2026屆江蘇省海安市南莫中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.503．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.4．公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.5．不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形6．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.7．已知橢圓方程為，點(diǎn)在橢圓上，右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.8．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.和 B.和C.和 D.和9．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).若，點(diǎn)P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知拋物線，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為直角三角形，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________.14．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則________15．美好人生路車站早上有6：40，6：50兩班開(kāi)往A校的公交車，若李華同學(xué)在早上6：35至6：50之間隨機(jī)到達(dá)該車站，乘開(kāi)往A校的公交車，公交車準(zhǔn)時(shí)發(fā)車，則他等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為_(kāi)_____16．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).18．（12分）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD，Q為PB中點(diǎn)（1）求證：平面平面PBC；（2）求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值19．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大??；（2）若b=4，△ABC的面積為，求a+c的值21．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.22．（10分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，即，，漸近線方程為，進(jìn)而得到雙曲線方程為.故選：D.2、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A3、D【解析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【詳解】，所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以是在上的唯一極值點(diǎn)，極小值也是最小值．故選：D4、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項(xiàng)D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項(xiàng)A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項(xiàng)都大于1，從第2022項(xiàng)開(kāi)始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項(xiàng)A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項(xiàng)B不正確；而，由以上分析可知其無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；故選：A5、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)梯形.故選：D.6、A【解析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個(gè)斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對(duì)應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A7、A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點(diǎn)在橢圓上得，由橢圓的對(duì)稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.8、C【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得到焦點(diǎn)所在軸及半焦距的長(zhǎng)，進(jìn)而得到兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點(diǎn)在y軸，故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是和故選：C9、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可得，由點(diǎn)P到直線l的距離不小于可得，進(jìn)而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，P為短軸的上端點(diǎn)，連接，如圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點(diǎn)P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.10、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D11、B【解析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，求得直線的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可得出，進(jìn)而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點(diǎn).為等腰直角三角形，由拋物線的對(duì)稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線后可得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：將初始直線平移至點(diǎn)時(shí)，可取最小值，由可得，故，故答案為：2.14、【解析】由準(zhǔn)線方程的表達(dá)式構(gòu)建方程，求得答案.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中準(zhǔn)線的方程表示，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)題意，李華等車不超過(guò)5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達(dá)，進(jìn)而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】由題意，李華等車不超過(guò)5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達(dá)，則所求概率.故答案為：.16、【解析】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時(shí)，最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果，（2）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)解得結(jié)果.【詳解】（1）.所以在點(diǎn)處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設(shè)切點(diǎn)為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過(guò)點(diǎn)，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證，從而可利用面面垂直的判定定理可證平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)為S，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，而，故四邊形為矩形，所以，由?）可得平面，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，故，故平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為.19、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】在中，，因?yàn)椋謩e是，邊上的中點(diǎn)，所以∥，，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)椋?，因?yàn)椋允堑冗吶切?，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，在中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以20、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)求出，即可得到結(jié)果（2）利用三角形的面積求出，通過(guò)由余弦定理求解即可【詳解】解：（1）因?yàn)閎cosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16∴a+c=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面積公式解三角形問(wèn)題，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線關(guān)于直線對(duì)稱，兩直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).22、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)在處取極值可得，可求得，驗(yàn)證可知滿足題意；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可求得切線方程；（2）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到的單調(diào)性；（3）根據(jù)在上無(wú)零點(diǎn)可知在上的最大值和最小值符號(hào)一致；分別在，兩種情況下根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值，利用符號(hào)一致構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：在處取極值，解得：則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增為極小值點(diǎn)，滿足題意函數(shù)當(dāng)時(shí)，由得：在處的切線方程為：，即：（2）由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)若，恒成立，恒成立