2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)4/14重難點(diǎn)專(zhuān)訓(xùn)02利用基本不等式求最值的九大題型解題方法及技巧提煉 1題型通法及變式提升 3題型一：直接法求最值 3題型二：配湊法求最值 4題型三：分式分離法求最值 5題型四：消元法求最值 8題型五：乘“1”法求最值 10題型六：雙換元法求最值 12題型七：構(gòu)造不等式法求最值 14題型八：多次使用基本不等式求最值 15題型九：多元均值不等式求最值 17重難專(zhuān)題分層過(guò)關(guān)練 19鞏固過(guò)關(guān) 19創(chuàng)新提升 251、直接法條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系，求最值時(shí)要求“一正、二定、三相等”。特別注意若變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用基本不等式公式求最值．2、配湊法（1）先以整式為基礎(chǔ)，通過(guò)調(diào)整系數(shù)（如將多項(xiàng)式乘以或除以特定常數(shù)）、拆分常數(shù)項(xiàng)，對(duì)代數(shù)式做等價(jià)變形，確保變形前后式子值不變。（2）配湊時(shí)始終以“湊出和為定值或積為定值”為方向，比如拆項(xiàng)、添項(xiàng)，使式子滿足基本不等式“一正、二定、三相等”的前提。（3）變形后需檢驗(yàn)：所有項(xiàng)是否為正、和或積是否為定值、等號(hào)成立條件是否存在，避免因配湊不當(dāng)違背基本不等式使用前提，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。3、分離常數(shù)法利用通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分解為對(duì)勾函數(shù)形式，再利用不等式求最值。即化為恒正或恒負(fù)的形式,然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值。4、消元法從簡(jiǎn)化問(wèn)題的角度來(lái)思考,消去一個(gè)變量,轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù),然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題,解決方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留變量的取值范圍5、代換法代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況（1）分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱(chēng)乘“1”法；（2）分母為多項(xiàng)式時(shí)①若分母中只含一個(gè)字母，兩分母可以通過(guò)配湊得到“1”，然后與所求式子進(jìn)行相乘；②待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，條件等式為，設(shè)∴，解得：，則6、雙換元法在代換法運(yùn)用中，如果分母是兩個(gè)相關(guān)的多項(xiàng)式的問(wèn)題中，可以將分母通過(guò)換元轉(zhuǎn)換成一個(gè)變量，這樣就可以將所求的式子轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的形式．7、構(gòu)造目標(biāo)不等式法尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值，注意等號(hào)成立的條件．8、多次使用基本不等式法一個(gè)問(wèn)題中多次用到基本不等式時(shí)，不僅要注意每次驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，而且一定要注意所求等號(hào)成立的條件必須一致．9、多元均值不等式公式均值不等式公式：，為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)題型一：直接法求最值典例1-1．已知，則取最大值時(shí)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C典例1-2．設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，根?jù)基本不等式的性質(zhì)有，又由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故選：B．變式1-1．若對(duì)任意的，使得均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】對(duì)任意的，使得均成立，可轉(zhuǎn)化為：，根據(jù)基本不等式，時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），因此，，.故答案為：.變式1-2．已知，則的最小值是（

）A． B． C．e D．【答案】A【詳解】由題意，，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：A.題型二：配湊法求最值典例2-1．已知，則的最大值是，的最大值是．【答案】1【詳解】由，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值是1；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值是．故答案為：1；.典例2-2．若函數(shù)在處取最小值，則（

）A．1 B．2 C．4 D．2或4【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得.故選：B變式2-1．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為4.故選：C．變式2-2．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【詳解】由，可得，因?yàn)?，故只需，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.題型三：分式分離法求最值典例3-1．若，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】變形，可得，，，原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此，取最大值時(shí).故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值時(shí)等號(hào)成立的條件，解題時(shí)要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，同時(shí)要注意條件“一正、二定、三相等”的成立，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.典例3-2．函數(shù)的最小值是，則當(dāng)時(shí)，a的值為，當(dāng)時(shí)，a的值為【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)；此時(shí).當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)；此時(shí).綜上：若，則，由題，所以.若，則，由題，所以.故答案為：1；?1.變式3-1．求函數(shù)的最小值.【答案】最小值為2.【解析】先求出函數(shù)的定義域，再將函數(shù)化簡(jiǎn)到，然后利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到“”.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.變式3-2．函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，函數(shù)又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以即函數(shù)的最大值是.故選：C.變式3-3．已知常數(shù)，函數(shù).若的最大值與最小值之差為，則.【答案】【解析】將化簡(jiǎn)為關(guān)于的函數(shù)式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，同理時(shí)，，，即的最小值和最大值分別為，依題意得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.題型四：消元法求最值典例4-1．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】正數(shù)滿足，故，由于，故，即，等價(jià)于，解得，，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，即，等號(hào)成立.故選：C典例4-2．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，，即，于是，當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即，時(shí)，的最小值為.故選：C變式4-1．已知，，且，則的最小值為．【答案】【詳解】由可得：，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以由基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故答案為：.變式4-2．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得：，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；綜上所述：，即的最大值為.故選：D.變式4-3．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是.【答案】3【詳解】因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)原不等式取等號(hào).故答案為：3.題型五：乘“1”法求最值典例5-1．若，，且，則式子的最小值是【答案】【詳解】由題設(shè)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：典例5-2．設(shè)，若恒成立，則k的最小值為（

）A．9 B．8 C．－1 D．－2【答案】C【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解得，所以的最小值為.故選：C.變式5-1．已知，，，則的最小值為.【答案】4【詳解】因?yàn)?，所以，則；因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：4變式5-2．設(shè)正數(shù)滿足，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故在上恒成立，故在上恒成立，故即，故選：B.題型六：雙換元法求最值典例6-1．已知，若，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D典例6-2．已知且，則的最小值為．【答案】9【詳解】由，得，令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，也即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9．故答案為：9.變式6-1．若，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】解法一：因?yàn)椋?，所以則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2.解法二：由權(quán)方和不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2.解法三：（消元化為函數(shù)值域法）由得，由，則，即．故當(dāng)時(shí)，取得最小值為2.故選：B.變式6-2．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】．【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以不等式有解，即，解得或，故答案為：．題型七：構(gòu)造不等式法求最值典例7-1．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法1：因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，所以．再由，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），解得，所以，故的最大值為．故選：A.解法2：令，則，代入可得，，整理得，得，故．故選：A.典例7-2．已知實(shí)數(shù)滿足，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，即，整理可得，且，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，所以取得最大值．故選：C.變式7-1．若滿足，則的最大值是，的最小值是.【答案】2【詳解】因，由，可得，即得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)或時(shí)，的最大值是；因，，即得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)或時(shí)，的最小值是.故答案為：2；.變式7-2．（多選）若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.題型八：多次使用基本不等式求最值典例8-1．已知，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】方法一：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，方法二：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為4；故選：D典例8-2．已知正實(shí)數(shù)x、y、z滿足，則的最小值為．【答案】4【詳解】由題意知，為正實(shí)數(shù)，，，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為4.故答案為：4.變式8-1．已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，，，均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：B．變式8-2．已知，當(dāng)取到最小值時(shí)，．【答案】/0.75【詳解】由題意知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故當(dāng)取到最小值時(shí)，.故答案為：.題型九：多元均值不等式求最值典例9-1．函數(shù)的最小值為.【答案】/【詳解】，所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為．故答案為：典例9-2．函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)椋蓪?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.變式9-1．設(shè)，則的最小值為．【答案】【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：變式9-2．已知pq為實(shí)數(shù)，且滿足，那么的最大值為．【答案】2【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：2鞏固過(guò)關(guān)1．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D2．已知，且，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)?且,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，因此的最小值為6．故選：B.3．若、且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，令，，則且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故選：A．4．對(duì)一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【詳解】因?yàn)閤，，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的最小值是.故選：B.5．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，又因?yàn)?，所以，即得，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最大值是故選：B.6．如圖，已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的面積的最小值為．【答案】【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作軸的垂線，垂足為.結(jié)合題意可設(shè)點(diǎn)，則，.所以，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：7．已知，則的最小值為．【答案】2【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且滿足，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為2．故答案為：2.8．已知，且，則的最大值為．【答案】/【詳解】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取最大值．故答案為：.9．已知，則的最大值為．【答案】【詳解】解法一：設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為．解法二：①．由得，則，代入①得原式．令，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則原式，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．故答案為：10．若，，且，則的最小值是.【答案】【詳解】因?yàn)闈M足，所以，即，即，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“”，解得所以的最小值為，故答案為：．11．已知，，，則的最小值為.【答案】2【詳解】因?yàn)?，，，則，解得，可得，又因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2.故答案為：2.12．已知，，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故選：C.13．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】已知，所以，則