高三數(shù)學(xué)

考生請注意：

1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后，交回答題紙；

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、考生號用0.5毫米黑色中性筆或碳素筆在答

題紙上進(jìn)行書寫；

3.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題紙上的對應(yīng)題目的答題標(biāo)號涂黑涂滿；

如需改動，請用橡皮擦干凈后，再更正其它的答案.未在答題紙上作答的、在

答題紙規(guī)定區(qū)域以外答題的一律無效；

4.如有作圖需要，請使用2B鉛筆作圖，并加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知扇形的面積為2cm2,圓心角為1弧度，則扇形的周長為

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

2.已知集合,B={x||x-a|<2},若A∈B,則實數(shù)a的取值范圍是

ABCD

3.已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則向量c用基底a,b表示為

ABCD

4.已知a,b是兩條不同的直線，a,β是兩個不同的平面，若α⊥β,b⊥β,則“a⊥a”是

“a⊥b”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知圓臺的母線所在的直線和底面所成的角為60°,且該圓臺的上、下底面的面

積分別為3π和12π,則圓臺的體積為

A.16πB.20πC.21πD.24π

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6.如圖，在正四棱錐S-ABCD中，SA=√13,AB=4,M是棱BC上一動點，N是棱AD上

一點，且AN=3DN,則兩線段SM,MN的長度的和的最小值為

A.3√5B.5√2C.5√3D.5+√3

7.記數(shù)列{an}的前n項和為,則S?5=

A.9BC.10D

8.已知某圓錐的軸截面是鈍角三角形，記該鈍角三角形的腰長為I,若過該圓錐頂

點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8,則l=

A.3B.4C.5D.6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z與(z+1)2+2i都是純虛數(shù)，則

A.z的虛部為iB.z的共軛復(fù)數(shù)是z=-i

C.|z2=1D

10.在長方體ABCD-A?B?C?D?中，M是B?C?的中點，AM=AB+λAA?+μAD(C,μ∈R),

則

AB.λ=1C.μ=1D

11.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=4,AC=AD=CD=4√2,將△ACD沿AC折起至

△ACH的位置，使HB=4√2,F是AC的中點，E是BC的中點，則

A.AB⊥HF

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B.點F到平面HBC的距離

C.HE=2√7

D.直線HE和平面HAC所成的角的正弦值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若a,b>0,且a+b-9=√ab,則ab的最大值為

13.如圖，桌面上的無蓋正方體容器ABCD-A?B?C?D?內(nèi)裝有高度為h的水，AB=3.

現(xiàn)將容器繞著棱A?B?所在直線順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器中溢出的水剛好裝滿一個半徑

的半球形玻璃瓶時，容器內(nèi)水面交棱DD?于點E,且.若不考慮容

器厚度及其他因素影響，則h=.

14.已知在三棱錐P-ABC中，△APB是邊長為3的等邊三角形，AC=5,BC=4,PA⊥BC,

則該三棱錐的外接球的表面積為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax-sinx.

(1)若曲線f(x)在原點處的切線與直線x+y=0垂直，求f(x)的零點個數(shù).

(2)若f(x)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(15分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=AD=4,CD=8,E為CD的中點，

將△ADE沿AE折起至△PAE的位置，使平面PAE⊥平面ABCE.在四棱錐P-ABCE

中，M是PA(不含端點)上的一個動點.

(1)設(shè)平面CEM∩平面PAB=MN,證明：MN//EC.

(2)若直線EM和PB所成的角的余弦值為,求三棱錐P-MCE的體積.

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17.(15分)如圖，在棱長均相等的平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，BC⊥平面

ABB?A?,二面角A?-AD-B的大小為60°,M是棱AB的中點.

(1)證明：D?M⊥CD.

(2)求二面角C-A?B-C?的正弦值.

18.(17分)在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin(A+B)sin(B-A)=cos

(1)求B;

(2)若b=2√3,△ABC的面積為3√3,求△ABC的周長；

(3)若b=2√3,求2a-c的取值范圍.

19.(17分)

如圖，在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AB//CD,AB⊥BC,AA?=AB=BC=2,CD=3,E

是A?B的中點，G是A?D上的一個動點，點F在A?C上，且滿

(1)證明：AE⊥EF.

(2)證明：平面A?FG⊥平面AEF.

(3)試問：是否存在G,A,E,F四點共面?若存在，求出A?G的值；若不存在，請說明理由.

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高三數(shù)學(xué)參考答案

1.D

【解題分析】記扇形的弧長、半徑、圓心角分別為1,r,a,則扇形的面積

解得r=2cm,所以扇形的周長為|a|r+2r=3r=6cm.

2.B

【解題分析】集合,B={xla-2<x<a+2},因為ACB,所I

解得

3.D

【解題分析】由題圖可設(shè)a=(2,0),b=(-1,1),c=(2,3),

設(shè)c=xa+yb=(2x-y,y)=(2,3),則’故

4.A

【解題分析】若a⊥β,b⊥β,則bcα或bla.當(dāng)a⊥a時，a⊥b,充分性成立；當(dāng)a⊥b時，

顯然不一定滿足a⊥a,必要性不成立.故“a⊥a”是“a⊥b”的充分不必要條件.

5.C

【解題分析】設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,則解得

又因為圓臺的母線所在的直線和底面所成的角為60°,所以圓臺的高為3,圓臺的體

6.B

【解題分析】如圖，把△SBC沿BC展開，使A,B,S,C,D五點共面.

當(dāng)S,M,N三點共線時，SM+MN的值最小，

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此時SM+MN=SN=√1+(4+3)2=5√2

7.D

【解題分析】由an+1+an+anan+1=1,得(an+1)(an+1+1)=2,

令bn=an+1,則bnbn+1=2,所以,所以an+2=an,所以{an}是周期為2

的數(shù)列.由題設(shè)易得所以S??=ai+a?+...

(另列舉可發(fā)現(xiàn)周期數(shù)列{an)的規(guī)

8.B

【解題分析】如圖，△ABC是圓錐的軸截面，依題意可得，過該圓錐頂點A的任意截

面△ABD的面積可表示,易知當(dāng)時，截面面積取得最大值，

所I,解得l=4.

9.BC

【解題分析】設(shè)z=bi(b∈R,且b≠0),則(z+1)2+2i=(1+bi)2+2i=1-b2+(2b+2)i,因為

(z+1)2+2i是純虛數(shù)，所以b=1,所以z=i,z的虛部為1,A項錯誤；Z=-i,B項正

確；|z2|=|i2|=1,C項正確；+i,D項錯誤.

10.BD

【解題分析】因

11.ACD

【解題分析】AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°,如圖，連接BF,EF,

在四面體H-ABC中，AB=BC=4,AC=AH=CH=4√2,F是AC的中點，則

HF⊥AC,BF⊥AC,且AF=BF=CF=2√2,HF=2√6,又HB=4√2,所以BF2+HF2=HB2,

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所以HF⊥BF,又因為BFNAC=F,BF,ACc平面ABC,所以HF1平面ABC,所以

HF⊥AB,故A選項正確；

由A項的分析知HF⊥EF,又,所以HE=2√7,故C選項正確；

設(shè)點F到平面HBC的距離為d,由幾何體的等體積法

故B選項錯誤；

易知BF⊥平面HAC,取CF的中點G,連接EG,HG(圖略),可知

EGI,所以∠EHG就是直線HE和平面HAC所成的角，

在Rt△EGH中,故D選項正確.

12.81

【解題分析】因為a,b>0,所以√ab=a+b-9≥2√ab-9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=9時等號成立，

即√ab≤9,故ab≤81.

13

【解題分析】由題意可知當(dāng)容器旋轉(zhuǎn)且水溢出后，剩余的水在正方體容器中形成

一個四棱柱.由正方體、棱柱與球的體積公式，得

14.28π

【解題分析】因為AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC.又因為PA⊥BC,PA∩AB=A,所以

BC1平面PAB,所以該三棱錐的外接球的球心到平面PAB的距離.設(shè)三棱

錐的外接球的半徑為R,△PAB的外接圓的半徑為r,在△PAB中，由正弦定理得

,解得r=√3,所以R2=r2+22=7,故該三棱錐的外接球的表面積S球

=4πR2=28π.

15.【解題分析】(1)f(x)=a-cosx,則f(0)=a-1,由題意知f(0)=1,解得a=2,f(x)=2x-sinx,

則f(x)=2-cosx>0恒成立，所以f(x)是R上的增函數(shù).又fO)=0,所以f(x)只有1個零

點…………………6分

(2)假設(shè)f(x)在區(qū)間上單調(diào)，則f(x)≥0或f(x)≤0恒成立.

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當(dāng)f(x)=a-cosx≥0,即a≥1時，(x)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)f(x)=a-cosx≤0,即a≤0時，f(x)在上單調(diào)遞減.

綜上，若f(x)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為(0,1)……………13分

16.【解題分析】(1)因為ECIAB,ABc平面PAB,ECα平面PAB,所以ECI平面PAB.

因為ECc平面CEM,平面CEMN平面PAB=MN,所以MNIEC……分

(2)依題意可得△PAE是邊長為4的等邊三角形，如圖，在AE上取中點0,連接PO,

則PO⊥AE.又平面PAE⊥平面ABCE,平面PAEN平面ABCE=AE,POc平面PAE,

所以PO⊥平面ABCE.由題意可知，底面ABCE是邊長為4的菱形，且∠BAE=60°,

則OB⊥AE,故以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A,OB,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示，

則

O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0),E(-2,0,0),P(0,0,2√3),PB=(0,2√3,-2√3),AP=(-2,0,2√3).

設(shè)AM=λAP=(-22,0,2√32)(0<λ<1),可得M(2-22,0,2√32)

所以EM=(4-22,0,2√31).

解得,故M為AP的中點.又因為

所以

故三棱錐P-MCE的體積……………15分

17.【解題分析】(1)因為BC1平面ABB?AI,BCIAD,所以AD⊥平面ABBLA1,所以

AD⊥AA1,AD⊥AB,∠AAB是二面角Ai-AD-B的平面角，即∠ALAB=60°.又AA1=AB,

所以△AAB是等邊三角形.

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連接A?M(圖略),因為M是棱AB的中點，所以AIM⊥AB.又AD⊥AB,所以A?Di⊥AB.

又A?M,A?Dic平面ADM,AM∩A?Di=A1,所以AB⊥平面A?D?M,所以CD⊥平面

AIDIM.又DIMc平面A?DM,所以CD⊥DIM………6分

(2)設(shè)AB=2,取CD的中點0,連接DiO,DIC,OM,則OMIAD,可得

OM⊥CD,DiO⊥CD,DIO⊥AD.又ADNCD=D,所以DIO1平面ABCD,

故以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則

A:(2,0,√3),B(2,1,0),C(0,1,0),Ci(0,2,V3,A?B=(0,1,-3,A?C?=(-2,2,0),A?C=(-2,1,-

√3).

設(shè)平面AIBC,平面AIBCi的法向量分別為m=(xi,yV1,zi),n=(x2,y2,z),

令zi=1,得m=(0,√3,1),

令z2=1,得n=(√3,√3,1),

故二面角C-A?B-C?的正弦值為.………15分

18.【解題分析】(1)在△ABC中

所,所以

因為,所以,所以…………5分

(2)因為△ABC的面積為3√3,所以

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得12=(a+c)2-3ac,

所以(a+c)2=48,所以a+c=4√3,所以a+b+c=6√3,

所以△ABC的周長為6√3………10分

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(3)由正弦定

得a=4sinA,c=4sinC=4sin(A+B),

因為△ABC為銳角三角形，且所,所以

因為函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增，所以

所以,所以2a-c的取值范圍是(0,6…………………17分

19.【解題分析】(1)在Rt△AIBC中，由題設(shè)可得同理，在Rt△AAC中，可得

又AE=√2,所以AF2=AE2+EF2,所以AE⊥EF.………3分

(2)由(1)知

由題意易知BC1平面ABBLAi,又因所以點F到平面ABB?A1的距離

在正方形ABBL