2/30第一章空間向量與立體幾何（舉一反三單元測(cè)試·拔尖卷）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（24-25高二上·安徽安慶·階段練習(xí)）給出下列四個(gè)命題，其中正確的有（

）（1）若空間向量a，b，c，滿足a//b，b//（2）空間任意兩個(gè)單位向量必相等；（3）對(duì)于非零向量c，由a?c=（4）在向量的數(shù)量積運(yùn)算中aA．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的相關(guān)性質(zhì)以及運(yùn)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】對(duì)于（1），當(dāng)b=0時(shí)，a與對(duì)于（2），空間任意兩個(gè)單位向量的模長相等，方向不一定相同，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），取a=0,0,0,且c≠0，但是對(duì)于（4），因?yàn)閍?b與b?c都是常數(shù)，所以若a與c方向不同，則a?b?故選：A.2．（5分）（24-25高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若AE=xAB+yAD+zA．32 B．1 C．52【答案】A【解題思路】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求解.【解答過程】在四棱錐P-ABCD中，有AE=再由點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，PE=12PC=由底面ABCD是平行四邊形，得BC=所以AE=又因?yàn)锳E=xAB+yAD+z故選：A.3．（5分）（24-25高二上·山東·階段練習(xí)）已知O、A、B、C為空間中不共面的四點(diǎn)，且OP=34OA+18OB+tOC，若P、A．34 B．?18 C．1【答案】C【解題思路】根據(jù)知O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使OP=xOA+y【解答過程】因?yàn)镺P=34OA+18OB+t則34+1故選：C.4．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，向量a=2,?1,m，b=A．若a//bB．若a⊥bC．若a,bD．若a在b上的投影向量為16b【答案】D【解題思路】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；由題意得出a?b=0，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；分析可得a【解答過程】因?yàn)橄蛄縜=2,?1,m，對(duì)于A選項(xiàng)，若a//b，則2?4對(duì)于B選項(xiàng)，若a⊥b，則a?對(duì)于C選項(xiàng)，若a,b為鈍角，則a?解得m<52且對(duì)于D選項(xiàng)，若a在b上的投影向量為16即acosa,b?故選：D.5．（5分）（24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí)）P是被長為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．?1,?14 B．?12,0 【答案】B【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y,z，用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出PA?【解答過程】如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為則A1,0,0，C10,1,1，設(shè)Px,y,z，0≤x≤1，∴PA=1?x,?y,?1∴PA當(dāng)x=y=12時(shí)，PA?當(dāng)x=0或1，y=0或1時(shí)，PA?所以PA?PC故選：B.6．（5分）（24-25高二上·福建福州·階段練習(xí)）正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CC1，DDA．63 B．263 C．2【答案】A【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱柱高為2h，求出A1E與BF的方向向量，即可表示出A1E與BF所成角，從而求得正四棱柱的高，再求出平面BCF的法向量和EC，即可求得直線【解答過程】解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，如圖所示，設(shè)DD

因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為CC1，DD1的中點(diǎn)，則A11,0,2h，所以A1E=?1,1,?h，BF=所以A1E?所以A11,0,22，E0,1,2，F(xiàn)所以BC=?1,0,0，CF=設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n=x,y,z，由n?BC=0令z=1，得y=2，所以n因?yàn)锳1E?n=?1×0+1×2+所以直線A1E與平面BCF之間的距離為點(diǎn)E到平面BCF的距離，因?yàn)樗灾本€A1E與平面BCF之間的距離為：故選A.7．（5分）（24-25高二上·福建福州·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．AC1=C．BD⊥AA1 D．向量B1C【答案】D【解題思路】根據(jù)平行六面體的向量運(yùn)算、向量的模、向量的夾角，數(shù)量積等概念和公式.通過向量運(yùn)算法則分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.【解答過程】對(duì)于A，在平行六面體中，根據(jù)向量加法的三角形法則，AC由于BC=AD，CC對(duì)于B，已知以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°AC1=|==3×36+3×2×6×6×12=216對(duì)于C，BD=AD=6×6×cos因?yàn)锽D?AA對(duì)于D，B1C=BC?BB=6×6×cos|=6cos所以θ=120故選：D.8．（5分）（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD邊長為2，∠BAD=60°，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使A到A′，連接A′B，且A′D⊥DC，平面與A′BEA．平面A′DE⊥B．CD//lC．BC與平面A′DED．二面角E?A′【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用線面垂直判定性質(zhì)、面面垂直的判斷推理判斷A；利用線面平行判斷性質(zhì)推理判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角、面面角判斷CD.【解答過程】對(duì)于A，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AD，則由E為邊AB的中點(diǎn)，得ED⊥AB，又DC//AB，則ED⊥DC，而A′D⊥DC，A′D∩DE=D,A′D,DE?又DC//BE，于是BE⊥平面A′DE，而BE?平面A′BE，因此平面對(duì)于B，由CD//BE，CD?平面A′BE，BE?平面A′又平面A′BE與平面A′CD的交線為l，CD?平面對(duì)于C，由A知，ED⊥AB，折起后仍有DE⊥A′E，ED⊥BE，又BE⊥則BE⊥A′E，以E為原點(diǎn)，以BE則E(0,0,0),由BE⊥平面A′DE，得BE=設(shè)BC與平面A′DE所成角為θ，則因此cosθ對(duì)于D，由選項(xiàng)C知DE⊥平面A′BE，則ED=又A′B=(1,0,?1則n?A1B=x?z=0則cos?n?ED?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（24-25高二上·河南開封·期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．非零向量a，b，若a?bB．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP=16OA+13OB+C．設(shè){a→,D．若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，PC=14PA+34【答案】ABD【解題思路】根據(jù)向量垂直的定義可判斷A的正誤，根據(jù)四點(diǎn)共面的判斷方法可判斷B的正誤，根據(jù)基底向量的條件可判斷C的正誤，根據(jù)三點(diǎn)共線的判斷方法可判斷D的正誤.【解答過程】對(duì)于A，對(duì)于非零向量a，b，若a?b=0對(duì)于B，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP=∵16+13+12=1，∴對(duì)于C，∵a∴a?b，b+對(duì)于D，若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，PC=∵14+34=1，則A故選：ABD．10．（6分）（24-25高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知空間向量a=?2,?1,1，b=A．2a+bC．a(chǎn)⊥5a+6b D．【答案】BC【解題思路】利用空間向量平行的條件、向量的模、向量垂直的充要條件、向量夾角余弦的求法運(yùn)算即可得解.【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意，2a+b假設(shè)2a+b//a即?1,2,7=λ?2,?1,1=即不存在實(shí)數(shù)λ，使得2a+b=λa對(duì)于選項(xiàng)B，由a=?2,?1,1，b=b=32對(duì)于選項(xiàng)C，由a=?2,?1,1，可得5a因?yàn)閍?5a對(duì)于選項(xiàng)D，由a=?2,?1,1，可得cosa故選：BC．11．（6分）（24-25高二上·四川成都·期末）如圖，在棱長為6的正方體ABCD?A1B1C1D1上，點(diǎn)M為體對(duì)角線BD1靠近D1點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、FA．平面MEF與底面ABCD的夾角余弦值為5B．點(diǎn)D到平面MEF的距離為6C．點(diǎn)D到點(diǎn)P的距離最大值為6D．設(shè)平面MEF與正方體棱的交點(diǎn)為T1、…、Tn，則n邊形T【答案】BCD【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，即可利用法向量的夾角求解A，根據(jù)點(diǎn)面距離的向量法即可求解B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得截面為六邊形EQFNKT，即可根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式求解CD.【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則M2,2,4ME=設(shè)平面MEF法向量為m=ME?m=4x+y?4z=0MF?而平面ABCD的一個(gè)法向量為AA所以平面MEF與底面ABCD的夾角余弦值為cosmDM=2,2,4,所以點(diǎn)D到平面MEF延長EM交D1C1于點(diǎn)N,連接NF交DC延長線于點(diǎn)H,連接EH交BC由于點(diǎn)M為體對(duì)角線BD1靠近D1C1CHEB在棱A1D1上取K由于D1KD連接TE,TK,FQ,故六邊形EQFNKT即為平面MEF上與正方體所截得的截面，由于FC=AE=3,CQ=6?∵NF//TE,∴C由于CQ最大，故DQ為最大值DQ=62+6?1252=6345由于QNE=62+322+62故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（24-25高二上·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E【答案】0【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算法則利用A1A,AB,【解答過程】在四棱柱ABCD?A1B1C1D所以A1E=A1A又A所以x=?1,y=即x+y+z=0.故答案為：0.13．（5分）（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1=C1【答案】3【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【解答過程】以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C1D由于CC1=C1D1則C1則C=4m由于0≤m≤1，當(dāng)m=34時(shí)，4m?當(dāng)m=0時(shí)，4m?即C1P?故答案為：3414．（5分）（24-25高二上·北京朝陽·期末）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,P①CP⊥BD；②∠PDQ為定值；③存在點(diǎn)P，使得平面DBQ⊥平面DBP；④存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)Q到平面DBP的距離為2.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①④【解題思路】根據(jù)給定的長方體，建立空間直角坐標(biāo)系，由DQ⊥CP確定點(diǎn)P,Q的豎坐標(biāo)關(guān)系，再利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷①③；利用向量夾角公式求解判斷②；利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求解判斷④即可得解.【解答過程】在長方體ABCD?A1B則D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)，設(shè)P(2,0,t)(0<t<4),Q(0,2,s)，CP=(2,?2,t),DQ=(0,2,s)，由DQ⊥CP，得CP對(duì)于①，DB=(2,2,0)，CP?DB對(duì)于②，DP=(2,0,t)，不是常數(shù)，因此∠PDQ不為定值，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由CP⊥BD,DQ⊥CP,DB∩DQ=D,DB,DQ?平面DBQ，得CP⊥平面DBQ，即平面DBQ的一個(gè)法向量為CP=(2,?2,t)，設(shè)平面DBP的法向量n則n?DB=2x+2y=0n?DP=2x+tz=0，令z=2因此不存在點(diǎn)P，使得平面DBQ⊥平面DBP，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，點(diǎn)Q到平面DBP的距離d=|DQ?則2t2+4=t+4因此存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)Q到平面DBP的距離為2，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故答案為：①④.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱錐D?ABC如圖所示，其中AC=BC=AB=2，AD=3，點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段BD上靠近B的三等分點(diǎn).(1)若EF=xAB+y(2)求EF?【答案】(1)x=13，y=?1(2)3【解題思路】（1）先根據(jù)空間向量得線性運(yùn)算將EF用AB,（2）先利用余弦定理求出cos∠DAC,【解答過程】（1）EF==1又EF=x∴x=13，y=?1（2）由余弦定理得cos∠DAC=易知cos∠DAB=故EF==1∴EF?16．（15分）（24-25高二上·廣西·階段練習(xí)）已知向量m=(1,3,?2)，n(1)求m?(2)若(n?kn(3)求向量2m+n【答案】(1)2(2)k=3(3)23【解題思路】（1）根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算；（2）由向量垂直的數(shù)量積為0求解；（3）由向量夾角公式計(jì)算．【解答過程】（1）由題可得m?n=(2,2,?4)（2）m?kn=(1+k,3?k,?2?2k)∵(m?kn即(1+k)×0+(3?k)×4+(?2?2k)×0=0，則k=3.（3）∵2m+n=(1,7,?2)，2m∴cos∴向量2m+n與m17．（15分）（24-25高二上·廣東江門·期中）如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D

(1)試用a，b，c表示向量(2)求AC(3)求證：A【答案】(1)AC1=(2)AC(3)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算及模長公式即可求解；（3）根據(jù)向量的減法、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及垂直的向量表示即可證明.【解答過程】（1）ACBD（2）因?yàn)锳B?所以AB?AD?|AC1=1+1+4+20?1?1所以AC（3）因?yàn)锳A所以AA18．（17分）（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)求證：A1(2)若AB與平面A1DC1的所成角的正弦值為217【答案】(1)證明見解析；(2)4【解題思路】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理得AB⊥平面AA（2）取AD中點(diǎn)O，證明出A1O⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，AB,AD,OA【解答過程】（1）因?yàn)锳BCD是正方形，則AB⊥AD，因?yàn)槠矫鍭A1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1所以AB⊥平面AA又因?yàn)锳1D?平面AA（2）取AD中點(diǎn)O，連接A1因?yàn)锳A1=平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1所以A1O⊥平面以O(shè)為原點(diǎn)，AB,AD,設(shè)A1則A(0,?1,0)，B(2,?1,0)，A1(0,0,a)，C1AB=(2,0,0),A1設(shè)平面A1C1