高等數(shù)學(xué)（一）極限專(zhuān)項(xiàng)考試及答案

高等數(shù)學(xué)（一）極限專(zhuān)項(xiàng)考試一、填空題（10題，每題1分）1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x→1$時(shí)的極限是______。2.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sin3x}{x}=$______。3.$\lim\limits_{x→\infty}(1+\frac{2}{x})^x=$______。4.若$\lim\limits_{x→2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=3$，則$a=$______。5.$\lim\limits_{x→0^+}x\lnx=$______。6.設(shè)$f(x)=\begin{cases}x+1,x\lt0\\e^x,x\geq0\end{cases}$，則$\lim\limits_{x→0^-}f(x)=$______。7.$\lim\limits_{n→\infty}\frac{3n^2+2n}{n^2+1}=$______。8.$\lim\limits_{x→\pi}\frac{\sinx}{x-\pi}=$______。9.已知$\lim\limits_{x→\infty}(\frac{x+2a}{x-a})^x=8$，則$a=$______。10.$\lim\limits_{x→0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=$______。二、單項(xiàng)選擇題（10題，每題2分）1.下列極限存在的是（）A.$\lim\limits_{x→\infty}\sinx$B.$\lim\limits_{x→0}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x→0}e^{\frac{1}{x}}$D.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sinx}{x}$2.當(dāng)$x→0$時(shí)，與$x$是等價(jià)無(wú)窮小的是（）A.$1-\cosx$B.$\ln(1+x)$C.$\sin^2x$D.$\tan^2x$3.$\lim\limits_{x→0}\frac{\arcsinx}{x}$的值為（）A.0B.1C.2D.不存在4.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x→x_0}g(x)=B$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)+g(x))=A-B$B.$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)g(x))=AB$C.$\lim\limits_{x→x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$D.$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)-g(x))=A+B$5.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sin2x}{\sin3x}$的值為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{2}$C.1D.06.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$處（）A.有定義B.極限不存在C.極限為4D.極限為27.當(dāng)$x→\infty$時(shí)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是（）A.$\frac{\sinx}{x}$B.$\sinx$C.$x\sin\frac{1}{x}$D.$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$8.$\lim\limits_{x→0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}$的值為（）A.$e^{-3}$B.$e^3$C.1D.不存在9.設(shè)$\lim\limits_{x→a}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x→a}g(x)=\infty$，則必有（）A.$\lim\limits_{x→a}(f(x)+g(x))=\infty$B.$\lim\limits_{x→a}(f(x)-g(x))=0$C.$\lim\limits_{x→a}\frac{1}{f(x)+g(x)}=0$D.$\lim\limits_{x→a}kf(x)=\infty$（$k\neq0$）10.若$\lim\limits_{x→0}\frac{f(x)}{x^2}=2$，則當(dāng)$x→0$時(shí)，$f(x)$是（）A.比$x^2$高階的無(wú)窮小B.比$x^2$低階的無(wú)窮小C.與$x^2$同階但不等價(jià)的無(wú)窮小D.與$x^2$等價(jià)的無(wú)窮小三、多項(xiàng)選擇題（10題，每題2分）1.下列極限運(yùn)算正確的有（）A.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1$B.$\lim\limits_{x→\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$C.$\lim\limits_{x→0}\frac{\tanx}{x}=1$D.$\lim\limits_{x→0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$2.當(dāng)$x→0$時(shí)，下列是無(wú)窮小量的有（）A.$x\sin\frac{1}{x}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1$3.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A$，則（）A.$\lim\limits_{x→x_0^+}f(x)=A$B.$\lim\limits_{x→x_0^-}f(x)=A$C.當(dāng)$x$無(wú)限趨近于$x_0$時(shí)，$f(x)$無(wú)限趨近于$A$D.存在$\delta\gt0$，當(dāng)$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時(shí)，$|f(x)-A|\lt\varepsilon$（$\varepsilon$為任意給定的正數(shù)）4.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x→0}\frac{x}{|x|}$B.$\lim\limits_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}$C.$\lim\limits_{x→\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2+x}$D.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$5.當(dāng)$x→0$時(shí)，與$x$是同階無(wú)窮小的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$1-\cosx$D.$\sqrt{1+x}-1$6.設(shè)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\lt0\\2x+1,x\geq0\end{cases}$，則（）A.$\lim\limits_{x→0^-}f(x)=1$B.$\lim\limits_{x→0^+}f(x)=1$C.$\lim\limits_{x→0}f(x)=1$D.$f(x)$在$x=0$處連續(xù)7.若$\lim\limits_{x→a}f(x)=0$，$\lim\limits_{x→a}g(x)=0$，則（）A.$\lim\limits_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}$可能存在B.$\lim\limits_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}$可能不存在C.$\lim\limits_{x→a}(f(x)+g(x))=0$D.$\lim\limits_{x→a}(f(x)g(x))=0$8.下列式子中，符合重要極限形式的有（）A.$\lim\limits_{x→0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$B.$\lim\limits_{x→\infty}(1-\frac{1}{x})^{2x}$C.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sin3x}{x}$D.$\lim\limits_{x→\infty}\frac{\sinx}{x}$9.當(dāng)$x→+\infty$時(shí)，下列函數(shù)為無(wú)窮大量的有（）A.$x^2$B.$e^x$C.$\lnx$D.$\frac{1}{x}$10.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x→x_0}g(x)$不存在，則（）A.$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)+g(x))$不存在B.$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)-g(x))$不存在C.$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)g(x))$可能存在D.$\lim\limits_{x→x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$可能存在四、判斷題（10題，每題1分）1.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定有定義。（）2.當(dāng)$x→0$時(shí)，$x^2$是比$x$高階的無(wú)窮小。（）3.$\lim\limits_{x→\infty}\sinx$的值為1。（）4.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x→x_0}g(x)=B$，則$\lim\limits_{x→x_0}(f(x)g(x))=AB$。（）5.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$處極限不存在。（）6.當(dāng)$x→0$時(shí)，$\sinx$與$x$是等價(jià)無(wú)窮小。（）7.$\lim\limits_{x→0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。（）8.若$\lim\limits_{x→a}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x→a}g(x)=\infty$，則$\lim\limits_{x→a}(f(x)-g(x))=0$。（）9.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)$存在，則$\lim\limits_{x→x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x→x_0^-}f(x)$。（）10.當(dāng)$x→0$時(shí)，$1-\cosx$與$x^2$是同階無(wú)窮小。（）五、簡(jiǎn)答題（4題，每題5分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。2.什么是無(wú)窮小量？舉例說(shuō)明。3.重要極限$\lim\limits_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1$和$\lim\limits_{x→\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$有什么應(yīng)用？4.如何判斷兩個(gè)無(wú)窮小量的階的高低？六、討論題（4題，每題5分）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{|x|}{x}$在$x=0$處的極限情況。2.討論當(dāng)$x→0$時(shí)，$f(x)=\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}$的極限情況。3.已知$\lim\limits_{x→2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=3$，討論$a$，$b$的值。4.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+1,x\lt1\\2x-1,x\geq1\end{cases}$在$x=1$處的連續(xù)性和極限情況。答案一、填空題1.22.33.$e^2$4.-15.06.17.38.-19.$\ln2$10.$\frac{1}{2}$二、單項(xiàng)選擇題1.D2.B3.B4.B5.A6.C7.A8.A9.D10.C三、多項(xiàng)選擇題1.ABCD2.ACD3.ABCD4.BCD5.ABD6.ABCD7.ABCD8.ABC9.ABC10.ABCD四、判斷題1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√五、簡(jiǎn)答題1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（不論它多么小），總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿(mǎn)足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿(mǎn)足不等式$|f(x)-A|\lt\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x→x_0$時(shí)的極限。2.若$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=0$（或$\lim\limits_{x→\infty}f(x)=0$），則稱(chēng)函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x→x_0$（或$x→\infty$）時(shí)為無(wú)窮小量。例如當(dāng)$x→0$時(shí)，$\sinx$是無(wú)窮小量。3.$\lim\limits_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1$可用于求解含三角函數(shù)的極限，如$\lim\limits_{x→0}\frac{\sin3x}{x}$。$\lim\limits_{x→\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$用于求解冪指函數(shù)極限，如$\lim\limits_{x→\infty}(1+\frac{2}{x})^x$。4.設(shè)$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是在同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，且$\beta(x)\neq0$，$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C$。若$C=0$，則$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高階的無(wú)窮小；若$C\neq0$，則$\alpha(x)$與$\beta(x)$是同階無(wú)窮??；若$C=1$，則$\alpha(x)$與$\beta(x)$是等價(jià)無(wú)窮小。六、討論題1.當(dāng)$x→0^+$時(shí)，$f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1$；當(dāng)$x→0^-$時(shí)，$f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1$。左右極限不相等，所