大題基礎練(四)概率統(tǒng)計

1.(2022?順德區(qū)三模)為了調(diào)查高一年級選科意愿，某學校隨機抽取該校100名高一學生

進行調(diào)杳，擬選報物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計如表:

項目物理/人歷史/人

男505

女2520

(1)能否有99%的把握認為選科與性別有關？

(2)若用樣本頻率作為概率的估計值，在該校高一學生中任選3人，記<為三人中選物理的

人數(shù)，求4的分布列和數(shù)學期望.

n(ad-be)2

附："

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)'

P陵*

k

解?：(D由表中數(shù)據(jù)可知，

2100X(50X20-25X5)

*二75X25X55X45?

因為，

故而有9舞的把握認為選科與性別有關.

50+253

(2)依題意可知選該校高一學生選物理的頻率為苗一=『

f的所有可能取值為0，1,2,3,

又尸(f=O=4)3=3,

P(f=l)=竭R)鏟1磊Q,

〃(f=2)=竭)2(")磊,

心=3)=欽磊，

所以f的分布列如下：

0123

192727

P

64646464

3

由題意可知，f?9（3,京，

7Q

所以<的期望是雙C=3Xj=j.

2.（2022?青島二模）為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血

液中力指標的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中力指標的檢測數(shù)據(jù)進行整理，繪

成如下頻率分布直方圖.

（D根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中月指標值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位

小數(shù)）；

頻率

0.14.................

().(■6

0.05

0.(|3

().(|2

013579II13154指標值

（2）通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中力指標的值才服從正態(tài)分布M2）.

①若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液力指標的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保

留整數(shù)）；

②在統(tǒng)計學中，把發(fā)生概率小于隔的事件稱為小概率事件，通常認為小概率事件的發(fā)生是

不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽

中恰有3只血液中力指標的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析

說明理由.

參考數(shù)據(jù)：

i.0.022753^0.00001,0.977251；

ii.若才?M〃，,則/〃一。WXW〃+。）、0.6827；P（〃-2。〃+2。）和。.954

5.

解：（1）因為++0.14）X2=,

+++0.18）X2=,

設這5000只家禽血液樣本中/I指標值的中位數(shù)為x,

則++0.14）X2+。18（刀-7）=,

解得^7.17.

(2)①因為〃+。=+=,

1+尸(〃—<7)

所以PCTW10.03)=P1XW〃+。)=----------------------=0.84135,

所以10000(朕10.03)々841.

②因為=〃+2。，

所以/W12.66)」-八〃=黑/〃+2。)—2275,

設“隨機抽檢的20只家肉中恰有3只血液中/!指標的值大于”為事件B,

則P⑦=doX(0.02275)3X(0.97725)”

0.00798<1%,

所以判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況不正常.

3.(2022?光明區(qū)校級模擬)“學習強國”學習平臺是由中共中央宣傳部主管，以習近平新

時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)

質(zhì)平臺，其中的“挑戰(zhàn)答題”更是趣味盎然、引人入勝.“挑戰(zhàn)答題”規(guī)則為：(1)挑戰(zhàn)開

始后，挑戰(zhàn)者依次回答界面中出現(xiàn)的問題，答對就繼續(xù)下一題，答錯有兩種選擇：①結(jié)束本

局，挑戰(zhàn)結(jié)束；②通過分享界面復活本局，復活之后可繼續(xù)本次挑戰(zhàn)，且答對題數(shù)可累加；

(2)答對5題或5題以上均為挑戰(zhàn)成功，可獲得6分，否則無積分可得；(3)每次挑戰(zhàn)，通過

分享界面復活的機會只有一次.

(1)如果甲對“挑戰(zhàn)答題”中的每一道題回答正確的概率均為且各題是否回答正確互不影

響，求甲挑戰(zhàn)一次就獲得成功的概率；

(2)假設乙挑戰(zhàn)一次獲得成功的概率為:，他在一周內(nèi)(7天)每天都挑戰(zhàn)一次，且各次挑戰(zhàn)是

否成功互不影響.設乙在一周內(nèi)挑戰(zhàn)答題總得分為吊求X的分布列及數(shù)學期望.

(1)解：記事件4為前5題都回答正確，記事件4為前￡題有且只有1題回答錯誤，其余回

答正確，且第6題回答正確，

記挑戰(zhàn)一次獲得成功為事件力，則事件月包含4,4兩個事件，且4,兒互斥，

所以尸(冷=m)+尸(4),

因為甲對挑戰(zhàn)答題中的每一道題回答正確的概率均為:，

所以夕(1)=KAi)+2(力2)=(》'+c!x；x(?X；=看，

7

故甲挑戰(zhàn)一次就獲得成功的概率為77.

(2)解：設乙在一周內(nèi)挑戰(zhàn)成功的次數(shù)為九

(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲獎

金萬元；若平局，兩隊各獲獎金萬元.在比賽前，己知業(yè)余隊采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲

進行比賽，設賽事組織預備支付的獎金金額共計才萬元，求乃的數(shù)學期望以給的取值范圍.

解：(1)第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為

八1.215

^=3Xp+3Xp><3=9p,

第?場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為

1,,I1,2

月=qx夕+z(1-p)x-Xp=--p+鏟，

…11

因為的<5，

J乙

所以尸)—月2一；)>0,

JSJJ

所以所月,

所以,業(yè)余隊第一場應該安排乙與甲進行比賽.

(2)由已知1=萬元或*=萬元.

由(1)知，業(yè)余隊最優(yōu)決策是第一場應該安排乙與甲進行比賽，

此時，業(yè)余隊獲勝的概率為4=HP，

y

9iooo

專業(yè)隊獲勝的概率為(1—p)+-x(1—p)x-=---p,

joc5yy

O1

所以，非平局的概率為以『=4.5)=月+月=五一：；夕，

yo

平局的概率為HX=3.6)=a=D，

yj

l的分布列為：

X

81i+3P

P

O111

l的數(shù)學期望為E(x)=X(---p)+X(-+-p)=-p(萬元),

而,<p<g,

所以￡0)的取值范圍為，4.3)(單位：萬元).

5.(2022?梅州二模)2022年，我國部分地區(qū)零星出現(xiàn)新冠疫情，為了有效快速做好爆發(fā)地

區(qū)的全員核酸檢測，我國專家突破難關，使得“10合1混采檢測”情況下依然有效，即：

每10人的咽拭子合進一個采樣管一起檢測.如果該采樣管中檢測出來的結(jié)果是陰性，就表

示這10個人都是安全的.否則，立即對該混采的10個受檢者暫時單獨隔離，并重新采集單

管拭子進行復核，以確定這10個人當中的陽性者.采用“10合I混采檢測”模式，是為了

確保在發(fā)生新冠肺炎疫情時，能夠短時間內(nèi)完成大規(guī)模全員核酸檢測工作，降低新冠肺炎疫

情在本地擴散風險.

(1)設感染率為m10個人的咽拭子混合在一起檢測時，求隨機的10個一起檢測的人所需檢

測的平均次數(shù)；

(2)某地區(qū)共10萬人，發(fā)現(xiàn)有輸入性病例，需要進行全員核酸檢測，預估新冠病毒感染率為

萬分之一，即為IO",先進行“10合1混采檢測”，試估計這10萬人所需檢測的平均次數(shù).并

估計對這個地區(qū)，這樣的混檢比一人一檢大約能少使用多少份檢測試劑？

注：感染率，即為每個人受感染的概率；999.

解?：(1)設感染率為0，10個人的咽拭子混合在一起檢測時，設隨機變量I表示這10個人一

共所需的檢驗次數(shù)，

若第一次混檢都是陰性，所需檢測次數(shù)為1，*=1；若是陽性，每人還得再單獨檢測一次，

此時1=11,

且=

于是平均檢測次數(shù)是

MA)=lX(l-p),0+llX[l-(l-p),0]=

11-10X(l-p)lfl,

這10個人一共所需平均檢測次數(shù)是H-lOX(l-p)'0.

(2)病毒感染率為萬分之一，即夕=10-'，于是采取“10合1混采檢測”方案，10萬人可能

需要進行檢測的平均次數(shù)大約為：

100()0()/_4\.

---[r11-10(1-104),0]^110000-100000X=10100,

即進行“10合1混采檢測”方案，1()萬人估計需要的檢測次數(shù)為1010(),比“一人一檢”

方案少使用約100000-10100=89900份檢測試劑.

6.(2022?河南二模)2020年是決勝全面建成小康社會、決戰(zhàn)脫貧攻堅之年，面對新冠肺炎

疫情和嚴重洪澇災害的考驗，黨中央堅定如期完成脫貧攻堅目標決心不動搖，全黨全社會繆

力同心真抓實干，取得了積極成效.某貧困縣為了響應國家精準扶貧的號召，特地承包了一

塊土地，已知土地的使用面積x與相應的管理時間y的關系如表所示：

土地使用面積*/畝12345

管理時間〃/月811142423

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如表所示:

項目愿意參與管理不愿意參與管理

男性村民14060

女性村民40

(1)做出散點圖，判斷土地使用面積x與管理時間y是否線性相關；并根據(jù)相關系數(shù)r說明

相關關系的強弱(若I”＞，認為兩個變量有很強的線性用關件.廠值精確到0.001)：

(2)若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計貧困縣的情況，且每位村民參與管理

的意愿互不影響，則從該貧困縣村民中任取3人，記取到不愿意參與管理的女性村民的人數(shù)

為求*的分布列及數(shù)學期望.

E(X-x)(//—y)

參考公式：-/--------------

A/X(乂-丫)2(必-y)2

\\……

5_

參考公式：y=I6,X3—1)2=206,而^^22.7

解：(1)散點圖如下所示.

一管理時間:月)

24

20

16

12

8

4

01

123456M土地的使用面積:面

由散點圖知，土地使用面積x與管理時間y線性相關.

由題意知，7=1x(14-24-3+4+5)=3,7=|x(8+11+14+24+23)=16,

ob

=(-2)X(-8)+(—1)X(-5)+0X(-2)+1X84-2X7=43,

U-7)2=(-2)2+(-l)2+02+l2+22=10,=(一8)2+(-5)2+(-2)2+6+72=206,

Z(x>—x)(y1-y)

J=l434343

所以相關系數(shù)r=-

i-------------J10X206

A/L(y/—y)

\/Z=1/=l

故土地使用面積x與管理時間y的線性相關性很強.

(2)由題意知，調(diào)查的300名村民中不愿意參與管理的女性村民人數(shù)為300-(140+40+60)

=60,

從該貧困縣中任選一人，取到不愿意參與管理的女性村民的概率2=益=1，

才的所有可能取值為0,1，2,3,

P(j=0)=C??(凱=黑,

/\I1A48

P(X=I)=Ca?鼻,(鼻)2=TT7?

m=2)=d-(I)24=7^7,

m=3)=c3-(!尸=』，

oIZo

所以才的分布列為：

0123

6448121

P

125125125125

數(shù)學期望E3=0X^+1><T1+2X^+3X^=|

7.(2022?岳陽縣模擬)冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運

會的比賽項目之一.冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端(投擲線秘V.的左側(cè))有一個發(fā)球區(qū)，

運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線拗，將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有?圓形的

營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心。的遠近決定勝負.甲、乙兩人進行投擲冰壺

比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓。中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)月中，得2分.冰壺的重

心落在圓環(huán)8中，得1分，其余情況均得0分.已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響.甲、

1191

乙得3分的概率分別為予7；甲、乙得2分的概率分別為r-；甲、乙得1分的概率分別為

34□Z

11

51?

(1)求甲、乙兩人所得分物相同的概率:

(2)設甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為人求才的分布列和期望.

解:

乙得0分的概率為1—所以甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率為:X；+段

qZ01ZJQJZJ

11129

X6+l5Xl2=90-

(2)1可能取值為0,1,2,3,4,5,6,

則〃(4=o)￡x步?jīng)?/p>

m=l)=±xL+Lx±=±f

/、11.11,211

m=2)=-X-+-X-+-X-=-,

11I?II1IQ

戶(才=3)=IjX-+-X-+-X-+-X-=-,

A/=4)=ixHxHxi=i

21114

m=5)=-x-+-x-=-,

m=6)=|x1=^,

所以隨機變量I的分布列為:

X0123456

111191141

P

?80361090361512

1|1|9114147

所以“Q)=°X面+1義記+2Xm+3X而+4X礪+5X正+6X逋=五.

8.(2022?廣州三模)為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上

隨機抽取10件零件，度量其內(nèi)徑尺寸(單位：〃加.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)

線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布M〃，＜/).

(D假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示某一天內(nèi)抽取的10個零件中其尺寸在(〃一3〃，〃+3。)

之外的零件數(shù)，求〃(杉2)及丁的數(shù)學期望：

(2)某天正常工作的一條生產(chǎn)線數(shù)據(jù)記錄的莖葉圖如圖所示：

①計算這一天平均值〃與標準差。；

②一家公司引進了一條這種生產(chǎn)線，為了檢查這條生產(chǎn)線是否正常，用這條生產(chǎn)線試生產(chǎn)了

5個零件，度量其內(nèi)徑分別為(單位：〃加：85,95,103,109,119,試問此條生產(chǎn)線是否

需要進一步調(diào)試，為什么？

參考數(shù)據(jù)：尸(〃一2。＜/〃+2。)=0.9544,產(chǎn)(〃-3。＜