2025-2026學(xué)年南門(mén)中學(xué)八年級(jí)上學(xué)期期中考試卷數(shù)學(xué)試題一．選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．近年來(lái)，中國(guó)在全球新能汽車(chē)領(lǐng)域占據(jù)著重要地位，已連續(xù)多年成為全球最大的新能源汽車(chē)市場(chǎng)，以下幾個(gè)新能源汽車(chē)車(chē)標(biāo)中，軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．2．現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度分別為20cm和30cm的木條，要選擇第三根木條，把它們釘成一個(gè)三角形木架，則第三根木條的長(zhǎng)度可以是（A．10cm B．30cm C．50cm3．△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定4．下列各式中，計(jì)算正確的是（

）A．a(chǎn)32=a6 B．a(chǎn)35．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P3,2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

A．3,2 B．?3,2 C．3,?2 6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AP是角平分線(xiàn)，AC=4，PCA．2 B．3 C．4 D．5（第6題）（第7題）（第8題）7．如用，AB=AC，點(diǎn)D在A(yíng)B上，點(diǎn)E在A(yíng)C上，若添加一個(gè)條件可使△ABE≌△ACD，則添加的這個(gè)條件不可以是（

）A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠ADC=∠AEB D．BE=CD8．如圖，過(guò)等邊ΔABC的頂點(diǎn)A、B、C依次作AB、BC、AC的垂線(xiàn)MG、MN、NG，三條垂線(xiàn)圍成ΔMNG，若AM=2，則ΔMNG的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．18 C．20 D．24

9．小明用兩個(gè)全等的三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“燕尾”的平面圖案，如圖，△APB≌△APC，連接BC并延長(zhǎng)AP，AP的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC交于點(diǎn)D，則下列推斷錯(cuò)誤的是（）A．PD平分∠BPC B．AP⊥BC C．D是BC的中點(diǎn) D．BC=PC10．東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設(shè)一批精品口袋公園．如圖所示，△ABC是一個(gè)正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得S△ABH=S△BCHA．∠BAC的角平分線(xiàn)與AC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)B．∠BAC的角平分線(xiàn)與AB邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)C．∠ABC的角平分線(xiàn)與AC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)D．∠ABC的角平分線(xiàn)與BC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)二．填空題（每題4分，共24分）11．如圖，∠ACD=75°，∠B=30°，則∠A=．（第11題）（第12題）（第13題）12．如圖，AC⊥BE，DE⊥BE,垂足分別為點(diǎn)C、E。若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，則CE=．13．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∠B=70°，則∠CAD的大小為．14.計(jì)算：（-415．如圖，已知∠B=20°，∠C=25°，若PM和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)為．

16．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=30°，CO⊥AB于點(diǎn)O，CB=a，CA=b，CO=h，其中a>b，M、P、Q分別為線(xiàn)段AB、CB、CA上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)A，B、C重合），對(duì)于每一個(gè)確定的點(diǎn)M，將△MPQ①過(guò)點(diǎn)M向CB、CA作垂線(xiàn)、垂足分別為P、Q，此時(shí)△MPQ的周長(zhǎng)即為tM②在點(diǎn)M從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tM的最小值為h③當(dāng)h<tM<b時(shí)，點(diǎn)M能在兩個(gè)不同的位置取到相同的其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（共9題，86分。）17．（8分）計(jì)算：（1）3a218．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：(x+4)(x+3)+x(4-x)19．（8分）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且AO＝BO，CO＝DO．求證：AD∥BC．20．（8分）求證：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等．請(qǐng)補(bǔ)充完成余下的證明過(guò)程．已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，．求證：．證明：21．（8分）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．求作∠ABC的平分線(xiàn)，分別交AD、AC于P，Q兩點(diǎn)；并證明

22．（10分）如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分別為D、E，AE、BD相交于點(diǎn)O，連接DE．（1）判斷△CDE的形狀，并說(shuō)明理由．（2）若AO=12，求OE的長(zhǎng)．23．（10分）小聰學(xué)習(xí)多項(xiàng)式研究了多項(xiàng)式值為0的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)mx+n=0或px+q=0時(shí)，多項(xiàng)式A=mx+npx+q=mpx2(1)已知多項(xiàng)式3x+2x?3(2)已知多項(xiàng)式B=x?2x+m=x2(3)小聰繼續(xù)研究x?4x?2，xx?6及x?52x?若多項(xiàng)式M=2x?bcx?7c=ax

24．(12分)等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=ɑ，點(diǎn)D在A(yíng)C邊上，將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(180°-ɑ)得到線(xiàn)段BE，連接CE與AB相交于點(diǎn)F.(1)如圖1，EG⊥AB，垂足為G，當(dāng)ɑ=90°時(shí)①圖中與∠ADB相等的角是______．②求證：AF=FG；(2)如圖2，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，請(qǐng)用等式表示CF和EF的數(shù)量關(guān)系，并證明。

25．（14分）數(shù)學(xué)課上，陳老師出示了如下方框中的題目：原題：如右圖，∠A＝36°，點(diǎn)B，C分別是射線(xiàn)AN，AM上的動(dòng)點(diǎn)，以BC為腰在△ABC的外側(cè)作等腰△BCD，使∠CBD＝108°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AN于點(diǎn)E，交射線(xiàn)AM于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AN交AM于點(diǎn)G，探究線(xiàn)段AC與GF的數(shù)量關(guān)系．小辰與同桌小馨討論后，仍不得其解，陳老師提示道:“數(shù)學(xué)中常通過(guò)把一個(gè)問(wèn)題特殊化來(lái)找到解題思路”，兩人茅塞頓開(kāi)，于是進(jìn)行了如下解答：（1）【特殊情況，探索結(jié)論】①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，則線(xiàn)段AC與GF的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___________．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時(shí)，小辰想在GF上截取GH=AC，連接DH，繼而探究線(xiàn)段AC與GF的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你根據(jù)小辰的思路或者按照自己的思路，探究線(xiàn)段AC與GF的數(shù)量關(guān)系；（2）【特例啟發(fā)，解答題目】請(qǐng)你根據(jù)(1)中的探究過(guò)程，完成方框內(nèi)的題目解答;（3）【拓展結(jié)論·設(shè)計(jì)新題】經(jīng)過(guò)以上的解答，小馨對(duì)題目進(jìn)行一般化探索，發(fā)現(xiàn):當(dāng)∠A和∠CBD滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系_______________時(shí)，線(xiàn)段AC與GF的數(shù)量關(guān)系仍然成立.(請(qǐng)你在橫線(xiàn)上直接寫(xiě)出∠A和∠CBD滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，無(wú)需證明)圖2圖3

2025-2026學(xué)年南門(mén)中學(xué)八年級(jí)上學(xué)期期中考試卷參考答案與試題解析選擇題（共10小題）12345678910CBBACADBDA10．解：如圖：∵AD平分∠BAC，點(diǎn)H在A(yíng)D上，∴點(diǎn)H到AB、AC的距離相等，∵BE是AC邊上的中線(xiàn)，∴S△ABE=S∴S△ABE∴S△ABH∴涼亭H是∠BAC的角平分線(xiàn)與AC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)，故選：A．填空題11．45° 12．3 13．20°14．4 15．90° 16．②③16．解：作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′點(diǎn)M關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M″，MM′交BC于P1，MM連接M′M″，交BC于P，交AC連接MP，MQ，P1Q1根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：CM=CM′=CM″∠MCA=∠M″CA∵∠ACB=∠MCA+∠MCB=30°，∴∠MCA+∠M∴△M∴M∵△MPQ的周長(zhǎng)tM△P1QQ1∵tM∴M與O重合時(shí)，CM=CO=h，即tM當(dāng)h<tM<b時(shí)，點(diǎn)M能在兩個(gè)不同的位置取到相同的分別在點(diǎn)O兩側(cè)且關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，故③正確，

解答題17．（1）解：原式=3a6解：原式=218．解：原式=x=11x+12將x=1代入得原式=2319．證明：在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠D＝∠C，∴AD∥BC．20．AD，A’D’分別是BC，B’C’上的中線(xiàn)；AD＝A’D’；證明：∵△ABC≌△A’B’C’（已知），∴∠B＝∠B'（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），AB＝A'B'，BC＝B'C'（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∵AD和A’D’分別是△ABC和△A’B’C’的BC和B’C’邊上的中線(xiàn)∴，∴BD＝B'D'在△ABD與△A’B’D’∴△ABD≌△A’B’D’（SAS）∴AD＝A'D'．21．解：BQ就是所求的∠ABC的平分線(xiàn),P、Q就是所求作的點(diǎn).

證明:∵AD⊥BC∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.22．解：（1）△CDE是等邊三角形，理由如下，（2）由（1）得，EA平分∠BAC,DB平分∠ABC∴∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°23．(1)?23(2)a=2(3)2，1解：（1）根據(jù)題意，令3x+2x?3∴3x+2=0或x?3=0，解得：x=?23或故答案為：?23或（2）根據(jù)題意，把x=2代入B，得B=4+2a?1解得：a=2，（3）∵M(jìn)=2x?b∴M的兩個(gè)零點(diǎn)分別是b2或7根據(jù)“3?系多項(xiàng)式”的定義，有b2∴b=?2把b=?2代入M，得M===2c∵M(jìn)=a∴a=2c,5b?4=?14c∴c=1,故答案為：2，1．（1）①∠GBE②證明：∵∠GBE+∠DBA=∠DBE=90°，且∠BDA+∠DBA=180°-∠A=90°∴∠GBE=∠BDA又BD=BE，∠A=∠EGB∴△BAD≌△EGB（AAS）∴AC=GE又∠CAF=∠EGF,∠CFA=∠EFG∴△CAF≌△EGF（AAS）∴AF=FGCF=EF,證明：在A(yíng)B上截取BG=AD，連接EG∵∠BDA=180°-∠∠EBG=∠DBE-∠1=180°-∴∠BDA=∠EBG又BD=BE，DA=BG∴△BDA≌△GBE（SAS）∴EG=AB=AC，∠A=∠EGB分別過(guò)點(diǎn)E,G作EM⊥AB，CN⊥AB,垂足分別為M,N在△ANC與△GME中∠∴△ANC≌△GME（AAS）∴CN=EM易得△CNF≌△EMF（AAS）∴CF=EF25．證明：（1）①FG＝2AC；②如圖2中，在A(yíng)F上截取GH=AC,連接DH．∵BC=AD，∠CBD＝108°∴∠BCD＝∠BDC＝36°∵DG∥AB∴∠ABC＝∠BCD＝∠A=36°，∠FCD＝∠FAE＝36°，∠FDC＝∠FEA＝90°∴GA＝GB=GH，∵DG＝DG，∠HGD＝∠BGD＝36°∴△DGH≌△DGB（SAS），∴∠HDC＝∠BDC＝36°，HD=BD=BC=AC又∠FDH＝∠FDC-∠HDC=54°∠AFE＝∠FEN-∠A=54°∴FH=HD=AC=CH∴FG＝2AC；（2）如圖4中，取GF的中點(diǎn)H，連結(jié)DH．過(guò)點(diǎn)D作DJ∥AM交AE于點(diǎn)J，連接CJ，在A(yíng)B上截取線(xiàn)段AP，使得AP＝AC，連接PC，在線(xiàn)段BE上截取線(xiàn)段BL，使得BL＝PC，連接DL．設(shè)BC，DJ交于點(diǎn)O．∵EF⊥AE，DG∥AE，∴DG⊥EF，∵FH＝HG，∴DH＝HG＝HF，∵∠A＝36°，AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝72°，∴∠PBC+∠PCB＝72°，∵∠CBD＝108°，∴∠PBC+∠DBL＝72°，∴∠DBL＝∠PCB，∵CP＝BL．CB＝BD，∴△CPB≌△BLD（SAS），∴