入可得：，所以，解得，所以A正確，B正確；由可變形為，因?yàn)椋瑢⒋肷鲜娇傻茫航獾?，所以C不正確，D正確.故選：ABD.典例2．（多選）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用基本不等式判斷AB；利用三元基本不等式判斷CD.【詳解】對(duì)于A,B，由題得，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,D，因?yàn)?，所以，所以，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.跟蹤訓(xùn)練1．（多選）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列說法正確的有（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】利用基本不等式，結(jié)合等式求最值可判斷A，B；令，換元后再利用均值不等式求最小值，即可判斷C，D.【詳解】對(duì)于A，，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等，即的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，所以，故的最小值為，則B正確；對(duì)于C，，由得，故，令，則，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C,得，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.跟蹤訓(xùn)練2．（多選）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值C．的最小值是 D．的最小值是【答案】BCD【分析】利用基本不等式可對(duì)A項(xiàng)判斷求解；利用再結(jié)合A項(xiàng)即可對(duì)B項(xiàng)判斷求解；利用單位“1”可對(duì)C項(xiàng)求解判斷；D項(xiàng)通過化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合單位“1”的應(yīng)用可得，即可對(duì)D項(xiàng)判斷求解.【詳解】A：由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B項(xiàng)正確；C：由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C項(xiàng)正確；D：由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.跟蹤訓(xùn)練3．（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的最小值為C．的最小值為3 D．【答案】BD【分析】利用基本不等式即可判斷AB；C利用基本不等式判斷，但取等條件不成立；D構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性.【詳解】對(duì)于A，，則，等號(hào)成立時(shí)，因，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，這與已知不符合，故等號(hào)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞減，則，即，所以，所以，故D正確．故選：BD．1.已知，則取最大值時(shí)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由應(yīng)用基本不等式求最大值，進(jìn)而確定取值條件即可得.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C2.設(shè)，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本不等式進(jìn)行判定.【詳解】顯然當(dāng)時(shí)，，即成立；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，不一定；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知實(shí)數(shù)，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解.【詳解】實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由恒成立，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C4.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式化簡(jiǎn)可得最值.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)．故選：B.5.（多選）下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，最小值為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】由基本不等式結(jié)合題意可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，故等?hào)取不到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故D正確.故選：AD6．（25-26高三上·湖北·開學(xué)考試）（多選）已知，則（）A．最小值為1 B．最小值為2C． D．最小值為4【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，取，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD7．已知，且，則的最大值為．【答案】25【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】方法1，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為25；方法2，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)椋瑒t結(jié)合二次函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，取到最大值25，即的最大值為25．故答案為：258．已知，，且，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的應(yīng)用計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，的最小值為.【詳解】由可得：；當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即的最小值為.故答案為：.9．某光伏板支架為三角形結(jié)構(gòu)，已知其一個(gè)內(nèi)角為，且夾這個(gè)角的兩邊之和為8米，則三角形面積的最大值為平方米．【答案】【分析】利用三角形的面積公式和基本不等式即可得到三角形的面積的最大值．【詳解】不妨設(shè)，夾這個(gè)角的兩邊分別為，則．由基本不等式：，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．所以△的面積，即三角形面積的最大值為．故答案為：10．已知，則的最大值是，的最大值是．【答案】1【分析】利用基本不等式結(jié)合配湊法計(jì)算即可得.【詳解】由，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值是1；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值是．故答案為：1；.1．已知，則的最小值是（

）A．0 B．－1 C． D．1【答案】A【分析】方程可變形為，由，，知，，令，，根據(jù)基本不等式構(gòu)造關(guān)系求解.【詳解】方程可變形為，由，，知，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是0．故選：A．2．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，，結(jié)合關(guān)系和基本不等式求的最小值，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，所以，如圖：因?yàn)?，為原點(diǎn)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，最小值為，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，最小值為，故選：B.3．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法1：由題意得，利用基本不等式得，進(jìn)而解二次不等式即可求解；解法2：令得代入得，由即可求解.【詳解】解法1：因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，所以．再由，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），解得，所以，故的最大值為．故選：A.解法2：令，則，代入可得，，整理得，得，故．故選：A.4．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：先將原不等式的右式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用基本不等式的性質(zhì)求出其最小值，然后解關(guān)于的不等式解集即可；解法二：先將原不等式的右式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用柯西不等式的性質(zhì)求出其最小值，然后解關(guān)于的不等式解集即可；【詳解】關(guān)于的不等式在上恒成立，即，因?yàn)?，所以．解法一：（基本不等式?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得．解法二：（柯西不等式），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以，解得.故選：D．5．三角形中，角對(duì)的邊分別為，，若，則邊上的高為（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理和已知條件得到，再利用輔助角公式及基本不等式可得到，此時(shí)且，結(jié)合余弦定理可求出，最后利用等面積法即可求解.【詳解】由余弦定理得，，代入，可得，化簡(jiǎn)得，兩邊同時(shí)除以得，，一方面，，其中，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；另一方面，由均值不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，依題可得：，此時(shí)且，，，，，，，由余弦定理，，又，，聯(lián)立解得，，設(shè)邊上的高為，則，故，即邊上的高為.故選：B.6．（多選）已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且過點(diǎn)的直線與拋物線相切于點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為C．的最小值為3 D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)切點(diǎn)在拋物線上可求解拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，進(jìn)而得，利用基本不等式即可求解ACD，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解B.【詳解】由在拋物線上，可得，得，由拋物線方程，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，可得以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率為切線方程為，即．又切線過點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確．，又a，b均為正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為選項(xiàng)B錯(cuò)誤．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)C正確．，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．7．已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由條件，利用基本不等式求的最小值，再結(jié)合關(guān)系恒成立，求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以所以的取值范圍是，故答案為?8．已知，則的最小值為．【答案】【分析】法一：化，再應(yīng)用基本不等式求最小值；法二：化，再應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值.【詳解】法一：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為；法二：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：9．已知，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)已知需，令，結(jié)合基本不等式得，求出參數(shù)值確定最大值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】要求目標(biāo)式的最大值，則，即同號(hào)，令，得，所以，由于的系數(shù)與題設(shè)比例相同，故，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且同號(hào)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.10．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】．【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相應(yīng)不等式可得．【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以不等式有解，即，解得或，故答案為：．11．已知拋物線的準(zhǔn)線與以為直徑兩端點(diǎn)的圓相切，過拋物線的焦點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)圓與準(zhǔn)線相切可得，進(jìn)而聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定定理，根據(jù)焦半徑公式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由知，以的中點(diǎn)為圓心，DE為直徑的圓的方程為.由題意得，解得，故，且.設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為，則，則；當(dāng)時(shí)，將與拋物線方程聯(lián)立并消去可得.設(shè)，則，所以.從而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上，的最小值為，故答案為：1．（北京·高考真題）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．18 B．6 C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解最小值【詳解】由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是6故選：B2．（上海·高考真題）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)基本不等式即可判斷選項(xiàng)A是否正確，對(duì)選項(xiàng)B化簡(jiǎn)可得，由此即可判斷B是否正確；對(duì)選項(xiàng)C、D通過舉例即可判斷是否正確.