2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展13三角形中的“四心”問題（精講+精練）

一、知識點梳理

一、三角形的四心定義

外心：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；

內(nèi)心：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的距離相等；

重心：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；

垂心：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；

二、三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點.

（2）重心的性質(zhì)：

①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

重要結(jié)論：（1）設點6是仆ABC所在平面內(nèi)的一點，則當點6是仆ABC的重心時，有GA+GB+GC=0

或（其中P為平面內(nèi)任意一點）；

（2）在向量的坐標表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為G（x,y）、

A（X1,y|）、B（x,y）,C（x,y）,則有G（'i+；!+）.

2233"十一

三、三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

注：①"接’'是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

重要結(jié)論：若點0是&ABC的外心，則|OA|=|OBROC|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；反之，若|OA|=|OB|=|0C|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0,則點0是^ABC的外心。

四、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

(I)內(nèi)切圓的有關概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這人三角形叫做

圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點.

(2)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.

百要結(jié)論：若點1是^ABC的內(nèi)心，則有；反之，若，則點1是^ABC的

內(nèi)心.

五、垂心

三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心.

重要結(jié)論：若H是△ABC的垂心，則HAHB=HBHC=HCHA或

,反之，若示而=而說=正向或

,則H是△ABC的垂心.

二、題型精講精練

【典例1］若0為/8C的重心（重心為三條中線交點），且04+04+40。=。，則4=—.

【答案】1

【解析】在48c中，取BC中點力，連接AO,由重心的性質(zhì)可得。為A。的三等分點，且。4=-2”>,

又。為8c的中點，所以O8+OC=2O。，所以OA+O8+Od=—200+00=0,所以人=1.故答案為：I

【典例2】已知點P是./WC的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足24尸?87=/4€''_48'，則點夕一

定是一ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

所以點P的軌跡為NB4C的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經(jīng)過ABC的內(nèi)心.故選：C.

【典例4】設0為AABC的外心，若OA+OB+OC=OM，則/是AABC的（）

A.重心（三條中線交點）B.內(nèi)心（三條角平分線交點）

C.垂心（三條高線交點）D.外心（三邊中垂線交點）

【答案】C

【解析】在AABC中，。為外心，可得。4=O8=OC,

???04+03+0C=0M,，0A+03=0M-0C，設A8的中點為。，貝?。?_L人8,CM=20D>

???，可得CM在A8邊的高線上.同理可證，AM在8c邊的高線上，

故M是三角形48c兩高線的交點，可得”是三角形的垂心，故選：C

【題型訓練-刷模擬】

1.重心

一、單選題

1.（四川省瀘州市瀘縣第五中學2023屆高三下學期二診模擬考試文科數(shù)學試題）已知△A4C的重心為O,

則向量3。=（）

2-1122UIB1皿即12二

A.-AF$+—ACB.—AB+—ACC.—AB+—ACD.——AH+—AC

33333333

2.（2023?全國?高三專題練習）。是平面內(nèi)一定點，A,B,C是平面內(nèi)不共線三點，動點。滿足

OP=OA+A（AB+AC）,2e[0,-Ko）,則尸的軌跡一定通過,A3C的（）

A.夕卜心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

3.（陜西省西安地區(qū)八校2023屆高三下學期第二次聯(lián)考文科數(shù)學試題）在工BC中，設AC=a，AB=b，

G為，48C的重心，則用向量a和。為基底表示向量GC=（）

211-2-2-1--2-

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.a——b

3323323

4.（2023?全國?高三專題練習）設G為48。的重心，則GA+2GB+3GC=（）

B.ACC.BCD.AB

5.（2023?全國?高三專題練習）邊長為2的正ABC中，G為重心，尸為線段8c上一動點，則AGMP=（）

C.(BG-BA)-(BA-BP)

6.（陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三一模理科數(shù)學試題）在平行四邊形A8CO中，G為△§（%）的重心,

AG=xAB+yAD,則X-2y=（）

7.（福建省福州第一中學2023屆高三適應性考試（三）數(shù)學試題）在三棱錐尸-ABC中，點。為△ABC的

重心，點。，E,尸分別為側(cè)棱見PB,尸C的中點，若〃=AF，b=CE，d=BD，則OP=（）

1.1,1.八1I-1-21,2>2_2,2_

A.-a+-b+-cB.——a一一b——cC.——a——b——cD.—a+—b+—c

333333333333

8.（2023?全國?高三專題練習）已知A,B,。是不在同一直線上的三個點，O是平面A8C內(nèi)一動點，若

O尸—=+2w[Q”），則點〃的軌跡一定過的（）

A.夕卜心B.重心C.垂心D.內(nèi)心

9.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，已知點G是△4BC的重心，過點G作直線分別與48,AC兩邊

交于M,N兩點，設x人8=4M，jAd=AN，則一+一的值為（）

xy

A

A.3B.4

C.5D.6

10.（2023?全國?高三專題練習）0是平面上一定點，A、8、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：

OP=/l>0,則宜線一定通過△A3c的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

1L（江蘇省鹽城市2022-2023學年高三上學期11月模擬數(shù)學試題）在.ABC中，過重心E任作一直線分

IL1UUtilLK1U1IU.MU

別交A8,4c于M,N兩點，設4M=x4B，AN=yAC，（x>0,y>0）,則4x+），的最小值是（）

410

A.-B.—C.3D.2

33

12.（重慶市第八中學校2023屆高三上學期高考適應性月考（二）數(shù)學試題）在A8C中，A=g,G為.A8C

的重心，若zAG/W=AG八。=12，則4ABe外接圓的半徑為（）

A.7JB.2C.2x/2D.2G

13.（2023.全國?高三專題練習）記內(nèi)角A&C的對邊分別為〃也c,點G是“BC的重心，若

86_1。6,58=60則35八的取值是（）

A59n57「11c61

A.—B.—C?—D?—

75751575

14.（吉林省吉林市2023屆高三第四次調(diào)研考試數(shù)學試題）點G是,"C的重心，GB_LGC8C=4,則

CABA=（）

A.32B.30C.16D.14

15.（員州省畢節(jié)市2023屆而三診斷性考試（三）數(shù)學（文）試題）已知點G為三角形A5C的重心，且,

當/C取最大值時，cosC=（）

4

A.Bc,ID.

5-15

多選題

UUU

?

16.（2023全國?高三專題練習）已知G為二ABC的重心,Z￡MC=6O°,ABAC=2f則IAG|的可能取值為

)

2263

A.B.1rD.

332

17.（重慶市2023屆高三學業(yè)水平選擇性考試模擬調(diào)研（二）數(shù)學試題）如圖，M是A8C所在平面內(nèi)任

意一點，。是的重心，則?）

A.AD+BE=CFB.MA+MB+MC=3MO

C.MA+MB+MC=MD+ME+MFD.BCAD+CABE+ABCF=O

18.（2023?全國?高三專題練習）已知的重心為G,過G點的直線與邊AB,AC的交點分別為M,N,

9

若且dMN與/8C的面積之比為力，則4的可能取值為（）

4

A.-BiD.3

3-1

三、填空題

19.（山東省濟寧市育才中學2022-2023學年高三上學期10月月考數(shù)學試題）在/A8C中，G為重心,

AC=26,8G=2,則=

20.（黑龍江省齊齊哈爾市2023屆高三二模數(shù)學試題）已知等邊A8C的重心為O,邊長為3,則

COCA=

21.（2023?全國?高三專題練習）已知ABC的重心為G,經(jīng)過點G的直線交44于。,交AC于E,若與3=2法,

AE=〃AC,則<+，=.

22.（2023?全國?高三專題練習）記ABC的內(nèi)角的對邊分別為a）,c,若。為必8C的重心，08JL0C,

3b=2c,則cosA=.

23.（江蘇省南京市教學研究室2022屆高三下學期高考前輔導數(shù)學試題）在A8C中，ABAC=0^\^\=3,

卜。卜4,。為一A3C的重心，。在邊8c上，且AO1BC,則AZXAO.

24.（2023?全國?高三專題練習）設G為A8C的重心，若G忸C|-G4+21cAl-G3+26|A如GC=0,則

ABBC

BCAC~~

25.（2023?全國?高三專題練習）若點G為A8c的重心，且AG_L8G,則sinC的最大值為.

2.外心

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）點?是平面A8C外一點，且PA=PB=PC,則點尸在平面ABC上的射影一

定是；依。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

2.（2023?全國,高三專題練習）已知O為銳角三角形ABC的外心，20A+30B+40C=0,則cosNACB的值

為（）

A.叵B.逅C.-D.-

4444

3.（河南省名校青桐鳴2023屈高三3月聯(lián)考理科數(shù)學試題）已知點。為所在平面內(nèi)一點，在ABC

中，滿足2m40=卜81，=則點。為該三角形的（）

A.內(nèi)心B.夕卜C?C.垂心D.重心

4.（廣東省佛山市第一中學2023屆高三4月一模數(shù)學試題）在4?。中，設，那么動點M的軌跡必通過

ABC的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心

5.（山東省濱州市鄒平市第一中學2022-2023學年高三上學期期中考試數(shù)學試題）在，A8。中，內(nèi)角ARC

所對的邊分別為a,b,c,且b=6,c=4,點。為外心,則AO.BC=（）

A.-2（）B.-1（）C.10D.20

6.（廣西南寧市第十九中學2023屆高三數(shù)學（文）信息卷（三）試題）A8C的外心O滿足

UlD

OA+OB+yf2OC=0f43=J2,則..工8c的面積為（）

A.2史B.上也C.V2D.2

22

7.（重慶市2023屆高三第二次聯(lián)合診斷數(shù)學試題（康德卷））已知點。是乂8c的外心，AB=6,BC=8,

4若,則3K+4）,=（）

A.5B.6C.7D.8

8.（2020屆安徽省淮南市高三第一次模擬考試數(shù)學理科試題）在AA8C中，4A=3,AC=5,點N滿足

BN=2NC，點O為AAAC的外心，則4V.AO的值為（）

1759

A.17B.10C.—D.—

26

9.（2023?全國?高三專題練習）在“8C中，AB=4,AC=6,3c=5,點O為》8c的外心，若

/=/1嬴〃/，則＜）

2345

A.=-B.-C.-D.-

3579

10.（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三下學期開學考試數(shù)學試題）已知。是的外心，且滿足

___,Q

2AO=AI3+AC^BA在上的投影向量為京BC,則cosZAOC=（）

A.之B.匝C.3D.也

510510

II.（2023?全國?高三專題練習）在二ABC中，ZABC=^f。為乂的外心，BABO=2,BC?BO=4,

I.UU11111

則8A-3C=（）

A.2B.2\/2C.4D.472

12.（2023?全國?高三專題練習）在ABC中，B=60,O是,ABC的外心，若08=2,則AO?AC=（）

3L

A.—B.3C.6D.6^3

13.（福建省原門第一中學2023屆高三下學期4月期中考試數(shù)學試題）已知平面向量04，滿足

（刑=（）@=2,04?。8=-2，點。滿足D4=2OO，E為以。8的外心，則O8EO的值為（）

88

|6C16

一

A.-3B.-3-3-D.3一

14.（北京市八一學校2023屆高三模擬測試數(shù)學試題）已知O是‘ABC的外心，外接圓半徑為2,且滿足

3uun

24O=A8+4C，若加在BC上的投影向量為則A0.8C=（）

4

A.-4B.-2C.0D.2

15.（安徽省黃山市2022-2023學年高三上學期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題）在A8C中，

人5=0,乙4。8=45。,。是48c的外心，則ACBC+OCA8的最大值為（）

37

A.1B.-C.3D.-

22

二、多選題

16.（2023春?江蘇南京?高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯(lián)考階段練習）設點O是A8C的外心，且，

下列命題為真命題的是（）

A.若2+〃=則C=]

B.若。4//OB，則分+//=1

2

c.若是正三角形，則

D.若之+〃>1,AB=（—2,1）,CO=（2,4）,則四邊形A03C的面積是5

17.（2023秋?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習）設。為乂的外心，AB=2,AC=4,N84。的角平分線AW

交BC于點用，則（）

---2-1---1一2一

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.ABAO=2D.AMAO=6

18.（2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測）已知的內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,

已知b=4,c=6,A8C的面積S滿足（〃+c『=（4G+8）S+/,點。為相。的外心，滿足，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.5=6B.CBAO=\0C.\AO\=^-D.A=2--

1133

三、填空題

19.（2023?河北?校聯(lián)考一模）已如。為/BC的外心，若。4=2,且N8AC=75。，則O8OC=.

20.（2023?河北?模擬預測）已知。為一A8C的外心，AC=3,8c=4,則OC.A8=.

21.（2023?全國?高三專題練習）在二ABC中，O為其外心，?OA+2OB+。。=0,若8c=2,則Q4=.

22.（2023?廣東廣州?廣州市第二中學?？寄M預測）己知。是J3C的外心，A3=6,AC=1D,若

A0=xA4+yAC且2x+10y=5,貝ljABC的面積為_.

23.（2023?海南省直轄縣級單位?校聯(lián)考一模）己知點。是銳角48c的外心，A8=8,AC=12,A=p

若AO=xAB+yAC,則2x+3y=.

24.（2023?全國?高三專題練習）己知。是8c的外心，且3。4+408+50。=0，則cos/R4C=.

25.（2023?全國?高三專題練習）設。為的外心，若,則sinNBAC的值為.

3e內(nèi)心

一、單選題

13

1.（2023?全國?高三專題練習）在二ABC中，|4?|=3"AC|=2,AD=-AB+-AC,則直線AD通過二/WC

的（）

A.垂心B.外心C.重心D.內(nèi)心

2.（安徽省淮南市2023屆高三上學期一模數(shù)學試題）在.ABC中，AB=4,4C=6,點￡）,E分別在線段人8,

AC上，且。為A8中點，AE：EC,若”=AO+AE，則直線心經(jīng)過工撫的（）.

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

3.

3.（2023?全國?高三專題練習）在A4BC中，cos4=a，。為AABC的內(nèi)心，若AO=xA8+），AC（x,yeR）,

則工+.V的最大值為（）

A-R6-y/6r7—y/ln8-25/2

A.-.-----------C.-----------D?------------

3567

4.（2023?全國?高三專題練習）在平面上有從6C及內(nèi)一點。滿足關系式：

S△麗?。4+5.103+5刈屋0。=0即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若/A8C的三邊為a,b,c,現(xiàn)有

。.。4+〃.03+。。。=0則。為"8。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

AOABAO-ACCOCACOCB

5.（2023?全國?高三專題練習）平面內(nèi)及一點O滿足|AB[=[c]，=|CB]，則點。

是,工8。的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

6.（山東省聊城市2021屆高三三模數(shù)學試題）在ABC中，|明=3,|AC|=4,忸。=5,M為8c中點,

。為MB。的內(nèi)心，^AO=/LAB^-/JAM?則％+〃=（）

735

A.—B.—C.-D.1

1246

7.（2023?全國?高三專題練習）若。在△A8C所在的平面內(nèi)，a,4c是△ABC的三邊，滿足以下條件

aOA+bOB+cOC=0,則。是△48。的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

8.（2023?全國?高三專題練習）在ABC中,AB=2AC,動點M滿足AM-(3C+AC)=0,則直線AM一定

經(jīng)過.ABC的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

9.（2023?全國?高三專題練習）已知AA8C,/為三角形所在平面上的一點，且點/滿足:

?M+Z?-/B+c/C=0>貝I"點為三角形的

A.外心B.乖心C.重心D.內(nèi)心

—4I--

10.（2023?全國?高三專題練習）知點。是4BC的內(nèi)心，若AO=§44+§AC,則cos/8AC=（）

A，1B-ID-I

0i

二、填空題

U.（2。23?全國?高三專題練習）已知極中，角A,從C所對的邊分別是a",c,且"6斥上,A=2C,

設。為..A8C的內(nèi)心，則408的面積為.

12.（2023?天津?三模）設A,B,C是48c的三個內(nèi)角，48。的外心為。，內(nèi)心為/.。/工。且O/與8C

共線■若…打京.叱

13.(2U23?湖北?模擬預測)在“UW中，ABAC=\6>8c=6,yC'=3,且A/>AC',若。為A6C的

內(nèi)心，則AOBC=?

14.（2023?全國?高三專題練習）三知G為必BC的內(nèi)心，且cosA-G4+cosB-G4+cosCGC=0，則

Z-A=?

4.垂心

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）已知O是平面內(nèi)一點，A,4,。是平面內(nèi)不共線的三點，若

OAOB=OBOC=OCOA?O一定是48。的（）

A.外心B.重心C.垂心D.內(nèi)心

2.（2023?全國?高三專題練習）數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三

角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被

稱為三角形的歐拉線，設點O,G”分別為任意43c的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

cACAO+2AHcM2/3。+/汨

C.AG=---------------D.BG=---------------

33

3.（2023?全國?高三專題練習）在三棱錐P-ABC中24、PB、PC兩兩垂直，。是尸在平面ABC內(nèi)的射影，

則。是“13。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

4.（2023?全國?高三專題練習）已知〃為.XBC的垂心，A8=4,AC=6,M為邊4c的中點，則HM.8C=

（）

A.20B.10C.-20D.-10

5.（2023?全國?高三專題練習）若“為,/BC所在平面內(nèi)一點，且|叫+|時=,時+同2=|〃4+|時則點

〃是48。的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

6.（2023?全國?高三專題練習）已知。是平面上一定點，A、B、。是平面上不共線的三個點,動點〃滿

/\

足。0=。4+義—^―+|—r—，田），則動點尸的軌跡一定通過,ABC的（〕

、A.cosB|AC|cosC^

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

?1一2

7.（2023?全國?高三專題練習）已知，為二ABC的垂心，^AH=-AB+-AC貝i」sin/8AC=)

JJf

A.巫B.巫

55

D,立

C

T3

8.（2023?全國?高三專題練習）設。是iMC所在平面上一點，點，是的垂心，滿足

OA+OB+OC=OH，且GOA+OB+&OC=0，則角A的大小是（）

3乃71「兀一乃

A.—B.-C.-D.一

4324

9.（2023?全國?高三專題練習）已知。為.45C內(nèi)任意一點，若滿足xPA+）/8+zPC=0（工,），*0）,則稱

尸為以質(zhì)?的一個“優(yōu)美點”.則下列結(jié)論中正確的有（）

①若x=y=z=l,則點尸為A8C的重心：

②若x=l,丁=2,z=3,則SpK='S八He；

6

③若PAPB=PBPC=PAPC，則點。為ABC的垂心；

一?__

④若x=l,y=3,z=l且。為4C邊中點，則

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.（2023?全國?高三專題練習）若。是ABC的垂心,

jrUlUUllUUllV

Zi4=—,sinBcosC/\B+sinCeosBAC=msinBsinCAO,貝ij"?=()

A.1B.立C.73D.立

32

二、多選題

II.（2023?全國?高三專題練習）對于給定的以BC,其外心為。，重心為G,垂心為凡內(nèi)心為Q,則下

列結(jié)論正確的是（）

lamminiinum2

A.ACAO=-AC

4

HIMIUUUUUULlUUUUUlllUI

B.HAHB=HAHC=HBHC

C.AG+BG+CG=0

/\

ARAT

D.若A、P、。三點共線，則存在實數(shù)2使AP=41—1+1—J

眄阿

12.（2023?全國?高三專題練習）點。在.48C所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

A.若04+08+00=0，則點。為8c的重心

B.若則點。為A8C的垂心

C.若（QA+08）.AB=（08+0Cj.4C=（0C+（M）CA=（）,則點O為.工8c的外心

D.^OAOB=OBOC=OCOA，則點。為ABC的內(nèi)心

13.（2023春?遼寧?高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）在°A8C所在的平面上存在一點P,

AP=LW+〃AC（4〃eR）,則下列說法錯誤的是（）

A.若％+//=1,則點2的軌跡不可能經(jīng)過A8C的外心

B.若2+〃=1,則點〃的軌跡不可能經(jīng)過48c的垂心

C.若4+，=（,則點2的軌跡不可能經(jīng)過A8C的重心

D.若Z/G[0,1],則點〃的軌跡一定過4?。的外心

三、填空題

1?

14.（2023?全國?高三專題練習）已知〃為二ABC的垂心（三角形的三條高線的交點），若AH=-AB+-AC,

35

則sin/84C=.

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展13三角形中的“四心”問題（精講+精練）

一、知識點梳理

一、三角形的四心定義

外心：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；

內(nèi)心：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的距離相等；

重心：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；

垂心：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；

二、三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點.

（2）重心的性質(zhì)：

①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

重要結(jié)論：（1）設點6是仆ABC所在平面內(nèi)的一點，則當點6是仆ABC的重心時，有GA+GB+GC=0

或（其中P為平面內(nèi)任意一點）；

（2）在向量的坐標表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為G（x,y）、

A（X1,y|）、B（x,y）,C（x,y）,則有G（'i+；!+）.

2233"十一

三、三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

注：①"接’'是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

重要結(jié)論：若點0是&ABC的外心，則|OA|=|OBROC|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；反之，若|OA|=|OB|=|0C|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0,則點0是^ABC的外心。

四、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

(I)內(nèi)切圓的有關概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這人三角形叫做

圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點.

(2)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.

百要結(jié)論：若點1是^ABC的內(nèi)心，則有；反之，若，則點1是^ABC的

內(nèi)心.

五、垂心

三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心.

重要結(jié)論：若H是△ABC的垂心，則HAHB=HBHC=HCHA或

,反之，若示而=而說=正向或

,則H是△ABC的垂心.

二、題型精講精練

【典例1］若0為/8C的重心（重心為三條中線交點），且04+04+40。=。，則4=—.

【答案】1

【解析】在48c中，取BC中點力，連接AO,由重心的性質(zhì)可得。為A。的三等分點，且。4=-2”>,

又。為8c的中點，所以O8+OC=2O。，所以OA+O8+Od=—200+00=0,所以人=1.故答案為：I

【典例2】已知點P是./WC的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足24尸?87=/4€''_48'，則點夕一

定是一ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】設8C中點為。，所以AB+AC=2AO,

所以24pBC=AC2-AB2=(AC+必(AC-AB)=BC-2AD,

即，所以8C_LPO，

又由。為6。中點可得點。在BC的垂直平分線上，所以點〃是ABC的外心，故選：B

【典例3】已知。是平面上的一個定點，人民C是平面上不共線的三點，動點P滿足

ARAr

OP=OA+Ap-r+i-?(/leR),則點P的軌跡一定經(jīng)過的()

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】C

IKUD

ABAC

【解析】因為成為人片方向上的單位向量，因為AC方向上的單位向量,

AC

則*￡的方向與ZBAC的角平分線一致,

\AB\\AC\

由。P=04+2普+四,可得OP-O4=/l等+與，即AP=4普+與

［網(wǎng)|到〔網(wǎng)\AC\)眄\Ac\j

所以點P的軌跡為NB4C的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經(jīng)過ABC的內(nèi)心.故選：C.

【典例4】設0為AABC的外心，若OA+OB+OC=OM，則/是AABC的（）

A.重心（三條中線交點）B.內(nèi)心（三條角平分線交點）

C.垂心（三條高線交點）D.外心（三邊中垂線交點）

【答案】C

【解析】在AA5C中，。為外心，可得OA=OB=OC,

???04+03+0C=0M,???0A+03=0M—0C，設A8的中點為。，貝?。?_L人8,CM=20D,

???，可得CM在A8邊的高線上.同理可證，AM在邊的高線上，

故M是三角形48c兩高線的交點，可得”是三角形ABC的垂心，故選：C

【題型訓練-刷模擬】

1.重心

一、單選題

1.（四川省瀘州市瀘縣第五中學2023屆高三下學期二診模擬考試文科數(shù)學試題）已知△A4C的重心為。，

則向量3。=（）

2-1122UIB1皿即12二

A.-AR+—ACB.-AB+—ACC.—AB+—ACD.—AB+—AC

33333333

【答案】c

【分析】△ABC的重心O為三角形三條中線的交點，為中線的三等分點，根據(jù)向量線性運算的幾何表示結(jié)

合條件即得.

【詳解】設笈尸,力分別是AC48.8。的中點,

由于O是三角形ABC的重心，

__?一?/____、7（1__-2__1__

所以80=二8￡=：x（4E—A8）=—x-AC-AB=一一AB+-AC,

33312,33

故選：C.

2.（2023?全國?高三專題練習）。是平面內(nèi)一定點，4,B,C是平面內(nèi)不共線三點，動點P滿足

OP=OA+A（AB+AC）,2G[0,-KO）,則P的軌跡一定通過.ABC的（）

A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

【答案】D

【分析】根據(jù)向量線性關系可得〃A3+4C）=AP,結(jié)合48+AC的幾何意義判斷所過的點，即可得答案.

【詳解】由題設〃A8+AC）=OP—OA=AP,

而A8+AC所在直線過BC中點，即與BC邊上的中線重合，且2€[0,+CO）,

所以P的軌跡一定通過二ABC的重心.

故選：D

3.（陜西省西安地區(qū)八校2023屆高三下學期第二次聯(lián)考文科數(shù)學試題）在A8C中，設AC=a，AB=b，

G為.ABC的重心，則用向量〃和〃為基底表示向量GC=（）

2-|-1221-2?

A.—a——bB.—a——bC.—a——b