湖南省名校2025年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A. B.C. D.3．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A. B.C. D.4．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.5．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.276．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.107．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上.給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④8．已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.9．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.14410．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.11．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)，是雙曲線右支上動點(diǎn)，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.1012．設(shè)，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______14．已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且的斜率之積為，則橢圓的離心率為________15．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比為___________.16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，且的面積為，橢圓上的動點(diǎn)到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①證明：動直線恒過軸上一定點(diǎn)；②設(shè)線段中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，求的面積的最大值.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：20．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng).21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；.（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.2、C【解析】求出圓心到直線的距離，再利用，化簡求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離公式為，故故選：C.3、B【解析】模擬程序運(yùn)行后,可得到輸出結(jié)果,利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運(yùn)行過程如下:0),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),1),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),2),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),3),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),……9),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項(xiàng)相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時(shí),常模擬程序運(yùn)行以得到結(jié)論.4、A【解析】將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)線方程為，故選：A.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】當(dāng)點(diǎn)P是線段EF中點(diǎn)時(shí)判斷①；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，推理導(dǎo)出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計(jì)算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線平面ACF，①正確；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯(cuò)的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，，，而，則，當(dāng)P與E重合時(shí)，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號是①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影都在這兩個(gè)平面的交線上.8、C【解析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線和圓相切時(shí)，有，可得，，的最小值為：，故選：9、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A10、A【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，列出關(guān)于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質(zhì)：，解的或，故選：A11、C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點(diǎn)，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解.12、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時(shí)，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：14、##0.5【解析】根據(jù)對稱性設(shè)，，，根據(jù)得到，再求離心率即可.【詳解】由對稱性，，關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，，，故.故答案為：15、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：316、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，再由錯(cuò)位相減法得出的前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.18、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點(diǎn)即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個(gè)式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】①證明：設(shè)兩條直線分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因?yàn)?，所以設(shè)直線：，直線：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為：，整理得，此時(shí)直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)直線過定點(diǎn)，故直線恒過定點(diǎn).②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的面積的最大值為：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題19、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)可得，從而可得；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，從而可得，又，即可證明不等式成立.【小問1詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，∴，；【小問2詳解】證明：因?yàn)?，∴，∴∴，又∵，∴，所?0、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計(jì)算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可（1）由于共9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）寫出展開式的通項(xiàng)，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.（2）展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.21、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)令，，設(shè)，求出，結(jié)合已知條件可列出關(guān)于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過作于點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，

，，，∵為的中點(diǎn)．∴．則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設(shè)，∴．∴，∴