綜合復習材料

高中資料

2.3.1離散型隨機變量的期望

【教學目標】

1?了解離散型隨機變量的期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期

望.

2.理解公式“E（ag+b）=aEg+b"，以及“若f?鞏〃,拉,則Eg=np”.能熟

練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望.

【教學重難點】

教學重點：離散型隨機變量的期望的概念.

教學難點：根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望.

【教學過程】

一、復習引入：

1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做

隨機變量.隨機變量常用希臘字母g、n等表示.

2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣

的隨機變量叫做離散型隨機變量.

3.連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,

這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.

4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)

型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按

一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出.

若彳是隨機變量，〃=萌+""〃是常數(shù)，則"也是隨機變量.并且不改變其屬

性（離散型、連續(xù)型）.

5.分布列：設離散型隨機變量€可能取得值為xl,x2,…，x3,…，

,取每一個值xi2,-）的概率為=化，則稱表

xlx2???xi???

PPlP2???Pi???

為隨機變量€的概率分布，簡稱€的分布列.

6.分布列的兩個性質(zhì)：⑴Pi20,i=l,2,???；⑵P1+P2+…=1.

7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)

生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)C是一個隨機變量.如果在一

次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生

k次的概率是

匕—k）=C：p5,（k=0,l,2,…，n,q=「P）.

于是得到隨機變量W的概率分而如下：

€01k…n

2

PC；P°q"O尸...C：pkqi…C：pZ。

稱這樣的隨機變量C服從二項分布，記作&?B（n,p）,其中n,p為參數(shù)，并

記C?L=b（k；n,p）.

二、講解新課

合作探究一：期望的定義

某商場要將單價分別為18%,24%,36%的3種糖果按3：2：1的比例

混合銷售，，如何對混合糖果定價才合理？

1.上述問題如何解決？為什么？

2.如果混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等，你能解釋權數(shù)的實際含義嗎？

???混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等，.??在混合糖果中任取一粒糖果，它的單價

元元元211

為18%?,24或36%的概率分別為5,與和石,若用力表示這顆糖果的價

格，則每千克混合糖果的合理價格表示為18XP（f=l8）+24XP（力二24）+36

XP（々二36）

概念形成

一般地，若離散型隨機變量J的概率分布為

X1巧???X”???

PPlP2P3???Pn???

則稱二再■P】+工小三+…+'■PH+

為J的數(shù)學期望或均值,數(shù)學期望又簡稱為期望。

合作探究二：你能用文字語言描述期望公式嗎？

E^=X]?Pi+%2?P2+…+4?PR+…

即：離散型隨機變量的數(shù)學期望即為隨機變量取值與相應概率分別相乘后相加。

即學即練：練習1：離散型隨機變量6的概率分布

1100

P0.010.99

求4的期望。

3

練習2：隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)J的期望。

練習3.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得。分，已知他命中

的概率為0.7,求他罰球一次得分J的期望.

答案:99.01：3.5；0.7

合作探究三:若〃=a<+6(a、b是常數(shù))，;是隨機變量，則n也是隨機變量,

你能求出幼=?嗎？

??????

x\X2Xn

??????

nax^+bax2+bax—

pPiP2???Pn???

于是Eq=(ax]+〃)〃]+{ax2+b)p2+…+(axtl+b)pn+…

=a(xxpx+x2p2+-+A-?/??+-)+b5i+/4+…+P〃+???)

=aE&+b,

即學即練：1、隨機變量&的分布歹?是

4135

P0.50.30.2

⑴則E；?

⑵若n=2g+i,貝i」En=?

答案：2.4,5.8

熟記若g?B(n,p),則Eg=np

例1一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且

僅有一個選項是正確答案,每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，

滿分100分.學生甲選對任一題的概率為0.9,學生乙則在測驗中對每題都從4

個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望.

解析：甲乙兩生答對的題目數(shù)這個隨機變量是20次實驗中“答對”這個事件發(fā)

生的次數(shù)k,服從二項分布。

解：設學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是則g~B

(20,0.9),77^^(2U,0.25)=2Ux0.9=18,Eq=20x0.25=5?

由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5g和5??所

以，他們在測驗中的成績的期望分別是：

E(5J)=5E(J)=5x18=90,E(5〃)=5E(〃)=5x5=25

點評：分數(shù)與答對個數(shù)之間呈一次函數(shù)關系，故應用到“E(ag+b)=aEg+b〃,

這個公式。

思考：學生甲在這次測試中的成績一定會是90分嗎?他的均值為90分的含義是

什么？不一定，其含義是在多次類似的測試中，他的平均成績大約是90分

即學即練：在數(shù)字傳輸通道中，發(fā)生一個錯誤的概率是0.2(p),當然，每次傳

輸試驗獨立。

令X為在每10位傳輸中(n)發(fā)生錯誤的位數(shù)，求X的數(shù)學期望。

答案：2

例2見課本例3

即學即練：統(tǒng)計資料表明，每年端午節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元；商場外促

銷活動如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨可則損失4萬元。6月19日氣象預

報端午節(jié)下雨的概率為40%,商場應選擇哪種促銷方式？解:因為商場內(nèi)的促銷

活動可獲效益2萬元設商場外的促銷活動可獲效益1萬元,則&的分布列

10-4

P0.60.4

所以E910X0.6+(-4)X0.4=4.4因為4.4>2,所以商場應選擇在商場外進行

促銷.

四、課堂練習：

1.口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5,從中任取3球，以J表示取出球的

最大號碼，則造=()

A.4；B.5；C.4.5：D.4.75.

2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分.已知某運動員罰

球命中的概率為0.7,求

⑴他罰球1次的得分f的數(shù)學期望；

.⑵他罰球2次的得分〃的數(shù)學期望；

⑶他罰球3次的得分f的數(shù)學期望.

答案:l.C2(D0.7(2)1.4.(3)2.1.

歸納總結(jié)：⑴求離散型隨機變量4的方差、標準差的步驟：①理解<的意義，

寫出f可能取的全部值；②求f取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)

分布列，由期望的定義求出若g?B5,則不必寫出分布列，直接用

公式計算即可.

課后練習與提高

1.若隨機變量X的分布列如下表，則EX等于：()

X012345

P2x3x7x2x3xX

5

A.1/18B.WC.20/9D.9/20

2.隨機變量X的分布列為

X124

P0.4030.3

3.兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學期望

EX=.

4.（2009廣東佛山模擬）在?次語文測試中，有道把我國四大文學名著《水滸傳》、

《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》與它們的作者連線的題目，每連對一個得3

分，連錯不得分，一位同學該題的X分。

（1）求該同學得分不少于6分的概率：

（2）求X的分布列及數(shù)學期望。

答案：LC2.A3.2/34.（1）7/24

（2）EX=3

X03612

P的1/41/24

6

2.3.1離散型隨機變量的期望

課前預習學案

一、預習目標

1.了解離散型隨機變量的期望定義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望.

2.理解公式“E（aC+b）=aEC+b",熟記若f?石（〃，0）,則光Snp”.能熟

練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望.

1.數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量/的概率分布為

x\X2???Xn???

PpiP2???Pn???

則稱E&=為j的數(shù)學期望，簡稱.

2.數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了

3.平.均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機變量j的概率分布中，令

Pl-Pl-***=Pn?則有P|=〃2=…=EJ=,所以。的數(shù)學期望乂稱為

4.期望的一個性質(zhì)：若〃=<4+〃（”、〃是常數(shù)），J是隨機變量，則〃也是隨機

變量，它們的分布列為

??????

gx\X2Xn

??????

ax}+bax2+b

pPiP2???Pn???

E〃=.

5.若f?8（〃，夕），則ES?

三、提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中

疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案

學習目標：

1?了解離散型隨機變量的期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期

望.

2.理解公式“E（a&+b）=aE&+b”,以及“若&?B"夕），貝ljEg=np”.能熟

練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望.

7

學習重點：,離散型隨機變量的期望的概念.

學習難點：根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望.

學習過程：

一、復習引入：

1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果,那么這樣的變量叫做隨

機變量,隨機變量常用等表示.

2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以,這樣

的隨機變量叫做離散型隨機變量.

3.連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以,這樣

的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.

4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型

隨機變量都是:但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按

而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果,

若4是隨機變量，〃=<七+”"，〃是常數(shù)，則〃也是隨機變量,并且不改變其屬性

（離散型、連續(xù)型）?

5.分布列：設離散型隨機變量f可能取得值為小，而，…，普，…，

f取每一個值必（戶1,2,…）的概率為尸&=%）=」,則稱表

??????

A]A2Xi

P???月???

為隨機變量f的概率分布，簡稱f的分布列.

6.分布列的兩個性質(zhì)：⑴______；⑵.

7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)

生，在〃次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)f是一個隨機變量.如果在一

次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在〃次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生

k次的概率是

,（4=0,1,2,…，/?,4=1-〃）.

于是得到隨機變量<的概率分布如下：

§01k???n

PC；pW…C]q“-kC：p“q。

稱這樣的隨機變量f服從,記作f?8（〃，〃），其中〃，夕為

參數(shù)，并記?！肥?/p>

合作探究一：期望定義

某商場要將單價分別為18%,24%,36%的3種糖果按3：2：1的比例

混合銷售，，如何對混合糖果定價才合理？

1上述問題如何解決？為什么

2如果混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等，你能解釋權數(shù)的實際含義嗎？

二.概念形成

8

一般地,若離散型隨機變量J的概率分布為

%巧

???X”???

必

PP1P3???Pn???

則稱.

為4的數(shù)學期望或均值，數(shù)學期望又簡稱為,

合作探究二：你能用文字語言描述期望公式嗎？

JE二再?Pl+、2?P2+,?,+"E?PR+…

即：_____________________

即學即練：練習1：離散型隨機變量4的概率分布

1100

p0.010.99

求4的期望。

練習2：隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)f的期望。

練習3.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，己知他命中

的概率為0.7,求他罰球一次得分4的期望.

答案:99.01：3.5；0.7

合作探究三:若b是常數(shù))，C是隨機變量，則n也是隨機變量,

你能求出劭=,嗎？

即學即練：1、隨機變量W的分布歹是

€135

P0.50.30.2

(1)貝ijE&二.

(2)若n-2€+l,貝UEn-

答案：2.4,5.8

熟記若&?B(n,p),則Eg=np

例1一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且

僅有一個選項是正確答案,每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，

9

滿分100分.學生中選對任一題的概率為0.9,學生乙則在測驗中對每題都從4

個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望.

解析：甲乙兩生答對的題目數(shù)這個隨機變量是20次實驗中“答對”這個事件發(fā)

生的次數(shù)k,服從二項分布。

解：

點評：分數(shù)與答對個數(shù)之間呈一次函數(shù)關系，故應用到“E(aC+b)=aEg+b”,

這個公式。

思考:學生甲在這次測試中的成績一定會是90分嗎?他的均值為90分的含義是

什么？

即學即練：在數(shù)字傳輸通道中，發(fā)生一個錯誤的概率是0.2(D),當然，每次傳

輸試驗獨立。

令X為在每10位傳輸中(n)發(fā)生錯誤的位數(shù)，求X的數(shù)學期望。

答案：2

例2見課本例三

即學即練：統(tǒng)計資料表明，每年端午節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元：商場外促

銷活動如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨可則損失4萬元。6月19日氣象預

報端午節(jié)下雨的概率為40%,商場應選擇哪種促銷方式？

解析：損失4萬元即收益為一4萬元。

解：

四、課堂練習：

1.口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5,從中任取3球，以J表示取出球的

最大號碼，則()

A.4；B.5：C.4.5；D.4.75.

2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分.已知某運動員罰

球命中的概率為0.7,求

⑴他罰球1次的得分<的數(shù)學期望；

⑵他罰球2次的得分n的數(shù)學期望；

⑶他罰球3次的得分f的數(shù)學期望.

答案：l.C2(D0.7(2)1.4.(3)2.1.

歸納總結(jié)：⑴求離散型隨機變量f的方差、標準差的步驟：①理解f的

意義，寫出f可能取的全部值；②求<取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)

分布列，由期望的定義求出￡苕；若f?夕(〃，夕)，則不必寫出分布列，直接用

公式計算即可.

課后練習與提高

1.若隨機變量X的分布列如下表，則EX等于：()

X012345

P2x3x7x2x3xX

A.3/18B.WC.2OAD.9/2O

1()

2.隨機變量X的分布列為

X124

P0.40.30.3

3.兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學期望

EX=.

4.（2009廣東佛山模擬）在一次語文測試中，有道把我國四大文學名著《水滸傳》、

《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》與它們的作者連線的題目，每連對一個得3

分，連錯不得分，一位同學該題的X分。

（1）求該同學得分不少于6分的概率；

（2）求X的分布列及數(shù)學期望0

答案：l.C2.A3.羽4.（1）/4

（2）EX=3

X03612

P監(jiān)1/51/24

11

2.3.2離散型隨機變量的方差

【教學目標】

1,了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列

求出方差或標準差.

2.了解方差公式“。以及“若f?B（〃，夕），貝：，"=即（1一0）”,

并會應用上述公式計算有關隨機變量的方差.

【教學重點］

離散型隨疝變量的方差、標準差.

【教學難點】

比較兩個席機變量的期望與方差的大小，從而解決實際問題?

【教學過程】

一、前置測評：

1.數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量§的概率分布為___

X1X2???Xn???

??????

PPlP2Pn

則稱四=%|Pi+R2P2+…+X”Pn+…為f的數(shù)學期望，簡稱期望.

2.數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平

均水平.

3平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機變量f的概率分布中，令Pl=p2=…二力，

則有Pl=P，=…=Pn=L=（西+x,+…+x〃）xL所以1的數(shù)學期望又稱

n~n

為平均數(shù)、均值

4.期望的一個性質(zhì)：E（延+b）=aE4+b

5,若￡?月（〃,拉,則EW二”.

二、講解新課?

問嬴探究：.已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)XI、X2的分布

列如下：

Xl8910X28910

p0.20.60.2P0.40.20.4

試比較兩名射手的射擊水平..

下面的分析對嗎？

..Eg】=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9

￡^=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9

???甲、乙兩射手的射擊水平相同.

12

(你贊成嗎？為什么？)

顯然兩名選手的水平是不同的,這里要進一步去分析他們的成績的穩(wěn)定性.樣本

方差的公式及作用是什么，你能類比這個概念得出隨機變量的方差嗎？

1.方差：對于離散型隨機變量f,如果它所有可能取的值，是毛，巧，…，叁，…，

且取這些值的概率分別是%,%，…，必，…，那么，

值=(為-二尸.0+(心-號產(chǎn)?02T-----卜(X”-絡產(chǎn)?0〃+…

稱為隨機變量f的均方差，簡稱為方差，式中的偌是隨機變量f的期望.

2.標準差:打的算術平方根底叫做隨機變量f的標準差，記作

注：方差與標準差都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們的

值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

即學即練：

1.(課本第66頁例4)隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點數(shù)X的均值,

方差和標準差。

2.若隨機變量x滿足P(x=c)=1,其中c為常數(shù)，求Ex和Dx.

答案：(1)3.5；2.92；1.71(2)c;0

3.剛才問題再思考：其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？，

如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？

解.??=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9

砥=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9

???甲、乙兩射手的射擊平均水平相同.

又,.,%=04誠=0.&

???甲射擊水平更穩(wěn)定.

如果對手在8環(huán)左右，派甲.

如果對手在9環(huán)左右，派乙.

方差的性質(zhì)

(1)〃(延+1)=黯偌；(2)D&=您2_(線產(chǎn)；

(3)若f?8(mp),則/=np(l-p).(4)若f服從兩點分布,則/=p(l-p)?

即學即練

已知x~B(100,0.5),則Ex=_,Dx=sx=—.E(2x-1)=,D(2x-1)=,

s(2x-l)=

答案50；25；5；99；100；10

13

例題:有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息:

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200

獲得相應職位的概率P20.40.30.20.1

根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？

%=1400,EX,=1400耽=40000,DX,=112000

解：

在兩個單位工資的數(shù)學期望相等的情況下，如果認為自己能力很強,應選擇工資方

差大的單位，即乙單位;如果認為自己能力不強,就應選擇工資方差小的單位，即甲

單位.

即學即練

甲乙兩人每天產(chǎn)量相同，它們的

答案：甲乙兩人次品個數(shù)的平均值相等，但甲的穩(wěn)定性不如乙，乙的生產(chǎn)水平高.

歸納總結(jié)：

1隨機變量f的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；

2隨機變量f的方差、標準差也是隨機變量，的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量

取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；

3標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛.

4求離散型隨機變量f的方差、標準差的步驟：①理解f的意義，寫出f可能取

的全部值；②求f取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義

求出母;④根據(jù)方差、標準差的定義求出。彳、若％8(0,p),則不必寫出

分布列，直接用公式計算即可.

5對于兩個隨機變量。和在“當和石務相等或很接近時，比較。。和

甲單位不同職位月工資X1/1200140016001800

元

獲得相應職位的概率Pi0.40.3020.1

14

D

^t可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要.

課堂練習:已知J~W〃，P）,拶=8,"=1.6,則〃，〃的值分別是（）

A.100和0.08；B,20木R0.4；c.10和0.2；D.10枷.8.

答案：1.D?

2.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%,從中任意地連續(xù)取出200件商品，設

其中次品數(shù)為，，求Eg,D

答案：2；1.98.

3.設事拜A發(fā)生的概率為p,證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)C的方差不超

過皿.

4.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量g和"，

已知4和〃的分布列如下：（注得分越大，水

平越高）

g123

J1123試分析

pa0.10.5甲、乙技

P0.3b0.3術狀況

答案：1.D2.2；1.98.

3.證明：因為g所有可能取的值為0,1且P（&=0）=l-p,P（^=l）=p,

所以，Eg=0x（l-p）+lxp=p.

fp+(1-p)丫1

則D&=(0-p)2x(l-p)+(l-p)2xp=p(l-p)V

4.解：由0.1+0.6+a+l^8=0.3

0.3+0.3+b=l=b=0.4

C^=2.3,=2.0：

故甲的水平高。

課后練習與提高

1.甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)X、Y的分布列如下：

環(huán)數(shù)k8910

P(X=k)0.30.20.5

P(Y=k)0.20.40.4

其中射擊比較穩(wěn)定的運動員是（）

A.甲B.乙C.一樣D.無法比較

2.設隨機變量X~B（n,p）?且EX-1.6,DX=1.28,則（）

A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4

C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45

3.（2008高考寧夏、海南卷）AB兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量Xi和

X2o根據(jù)市場分析，Xi和X2的分布列分別為

Xi5%10%

15

8%12%

x22%

P0.&0.2p.0.20.50.3

(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元，Yi和丫2分別表示投資項目A和B所

獲得的利潤，求方差DYi和DY2;

(2)將x(OWxWlOO)萬元投資A項目，100-x萬元投資B項目，f(x)表示投

資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小

值,并指出X為何值時，f(x)取到最小值。(注：D(aX+b)=a2DX)

答案：LB2.A3.(1)4,12⑵x=75時，f(x)=3

16

2.3.2離散型隨機變量的方差

課前預習學案

一、預習目標

了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求

出方差或標準差.

2.了解方差公式“。(定+幼=。2)”,以及“若f?8S，P),則。占叩(1—P)”，并會

應用上述公式計算有關隨機變量的方差.

二、預習內(nèi)容

1、對于離散型隨機變量f，如果它所有可能取的值，是?，七，…，

且取這些值的概率分別是%,%,…，那么，

稱為隨機變量6的均方差，簡稱為方差，式中的E&是隨機變量t的期望.

2、標準差：叫做隨機變量f的標準差，記作

注：方差與標準差都是反映它們的值越小，則

小，即越集中于均值。

三、提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中

疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案

~學習目標

L?解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列

求出方差或標準差.

2.了解方差公式“。(定+與引成”,以及“若f?8(〃,p),則珠叩(Lp)”,并會

應用上述公式計算有關隨機變量的方差.

學習重難點：離散型隨機變量的方差、標準差?；比較兩個隨機變量的期望與方

差的大小，從而解決實際問題.

二、學習過程

問題探究：已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)XI、X2的分布

列如下

XI8910

P0.20.60.2

X28910

P0.40.20.4

試比較兩名射手的射擊水平.

17

合作探究一：方差的概念

顯然兩名選手的水平是不同的，這里要進一步去分析他們的成績的穩(wěn)定性.樣本方

差的公式及作用是什么，你能類比這個概念得出隨機變量的方差嗎？

對于離散型隨機變量S如果它所有可能取的值，是玉，％,與，…，且

取這些值的概率分別是小，“2,…，〃”，…，那么稱為隨

機變量4的均方差，簡稱為方差，式中的E4是隨機變量f的期望.

標準差：做隨機變量f的標準差，記作

注：方差與標準差都是反映它們的值越小，則

___________________小。

即學即練：

1.(課本第66頁例4)隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點數(shù)X的均值,

方差和標準差。

2.若隨機變量x滿足P(x=c)=1,其中c為常數(shù)，求Ex和Dx.

3.剛才問題再思考：其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？，

如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？

答案：(1)3.5；2.92；1.71(2)c;0

(3)如果對手在8環(huán)左左，派甲.

如果對手在9環(huán)左右，派乙.

熟記結(jié)論：.方差的性質(zhì)

(1)。(殆+X/2分:(2)D-砧)2；

(3)若彳?8(",p),則英二r)p(l-p).(4)若f服從兩點分布,則D/=p(l-p).(

即學即練：已知x-B(100,0.5),貝！|Ex=_,Dx=,sx=_.E(2x-1)=,

D(2x-1)=rs(2x-l)=

答案50：25；5：99；100：10

例21有甲乙扇個'單位'都愿魯聘用你，而你能獲得如下信息：

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200

獲得相應職位的概率P20.40.30.20.1

根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？

解析;先求期望，看期望是否相等，在兩個單位工資的數(shù)學期望相等的情況下,

甲單位不同職位月工資X】/元1200140016001800

獲得相應耿位的概率Pi0.40.30.20.1

再算方差,，如果認為自己能力很強，應選擇工資方差大的單位,;如果認為自己能力

不強，就應選擇工資方差小的單位.

即學即練

甲乙兩人每天產(chǎn)量相同，它們的次品個數(shù)分別為自,中其分布列為

18

0123

n012

p0.10.50.4

判斷甲乙兩人牛產(chǎn)水平的高低？

答案：甲乙兩人次品個數(shù)的平均值相等，但甲的穩(wěn)定性不如乙，乙的生產(chǎn)水平高.

歸納總結(jié)：⑴隨機變量f的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；

⑵隨機變量1的方差、標準差也是隨機變量f的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量

取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；

⑶標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣法

（4）求離散型隨機變量1的方差、標準差的步驟：①理解f的意義，寫出f可

能取的全部值；②求f取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的

定義求出反；④根據(jù)方差、標準差的定義求出。自、。久若已8（巾p）,則不必

寫出分布列，直接用公