6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示第六章

平面向量及其應(yīng)用復(fù)習(xí)引入1、什么是平面向量基本定理？2、平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)就是把向量分解為兩個不共線的向量之和，同學(xué)們思考，這種分解是唯一的嗎?

不是唯一的，不同的基底有不同的分解方法，但是對于同一個基底分解方法是唯一的.復(fù)習(xí)回顧

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且僅有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量．想一想：物理上是怎樣對力進(jìn)行分解的？觀察兩個分力的位置關(guān)系?重力G可以分解為兩個分力：平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力F1，垂直于斜面的壓力F2作用：在平面中，如果取相互垂直的向量作為基底，將為我們研究問題帶來極大的方便。新知探究如圖,向量i,j是兩個互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30°,且|a|=4,以向量i,j為基底,向量a如何表示?思考：新知探究

在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,任作一向量a,根據(jù)平面向量基本定理,a=xi+yj,那么(x,y)與A點(diǎn)的坐標(biāo)相同嗎?如果向量也用(x,y)表示,那么這種向量與實(shí)數(shù)對(x,y)之間是否一一對應(yīng)?分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量{i，j}作為基底，則有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi+yj這樣平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定思考：

新知探究平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝（x，y）．

①其中，x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量a的坐標(biāo)表示．一、平面向量的坐標(biāo)表示

你能寫出向量i，j，0的坐標(biāo)表示嗎？i=（1，0）j=（0，1）0=（0，0）新知探究一、平面向量的坐標(biāo)表示

點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有何區(qū)別與聯(lián)系？新知探究區(qū)別表示形式不同向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點(diǎn)A(x，y)中間沒有等號意義不同點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同【例1】如圖，分別用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它們的坐標(biāo)嗎？同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3），c＝－2i－3j＝（－2，－3），

d＝2i－3j＝（2，－3）．解：a＝＋＝2i＋3j，所以a＝（2，3）．典例分析【訓(xùn)練1】如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i、j作為基底，分別用i、j表示，并求出它們的坐標(biāo)．鞏固練習(xí)解：由圖知OA＝6i＋2j，

OB＝2i＋4j，

AB＝－4i＋2j，

故它們的坐標(biāo)表示為OA＝(6,2)，

OB＝(2,4)，

AB＝(－4,2)．小結(jié)：求平面向量坐標(biāo)的方法(1)若i、j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時,向量a的坐標(biāo)即為(x,y).(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時,向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo).解題時,常常結(jié)合幾何圖形,進(jìn)行計(jì)算.鞏固練習(xí)教學(xué)闡釋教

學(xué)

闡

釋一、教材內(nèi)容分析

本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第3節(jié)第二課時的內(nèi)容．平面向量基本定理是坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，坐標(biāo)表示使平面中的向量與坐標(biāo)建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，這為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭建了橋梁，也決定了本課內(nèi)容在向量知識體系中的核心地位.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).教學(xué)闡釋教

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釋二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)掌握了向量的概念和簡單的線性運(yùn)算，并且上節(jié)課學(xué)習(xí)了平面向量的基本定理，學(xué)生對向量和數(shù)之間的關(guān)系已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，已經(jīng)能感覺到向量是可以用實(shí)數(shù)表示的，教師只需對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)最佳的表示方法，感受這個探究過程。教學(xué)闡釋教

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釋三、目標(biāo)定位1、借助平面直角坐標(biāo)系，理解平面向量的正交分解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2、掌握平面向量的坐標(biāo)表示,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．教學(xué)闡釋教

學(xué)

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釋四、目標(biāo)解析（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理為基礎(chǔ)，平面上給定兩個不共線的向量，則任意向量均可分解為分別與它們共線得兩個向量，如果這兩個不同線的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，思考直角坐標(biāo)平面內(nèi)向量的表示方法，由正交分解和單位向量做基底，由此給出向量坐標(biāo)的概念.（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機(jī)會去落實(shí)．在向量的正交分解及坐標(biāo)表示的教學(xué)中，從平面向量基本定理歸納推理概括正交分解和坐標(biāo)表示是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的很好機(jī)會．教學(xué)闡釋教

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釋五、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：如何進(jìn)行向量的正交分解是本節(jié)課的第一個教學(xué)問題．解決方案：通過回顧平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的兩個方向分解的例子說明．2．教學(xué)問題二：如何進(jìn)行坐標(biāo)表示是本節(jié)課的第二個教學(xué)問題．這是本節(jié)課的重點(diǎn)類．解決方案：類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，借助圖形觀察發(fā)現(xiàn)向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系．教學(xué)闡釋教

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釋六、重難點(diǎn)分析1、基于教學(xué)目標(biāo)分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：掌握向量的坐標(biāo)表示．2、基于教學(xué)問題的診斷分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：了解平面向量的正交分解．教學(xué)闡釋教

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釋七、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到向量的正交分解及坐標(biāo)表示，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學(xué)過程中利用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，討論，可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過程中，重視向量的正交分解及坐標(biāo)表示，讓學(xué)生體會到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過程．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．教學(xué)闡釋教

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釋八、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本堂課由五個部分組成：（一）復(fù)習(xí)回顧；（二）新知探究；（三）典例分析；（四）課堂小結(jié)；（五）課后作業(yè)。1、復(fù)習(xí)回顧【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)平面向量基本定理引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。教學(xué)闡釋教

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釋八、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本堂課由五個部分組成：（一）復(fù)習(xí)回顧；（二）新知探究；（三）典例分析；（四）課堂小結(jié)；（五）課后作業(yè)。2、新知探究【設(shè)計(jì)意圖】通過探究讓學(xué)生理解平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。教學(xué)闡釋教

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釋八、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本堂課由五個部分組成：（一）復(fù)習(xí)回顧；（二）新知探究；（三）典例分析；（四）課堂小結(jié)；（五）課后作業(yè)。3、典例分析【設(shè)計(jì)意圖】通過例題鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增