第三篇電磁學(xué)一、電磁學(xué)的研究對(duì)象二、課程結(jié)構(gòu)靜電場(chǎng)變化電場(chǎng)恒定磁場(chǎng)變化磁場(chǎng)真空中導(dǎo)體和電介質(zhì)恒定電流真空中磁介質(zhì)電磁感應(yīng)電磁場(chǎng)和電磁波電磁現(xiàn)象及其規(guī)律第11章真空中的靜電場(chǎng)11.1電荷庫侖定律物質(zhì)由原子組成，原子內(nèi)有正、負(fù)電荷，物質(zhì)的穩(wěn)定性是靠原子間的萬有引力維系，還是電荷間的庫倫力起主要作用？是否還有其他原因？一、電荷的量子化1.電荷的種類

自然界中存在兩種電荷：正電荷“+”和負(fù)電荷“-”。同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引。電荷量的單位：庫侖（C）2.電荷量基本電荷：3.電荷的量子性e=1.6

10-19C二、電荷守恒定律

對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果沒有凈電荷出入其邊界，則該系統(tǒng)的正、負(fù)電荷的電荷量的代數(shù)和將保持不變，這一自然規(guī)律叫作電荷守恒定律。自然界的基本守恒定律之一三、

庫侖定律（1）點(diǎn)電荷drPd<<r①

理想模型②

相對(duì)性③

任何帶電體都可以看作點(diǎn)電荷系。說明+q（2）庫侖定律++r：施力電荷

受力電荷++r說明斥力引力①②

國(guó)際單位制中真空中的介電常數(shù)（電容率）四、

電場(chǎng)力的疊加原理q011.2電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度火箭發(fā)動(dòng)機(jī)通常使用的是化學(xué)燃料，在飛行的過程中需要把推進(jìn)劑轉(zhuǎn)化成熱量或其它能量，從而實(shí)現(xiàn)質(zhì)量流的高速噴出，提供箭體前進(jìn)的推力。而在轉(zhuǎn)化過程中又需要氧氣的參與才能實(shí)現(xiàn)，所以火箭還需攜帶氧化劑。如果要飛得更遠(yuǎn)，就要攜帶更多的燃料，因此，這種推動(dòng)方式的弊端就顯現(xiàn)出來了。特別是航天器在空間姿態(tài)調(diào)整、變軌等，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)弊端更明顯。而離子推進(jìn)器的優(yōu)點(diǎn)在于：在加速過程中沒有能量損失，因此效率較高，是目前常規(guī)化學(xué)發(fā)動(dòng)機(jī)的10倍左右；燃料需求遠(yuǎn)小于現(xiàn)在流行的化學(xué)燃料，所以飛船的載荷可以提升；盡管它的加速度很低，但是加速時(shí)間很長(zhǎng)，因此發(fā)動(dòng)機(jī)比沖很大，能提供同質(zhì)量的更大推力和末速度；它的燃料是離子，所以不存在化學(xué)燃料的污染現(xiàn)象。它是很適合作為深空載人探測(cè)的理想動(dòng)力裝置。離子推進(jìn)技術(shù)是如何使離子獲得能量高速噴出的？加速時(shí)間長(zhǎng)又是如何實(shí)現(xiàn)的？一、電場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)2電場(chǎng)1作用產(chǎn)生作用電場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)，具有能量、動(dòng)量、質(zhì)量，是物質(zhì)存在的一種形式。q0二、電場(chǎng)強(qiáng)度qq–場(chǎng)源電荷q0–試驗(yàn)電荷電量足夠小點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度定義：矢量：?jiǎn)挝唬悍孛棵祝?hào)為V/m。三、電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理1.點(diǎn)電荷的電場(chǎng)討論q0Pr球?qū)ΨQ+-四、電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算2.點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)P3.連續(xù)帶電體的電場(chǎng)r例11.1：兩個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷+q與-q，相距為l，如果所討論的場(chǎng)點(diǎn)與這一對(duì)點(diǎn)電荷之間的距離比l大得多，則這一對(duì)點(diǎn)電荷的總體就稱為電偶極子。用l表示從負(fù)電荷到正電荷的矢量為電偶極子的軸線，電荷量q與l的乘積叫作電偶極矩，即p=ql。試求電偶極子延長(zhǎng)線上和中垂線上任一場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）軸線上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)A+--qqrA+--qqr（2）中垂線上場(chǎng)強(qiáng)+--qqRxOy解：例11.2：設(shè)均勻帶電直線電荷線密度為λ，線外一點(diǎn)P到直線的垂直距離為a，它與直線兩端的連線和直線的夾角分別為θ1和θ2，如圖所示。求點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度。arxPdqdx直線為無限長(zhǎng)時(shí)：討論例11.3：計(jì)算均勻帶電圓環(huán)軸線上任一給定點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)均勻帶電細(xì)圓環(huán)的半徑為R，如圖所示，電荷q均勻地分布在圓環(huán)上。方向沿軸線

解：例11.4：設(shè)均勻帶電圓盤半徑為R，電荷面密度(即單位面積上的電荷)為σ(設(shè)σ>0)，求均勻帶電圓盤軸線上距離圓心x處場(chǎng)點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：方向垂直于圓面指向遠(yuǎn)方。當(dāng)x<<R時(shí)，

；

當(dāng)x>>R時(shí)，例11.5：求一個(gè)有小縫隙的均勻帶電圓環(huán)中心的電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)細(xì)圓環(huán)的半徑為R，線電荷密度為λ<0，縫隙長(zhǎng)為l，如圖所示。

解：均勻帶電圓環(huán)在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于零，縫隙異號(hào)電荷?λl可視為點(diǎn)電荷，它在點(diǎn)O所產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為因?yàn)棣?lt;0，縫隙處應(yīng)為正電荷，所以E的方向沿半徑遠(yuǎn)離縫隙。11.3高斯定理陀螺儀作為一種慣性測(cè)量元件，廣泛應(yīng)用于航空、航天、航海、測(cè)量等領(lǐng)域。由于陀螺儀的精度直接影響導(dǎo)航、制導(dǎo)和測(cè)量等系統(tǒng)的精度，所以人們一直在為提高它的精度進(jìn)行不懈努力。靜電陀螺儀又稱靜電支承自由轉(zhuǎn)子陀螺儀，它是目前世界上精度最高的慣性器件，具有重要的軍事價(jià)值和國(guó)防意義。靜電支承系統(tǒng)包括陀螺機(jī)械結(jié)構(gòu)和靜電支承電路兩大部分，球形轉(zhuǎn)子與球面電極之間的間隙很小，當(dāng)球面電極上接通高電壓，而球形轉(zhuǎn)子保持零電位時(shí)，由于靜電感應(yīng)的作用，轉(zhuǎn)子對(duì)應(yīng)表面將產(chǎn)生極性相反的電荷，因此轉(zhuǎn)子與球面電極之間就產(chǎn)生了靜電吸力。如果沿三個(gè)正交軸方向在球形轉(zhuǎn)子外面配置有三對(duì)球面電極，當(dāng)每對(duì)電極對(duì)球轉(zhuǎn)子的靜電吸力都平衡時(shí)，則球轉(zhuǎn)子就被靜電吸力所支懸而穩(wěn)定在中心位置了，如圖a所示。當(dāng)轉(zhuǎn)子沿A和B軸線方向即x軸方向產(chǎn)生微小位移時(shí)，如圖b所示，首先必須敏感感受到這個(gè)小位移，由于轉(zhuǎn)子與電極間距小，所以可以將其看作平行板電容器，當(dāng)轉(zhuǎn)子相對(duì)電極產(chǎn)生位移時(shí)，電極與轉(zhuǎn)子之間的電容將發(fā)生變化，所以利用電容傳感器精確敏感測(cè)量這個(gè)電容變化量可間接敏銳感應(yīng)出轉(zhuǎn)子相對(duì)電極的小位移，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)靜電吸力的自動(dòng)調(diào)節(jié)。靜電陀螺儀的球面電極與球形轉(zhuǎn)子的間隙中所形成靜電場(chǎng)的靜電吸力作用與無限大帶電板間的作用力相同，這需要精確計(jì)算，如何計(jì)算呢？從前面我們可以看出，計(jì)算均勻帶電平板產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度是比較麻煩的，是否有其他更簡(jiǎn)便的方法呢？一、電場(chǎng)線及其特點(diǎn)1.電場(chǎng)線的定義一系列假象的有向曲線來表示電場(chǎng)。(1)電場(chǎng)線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向一致;(2)電場(chǎng)中每一點(diǎn)的電場(chǎng)線的數(shù)密度表示該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。EdS⊥2.靜電場(chǎng)電場(chǎng)線的特點(diǎn)(1)靜電場(chǎng)的有源性。(2)同一電場(chǎng)的電場(chǎng)線不相交、不閉合。(3)電場(chǎng)線密處場(chǎng)強(qiáng)大，疏處場(chǎng)強(qiáng)小。二、電通量1.有向曲面的概念定義：電場(chǎng)中通過某一有向曲面的電場(chǎng)線的條數(shù)2.電通量的概念矢量面元：dS注意代數(shù)量S3.閉合曲面的電通量dS討論S為一閉合曲面規(guī)定：外法線方向?yàn)檎虼┏鲩]合曲面的電通量為正穿入閉合曲面的電通量為負(fù)S三、高斯定理及其應(yīng)用1.高斯定理的推導(dǎo)(1)S為以q為中心的球面q(2)S為包圍q的任一閉合曲面q(3)S不包圍q：點(diǎn)電荷系電場(chǎng)SS1S2qSS

高斯面真空中的高斯定理：(1)僅高斯面內(nèi)電荷對(duì)電通量有貢獻(xiàn)。(2)是所有的電荷(S內(nèi)外)產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)。(3)揭示了電場(chǎng)和場(chǎng)源電荷的關(guān)系。(4)高斯定理不僅適用于靜電荷和靜電場(chǎng)，而且還適用于運(yùn)動(dòng)電荷和變化電場(chǎng)。2.關(guān)于高斯定理的幾點(diǎn)討論3.高斯定理的應(yīng)用(1)點(diǎn)(球)對(duì)稱的情況與球殼同心的任一球面上各點(diǎn)的E相等，方向沿半徑,場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性。以半徑為R，帶電荷總量為Q的均勻帶正電球殼為例，求其內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng)分布。選擇高斯面選過場(chǎng)點(diǎn)和球殼同心的球面作為高斯面。分析對(duì)稱性r>R：r<R：沿半徑向外均勻帶電球面內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零。(2)軸(柱)對(duì)稱的情況分析場(chǎng)的對(duì)稱性軸對(duì)稱性：大小：與柱同軸的任一圓柱面上各點(diǎn)的E相等方向：垂直于軸，呈輻射狀。選過場(chǎng)點(diǎn)與圓柱同軸的封閉圓柱面為S

選擇高斯面以半徑為R，電荷面密度為σ的無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面為例，求其內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布。若無限長(zhǎng)直線電荷的電荷線密度為λ，則(3)面對(duì)稱的情況以電荷面密度為σ的均勻帶正電的無限大平面薄板為例，求其外的場(chǎng)強(qiáng)分布。和板等距的各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相等，方向垂直于板。分析場(chǎng)的對(duì)稱性面對(duì)稱選擇高斯面選過場(chǎng)點(diǎn)和板對(duì)稱且垂直的封閉柱面為高斯面。總結(jié)球?qū)ΨQ，平面對(duì)稱，軸對(duì)稱（1）分析場(chǎng)強(qiáng)分布（2）選取適當(dāng)?shù)母咚姑娓咚姑孢x取原則：高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)大小相等或部分區(qū)域相等，各部分或者與平行，或者與垂直，E可作為常量從積分號(hào)中提出。兩無限大帶電平板板外：E=0板內(nèi)：-------+++++++-

+

例11.6：一個(gè)點(diǎn)電荷q位于一邊長(zhǎng)為l的立方體的中心，通過立方體一面的電通量是多少？如果電荷位于立方體一頂點(diǎn)上，穿過立方體的電通量是多少？

解：立方體的每個(gè)表面均分1/6的電通量。通過這六個(gè)表面總的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為正方體的各個(gè)正方形面上的電通量為如果電荷位于立方體一頂點(diǎn)上，根據(jù)幾何關(guān)系，可以設(shè)想此時(shí)等價(jià)于有八分之一的電荷q位于立方體內(nèi)部，則電通量為例11.7：原子核可以看成是均勻帶電球體，已知球的半徑為R，總電荷量為Q，求核內(nèi)外的電場(chǎng)分布。

解：由于電荷均勻分布在球體內(nèi)，和點(diǎn)（球）對(duì)稱情況相同，球外任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度用高斯定理可得對(duì)球內(nèi)任一點(diǎn)P求電場(chǎng)強(qiáng)度，可以O(shè)P為半徑作一高斯球面S'，S'所包圍的電荷量為q'，球內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為例11.8：兩個(gè)平行的無限大均勻帶電平面，其電荷面密度分別為

和

，而

。求這一帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)分布。

解：兩個(gè)面在各自的兩側(cè)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向如圖所示，其大小均為Ⅰ區(qū)：Ⅱ區(qū)：Ⅲ區(qū)：方向向右11.4靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)航路規(guī)劃是現(xiàn)代各類飛行器，特別是無人機(jī)(UAV)安全飛行和完成任務(wù)的關(guān)鍵要素。隨著空域中飛行器數(shù)量的增加和任務(wù)環(huán)境不確定性因素趨于復(fù)雜，影響飛行安全的威脅因素不斷增多，加之飛行器協(xié)同任務(wù)規(guī)劃的需求增大，迫切需要能夠進(jìn)行高效、安全航路規(guī)劃的方法。傳統(tǒng)航路規(guī)劃方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，近些年提出了將電勢(shì)場(chǎng)理論引入飛行環(huán)境的威脅建模，建立基于電勢(shì)威脅場(chǎng)引導(dǎo)的航路點(diǎn)生成機(jī)制，進(jìn)而構(gòu)建基于擬態(tài)電勢(shì)能導(dǎo)向的隨機(jī)采點(diǎn)擴(kuò)展式航路規(guī)劃方法。將飛機(jī)看作試驗(yàn)電荷，在飛行區(qū)域威脅環(huán)境勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，如何應(yīng)用電勢(shì)場(chǎng)理論引導(dǎo)規(guī)劃航路？一、靜電場(chǎng)力的功1.電場(chǎng)力做功的計(jì)算做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。靜電場(chǎng)力是保守力，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。2.靜電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于零。靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)（1）相對(duì)量（2）屬于試驗(yàn)電荷和電場(chǎng)的系統(tǒng)討論三、電荷在電場(chǎng)中的電勢(shì)能電場(chǎng)力做功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值。負(fù)功，增加。電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減少，四、電勢(shì)與電勢(shì)差1.電勢(shì)2.電勢(shì)差

靜電力的功五、電勢(shì)的疊加原理六、電勢(shì)的計(jì)算1.點(diǎn)電荷電勢(shì)rUq>0U>0q<0U<0積分路徑：沿矢徑方向qPr以

遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)2.點(diǎn)電荷系電場(chǎng)的電勢(shì)3.電荷連續(xù)分布的帶電體系電場(chǎng)的電勢(shì)選取距系統(tǒng)無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，將q1從A點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，受到q2的靜電力作用，q1的電勢(shì)能為七、點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電勢(shì)能如果交換移動(dòng)的次序，先移動(dòng)q2，則它受到q1的靜電力作用，類似的計(jì)算得到q2的電勢(shì)能為兩個(gè)點(diǎn)電荷組成系統(tǒng)的電勢(shì)能為因?yàn)?/p>

，所以可以把它改寫成如下對(duì)稱形式n個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)例11.9：求電偶極子在均勻外電場(chǎng)中具有的電勢(shì)能。

解：設(shè)圖中+q和-q所在處的電勢(shì)能分別為W+和W-，此電偶極子的電勢(shì)能為例11.10：設(shè)球面總帶電量為Q，半徑為R，求均勻帶電球面的電勢(shì)分布。

解：帶電球面的電場(chǎng)強(qiáng)度為選無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則球外場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)球內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)例11.11：設(shè)圓環(huán)半徑為R，帶電荷量為Q，求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)。

解：圓環(huán)上的任一電荷元討論：(1)x=0時(shí)，(2)x>>R時(shí)，軸線上任意一點(diǎn)P的電勢(shì)為例11.12：如圖所示，一靜止的電子在50000V的電壓作用下獲得速度后，水平飛入兩平行平板的中央，平板是水平放置的，板長(zhǎng)b=5cm，兩板間距離d=1cm。問至少要在兩板間加多大電壓，才能使電子不再飛出兩板間的空間？

解：動(dòng)能定理設(shè)平行板間電壓為VA-VB，則兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度為在此方向上的位移(方向朝下)(方向朝上)11.5電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的微分關(guān)系一、電勢(shì)的形象描述方法——等勢(shì)面1.定義點(diǎn)電荷電場(chǎng)：2.規(guī)定任意兩個(gè)相鄰的等勢(shì)面間的電勢(shì)差都相等。在電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的曲面叫等勢(shì)面均勻電場(chǎng)（2）等勢(shì)面密集的區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)值大，等勢(shì)面稀疏的區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)值小。（1）電場(chǎng)線與等勢(shì)面正交且指向電勢(shì)降落方向。3.特點(diǎn)我們知道，保守力做