第04講雙曲線

知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)入，戶2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|尸』2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這

兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

注：1、集合語(yǔ)言表達(dá)式

雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:P={MW\MFl\-\MF211=2〃,0v2〃<1"?I}.常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離.

2、對(duì)雙曲線定義中限制條件的理解

(1)當(dāng)|附川一叫「2||=2。>|尸1尸2|時(shí)，”的軌跡不存在.

(2)當(dāng)IIMP1LIM尸2||=*=|/1/2|時(shí)，M的軌跡是分別以尸I,尸2為端點(diǎn)的兩條射線.

(3)當(dāng)||歷尸||一|“尸2||=0,即尸21時(shí)，M的軌跡是線段FE的垂直平分線.

(4)若將定義中的絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支.具體是哪一支，取決于

\MFX|與|加乃|的大小.

①若|Mg|>|I,則IMRI-1M鳥(niǎo)|>0,點(diǎn)"的軌跡是靠近定點(diǎn)F2的那一支；

②若||<|MF21,則|M巴|一||>0,點(diǎn)M的軌跡是靠近定點(diǎn)F,的那一支.

知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

止_已_[

2

標(biāo)準(zhǔn)方程aL

30,/?())(<z>0,/?0)

圖形

焦點(diǎn)一1(一C,0),尸2(C,0)-1(0,—C),尸2(0，c)

焦距|FiF2l=2c

范圍xW一0或x-a,y￡Ra或y2a,xER

性質(zhì)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)人，一4,0),42(“.0)|小(0,-a),&(0,〃)

實(shí)軸：線段國(guó)立，長(zhǎng)：2a；

軸虛軸：線段旦必2,長(zhǎng)：2仇

半實(shí)軸長(zhǎng)：a,半虛軸長(zhǎng)：b

離心率e=.￡(L+8)

ba

漸近線y=±^x

注：(1)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看/項(xiàng)與>2項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)：若f項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在X軸上：若

y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在)，軸上，即“焦點(diǎn)位置看正負(fù)，焦點(diǎn)隨著正的跑”.

(2)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中右邊的力”為“0”就可得到漸近線方程.

(3)與雙曲線，一卓=1(〃>0,5>0)有共同漸近線的方程可表示為，一%=?y()).

(4)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為江

(5)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為AF+8)，2=1的形式，當(dāng)A>O,B>U,時(shí)為橢國(guó)，當(dāng)4BV0

時(shí)為雙曲線.

知識(shí)點(diǎn)3雙曲線的焦點(diǎn)三角形

雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用雙曲線的定義

和正弦定理、余弦定理.

xv

以雙曲線一7一==1(?！?力>0)上一點(diǎn)P(X0,M))(yoWO)和焦點(diǎn)品(一c,0)，尸2(c,0)為頂點(diǎn)的△尸人尸2

a-b-

中，若NFiPFZ，則

⑴雙曲線的定義：||可|一|「乙||二2〃

222

(2)余弦定理：|FR|=|PFi|+|PF2|-2|PFI||PF2|-COS0.

(3)面積公式：S”Fg=；|PPi||Pp2卜sin。，

重要結(jié)論：5A/?F1F2=--------g

tan—

2

推導(dǎo)過(guò)程：由余弦定理得|FiF2p=|PPlF+|p尸2|2-21PBlI尸尸2Kos0得

4c2=(忸5I-IP瑁|)2?2|「耳||Pg1(1+cos0)

4/=4"+2|尸片IIP.l(l-cose)

IMIIPF?

由三角形的面積公式可得

S“Pg=g|PF；||P月|sin夕

=-.———?sin^=/?2Sin6>=b2b2

21-cos6I-cos02s或0

知識(shí)點(diǎn)4等軸雙曲線和共機(jī)雙曲線

1.等軸雙曲線

⑴實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的一般方程為今一*=1或染一1=im>o).

(2)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，漸近線方程為y=±x,離心率e=心.

(3)等軸雙曲線的方程/一/二入，a，。；

2.共聊雙曲線

以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線是一對(duì)共朝雙曲線,其性質(zhì)如下：

⑴有相同的漸近線；

(2)有相同的焦距；

⑶離心率不同，但離心率倒數(shù)的平方和等于常數(shù)1.

故選:B.

2.（2023春?北京豐臺(tái)?高二北京豐臺(tái)二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線C:\'=l過(guò)點(diǎn)（立句，且離心率為上,

則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2-y2=1B.x2-^-=l

3

C.y2-x2=\D.工-工=1

24

【答案】C

【分析】將點(diǎn)（JIG）代入得出關(guān)系，由離心率得出〃，c關(guān)系，結(jié)合雙曲線關(guān)系式即可求解.

【詳解】將（夜,6）代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得，■=1，乂/=探=2,/=/+凡聯(lián)立解得八1萬(wàn)=],

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-x2=\.

故選：C

3.（2023春?重慶沙坪壩?高二重慶一中?？计谥校┖蜋E圓工+￡=1有相同焦點(diǎn)的等軸雙曲線方程為（）

95

A.—-^-=1B.=1

22V2V2

C.--^-=1D.—-^-=1

441616

【答案】A

【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用等軸雙曲線性質(zhì)，求解即可.

【詳解】橢圓]=。：=9,牙=5,則牙=4,可得c=2,

*>7

設(shè)等軸雙曲線方程為馬-與=1,其中4=3

a~b~

可得/+從=4,解得/=6=2

所求的雙曲線方程為寸-《=1.

22

故選：A

4.12023春?江蘇連云港?高二校考期末）已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為2,焦點(diǎn)在），軸

上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為及，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

o>>2，

A.x---=1B.y------=1C.------y=1D.-——x~=1

222'2

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線定點(diǎn)的定義，求得。，設(shè)出雙曲線方程，寫出漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，建

立方程，可得答案.

【詳解】由題意得2a=2,即〃=1,設(shè)雙曲線的方程為），2-a=1（8>0）,

焦點(diǎn)廠（04）到其漸近線y=yX的距離為d=~r===》=應(yīng)，

h\ja~+b~

雙曲線方程為V一］=1,綜上，雙曲線的方程為J?-'=1.

故選：B.

5.（2023春?江蘇南通?高二統(tǒng)考期中）己知雙曲線。的焦點(diǎn)為「卜逐,。），6（石,0）,點(diǎn)P在雙曲線C上,

滿足。耳_1￡入，P/<=4,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2，2）22

A.---y-=1B.x~--=1C.-----=1D.----=1

4-43223

【答案】B

C=y/5

【分析】由題意可知|尸周=生=4,求解即可

a

222

c=a+b

C=y/5

l(?>0,Z?>0)且<儼用=3=4,

【詳解】由題意可知雙曲線方程為

c2=a2+b2

c=\/5

解得y=l,

b=2

所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為/-f=1,

4

故選：B

22

6.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：二一二=1（。>。）的左、右焦點(diǎn)分別為月，入，過(guò)點(diǎn)工且

a~2a~

斜率為75的直線/交雙曲線的右支于A,B兩點(diǎn),若44的周長(zhǎng)為72,則雙曲線C的方程為（）

A.—-^-=1B.—-^-=1C.工-工=1D.x2-^-=l

36510482

【答案】C

【分析】設(shè)直線/的方程為），=百卜-百。），聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得到|A8|=16a,然后

利用雙曲線的定義得到|A用+|=20%根據(jù)的周長(zhǎng)為72列方程，解得。=2即可得到雙曲線方程.

【詳解】由題知片（-6。,0）,外網(wǎng)0）,

所以直線/為丁=石卜-石〃），設(shè)A（X23B（x,,y2）,

與-工=1

由，a~2a2,得/一6\/5?+11/=o,則司+毛=6>/^7,西工2=11〃2，

），=石卜-6。）

所以|AB卜VTT51（內(nèi)+W『一4%Z=2jl08c/-44c，=16〃，因?yàn)閨A￡|=|A段+勿，忸用=忸用+為，

所以|A周+|班|=|A四+忸周+4=|AB|+4a=20t/,

因?yàn)椤鞔岬闹荛L(zhǎng)為72,所以|4用+忸用+|相|=72,

22

所以20〃+1&/=72,得a=2,所以雙曲線方程為工-21=1.

48

故選：C.

考點(diǎn)二雙曲線的焦點(diǎn)三角形

7.（2023春?江西上饒?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)尸為雙曲線1-<=1上一點(diǎn)，6，K分別為雙曲線的左,

169

右焦點(diǎn),若|P耳1=10,則|P劇等于（）

A.2B.2或18C.4D.18

【答案】B

【分析】利用雙曲線的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，||班|一|「/=2〃=8,即|10-歸曰=8,解得|”|=2或18,均滿足

>（?-?=5-4=1.

故選:B

8.（2023春?安徽安慶?高二安慶一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線、-）3=1的左、右焦點(diǎn)分別為￡、尸2,點(diǎn)

尸在雙曲線的右支上，|P￡|+|Pg=6及，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是群;中點(diǎn)，則|OM|=（）

A.五B.2x/2C.3亞D.4夜

【答案】A

【分析】利用雙曲線的定義和已知條件可得出關(guān)于|尸耳|、］閭的方程組,解出|即|的值,利用中位線的性

質(zhì)可求得|0例

【詳解】在雙曲線尸=］中，〃=五，〃=］,c=G，

由雙曲線的定義可得|尸制-|尸鳥(niǎo)|=2近,又因?yàn)閨町|+歸圖=6&,則|尸鳥(niǎo)|=2』,

因?yàn)?。、M分別為耳鳥(niǎo)、W的中點(diǎn)，故|0徵=；歸用=&.

故選：A.

9.（2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）己知￡,入分別是雙曲線U工-二=1的左、右焦點(diǎn)，尸是C上位

44

于第一象限的一點(diǎn)，且尸斗尸產(chǎn)2=0,則的面積為（）

A.2B.4C.2>/2D.2石

【答案】B

【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出歸用瑪再利用三角形的面積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)镻『P5=0.所以|尸￡「+歸圖2=|"圖2=32,

由雙曲線的定義可得|尸聞一|「鳥(niǎo)|=4,

所以21MHp段=|歷『+歸用2一。尸用一|尸片）2,解得|尸盟1尸國(guó)=8,

故△尸尸石的面積為g|P用?|2周二4.

故選:B.

10.（2023春?吉林四平?高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：￡上=1（〃>0,。>0）的

a2b2

左、右焦點(diǎn)分別為匕，外，過(guò)點(diǎn)尸2的直線與雙曲線的右支相交于八，8兩點(diǎn)，忸用=2忸周=4|A司，.Ag

的周長(zhǎng)為10,則雙曲線C的焦距為（）

A.3B.77C.—D.辿

35

【答案】C

【分析】由雙曲線的定義和三角形的周長(zhǎng)解得用的值，再由余弦定理列式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)周="?,忸周=2〃］，忸刊=4〃2,

由雙曲線的定義知：|A娟一|A月卜忸娟-忸瑪|=2〃=2/〃，

|A周=3優(yōu)，a=m,

:.有m+2m++4m=10,解得m=1,

;在《AE八和九8耳乃中，cosZ.F^F2A+COSZ.FXF2B=0,

???由余弦定理得4c2+1-9+"2+4-16=0,解得c=YH,可得雙曲線的焦距為過(guò)H.

4c8c33

故選：C.

考點(diǎn)三雙曲線定義的應(yīng)用

H.(2023春?吉林四平?高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))若方程上r-上=|表示焦點(diǎn)在)，軸上

4-nr1+m

的雙曲線，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為()

A.(YO,—2)B.(―2?—1)

C.(-2,2)D.(—1,1)

【答案】A

【分析】原方程可變形為q---------J=l,根據(jù)已知有1/2八，解出即可.

-m-\"廣一41-4+〃/>0

【詳解】因?yàn)榉匠坦?-上=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，

4-m~I+in

丁匚一廿二=1可變形為上=L

4-nr\+m-m-1w—4

叱〃?j+l><0。

所以有，解得/〃v-2.

-4+/?r>0

故選:A.

12.（2023春?廣東佛山福二統(tǒng)考階段練習(xí)）對(duì)于常數(shù)小江"必<0”是“方程加+制2=1對(duì)應(yīng)的曲線是雙

曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可

廣-U>1

【詳解】解：“+辰=1可整理成（口（?。?/p>

xy_

-------------k?即ad+力2=1表示的曲線為雙曲線，則充

當(dāng),則a>0且b<0或a<0此時(shí)方程（1]I

分性成立;

工+工=1II

若方程（,）（「一表示的曲線為雙曲線，則即a〃v0,則必要性成立,

故選：C

13.（2023?四八I南充?統(tǒng)考三模）設(shè)。e（0,2兀）,則“方程^-+=1表示雙曲線''的必要不充分條件為（）

A.?！辏?,兀）B.0e——,27r

\J

兀3九、

c.?！敦ＥcD.0亡2'T>

【答案】B

0

【分析】求出方程二十=1表示雙曲線的必要不充分條件0的范圍可得答案.

34sin<9

【詳解】由。?。,2江），方程￡+上^=]表示雙曲線,

34sin。

則sinOvO,所以?！辏ň?2兀）,

根據(jù)選項(xiàng)'“方程不4)'.=1表示雙曲線”的必要不充分條件為B.

故選：B.

14.（2023春?江蘇揚(yáng)州?高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知A（0,4）,雙曲線上-E=1的左、右焦點(diǎn)分別為

45

F\,F2,點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，則到+|尸用的最小值為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)，整理|/科+|尸用，利用三角形三邊關(guān)系，可

得答案.

【詳解】由雙曲線￡—二=1,則/=4,從=5,即/=42+/=9,且耳（-3,0）3（3,0）,

45

22

\P^\PF\=\P^2a+\PF-\>\AF2+2?=V3+4+4=9.當(dāng)II僅當(dāng)A匕心共線時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

15.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）己知雙曲線C:二-三=1的下焦點(diǎn)為尸，4（3,7）,P是雙曲線C上支上的

45

動(dòng)點(diǎn)，則歸尸|-|網(wǎng)的最小值是（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線定義得伊日-|24|=4+|尸用-|m，則利用三角形任意兩邊之差小于第三邊求出

|班卜1月1的最小值即為一府|.

【詳解】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在丁軸上，/=4，/=5，/=/+/=9,

根據(jù)雙曲線定義："尸1一口用|=勿=4,?“在上支，."尸|一|P&=2z=4

|PF|=4+|P/*|,\PF\-\P^=4+\PF]-\P^t

在中兩邊之差小于第三邊，.?」?用其，

I前1=，（3-0）2+（7-3）2=5,

.?.|PF|-|E4|>4-5=-l.

故選：D.

考點(diǎn)四雙曲線的軌跡方程

16.（2023?四川?高二統(tǒng)考）已知），軸上兩點(diǎn)爪0,-5）,月（0,5）,則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)?值為8

的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）

A.B，7P

916

CnLi

916D.

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.

【詳解】點(diǎn)片（。,一5）,鳥(niǎo)（0,5），令尸為軌跡上任意點(diǎn)，則有||牛|-1也||=8<10=|匕6

因此動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以6（0,-5）,6（0,5）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線,

即雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。=4,而半焦距c=5,則虛半軸長(zhǎng)匕=后二/=3

22

所以所求軌跡方程為工-工=1

169

故選:B

17.（2023春?遼寧鞍山?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知P是圓K：a+31+y2=]6上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)鳥(niǎo)（3,0）,線

段PF?的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q,則。點(diǎn)的軌跡方程為（）

A.江上1B,二上二1

5449

C./上1D.y-^=l(x>o)

45

【答案】C

【分析】由題意有|Q"=|Q周，從而有||Q用-|Q/=|9|=4,根據(jù)雙曲線的定義得點(diǎn)。的軌跡為是以B、

同為焦點(diǎn)的雙曲線.再寫出其方程即可.

???P是圓￡上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（3,。），線段夕工的垂直平分線交直線P”于點(diǎn)Q,

??.|3=|0用，愴周一也可=||勿卜|°用=|尸制,

???P是圓片上一動(dòng)點(diǎn)，???「國(guó)=4,,?.愴用一血或=4

???巴(3,0),6(-3,0),忻用=6>4,

???點(diǎn)。的軌跡為以入、尸2為焦點(diǎn)的雙曲線，且。=2,。=3,得b=5

，點(diǎn)。的軌跡方程為

故選：C.

18.（2023春?陜西渭南福二期末）一動(dòng)圓尸過(guò)定點(diǎn)M（T0）,且與已知圓N：（工-4『+），2=16相切，則動(dòng)

圓圓心P的軌跡方程是（）

A.。二1y2x2

B.^-+—=1

412412

C./上1工一工印

D.

412412

【答案】C

【分析】由兩圓相切分析可知|PM-PN|=4,符合雙曲線的定義，可得〃=4,勿=8,根據(jù)雙曲線中小

b,c的關(guān)系，即可求出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.

【詳解】解：已知圓N：（工一4『+），2=16圓心N（4,0）,半徑為4,

動(dòng)圓圓心為P,半徑為小

當(dāng)兩圓外切時(shí)：PM=r,PN=r+4,所以PM-PN=-4；

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：PM=r,PN=.A,所以PM-/W=4；

即|PM-PN|=4,表示動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4,符合雙曲線的定義，

所以尸在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，且2a=4,2c=8,

b=>lc2-a2=J16-4=2\/3?

所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為：工-亡=1,

412

故選：C.

19.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）己知兩I員lG：（x+4『+y2=9，G：（x-4『+），2=9,動(dòng)圓。與圓Q外切，且和

圓C2內(nèi)切，則動(dòng)圓C的圓心C的凱跡方程為（）

A.Z,^=1（x>3）B.Z_r=1

79'’97

C.—-^-=1D.—-^-=1（x^3）

7997v7

【答案】D

【分析】通過(guò)動(dòng)圓c與圓G外切，且和圓內(nèi)切列出關(guān)于圓心距的式子，通過(guò)變形可得雙曲線的方程.

【詳解】如圖，

設(shè)動(dòng)圓。的半徑為貝，貝|J|CG|=3+R,|CG|=及一3,

則陽(yáng)-陽(yáng)|=6<8=|肉,

所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以G，為焦點(diǎn)，以6為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支.

因?yàn)?a=6,2。=8,

所以〃=3"=41'=/一/=7.

故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為￡=1（x23）.

97v7

故選:D.

考點(diǎn)五雙曲線的離心率

（一）求雙曲線的離心率

20.（2023春?河北唐山?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線C:￡-￡=1（〃>。力>0）的一條漸近線方程為

a~b-

A-V3>'=0,則。的離心率為（）

A.童B.任C.2D.G

33

【答案】C

【分析】根據(jù)漸近線得到@=且，得到離心率.

b3

【詳解】因?yàn)镃的一條漸近線方程為x-Gy=0,所以2=立，

b3

所以C的離心率e==2.

故選：C

21.（2023春?云南昆明?高二昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線。：￡-]=1（〃>0力>（）），過(guò)點(diǎn)P（3,6）

的直線/與C相交于48兩點(diǎn)，且A4的中點(diǎn)為M12,15）,則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.-C.迫D.在

252

【答案】B

【分析】由點(diǎn)差法得出進(jìn)而由離心率公式求解即可.

a-4

【詳解】設(shè)44乂）,8（七,必）,由A6的中點(diǎn)為N（12J5）,則內(nèi)+&=24,y+必=30,

2

X

121-

F

:兩式相減得：-十*--電）:以+型紇%）

22

/>2a-b~

-一

片

則9=萼乜L也，

再一々公（凹+必）

由直線48的斜率4=黑=1,；?竺［1,則4=3,

12-35。-a~4

雙曲線的離心率6=：=小弓=|,

???雙曲線。的離心率為|,

故選：B.

已知雙曲線弓.小叱0吠。）的右焦點(diǎn)為尸.

22.（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？茧A段練習(xí)）

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上,AFFB=0,FC=2BF,且點(diǎn)。在雙曲線上，則雙

曲線的離心率為（）

A.膽B(tài).巫C.亞2G

322"V

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件及雙曲線的定義，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求

解.

【詳解】如圖所示

設(shè)忸戶|=1,則忻C|=2r,忸尸|=2a+r,恒。=2n+2f,

因?yàn)锳FMuO，所以AQ_L九8,

則四邊形AFBF'是矩形，

在Rt.MC中.|"T+|"「=|/C『，即(2〃+疔+(3疔=(2a+2/)、解得/=手

在RtZ\8/戶中,怛/T+忸斤=忻斤，即2〃+引信)”于是有17。2=9。2,

解得e=叵

3

所以雙曲線的離心率為用

故選：A.

22

23.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知雙曲線。:\~嘖=1伍＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，點(diǎn)M在C的左

支上，過(guò)點(diǎn)M作。的一條漸近線的垂線，垂足為N,若I“周+|MN|的最小值為9,則該雙曲線的離心率為

()

5

A.&B.石C.-D.

23

【答案】A

【分析】由題意可知。=3,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性畫(huà)出圖形，由雙曲線的定義可知IIM6I+|MN|..JKM巧，當(dāng)

且僅當(dāng)點(diǎn)匕，M,N三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，從而得到+的最小值為人+6,求出力的值，得到

雙曲線的離心率.

【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，僅作一條漸近線，

因?yàn)殡p曲線C:二一工=1僅＞0),

9b1v)

.'.a=3,

由雙曲線的定義可知，|"行|一|用不=勿=6,

.?JAf^l+IMNRMKI+IMNIKKXNI+G,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)K，M,N三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立,

,此時(shí)再"=志缶

:\MF2\+\MN\的最小值為b+6,

.?/>+6=9./.b=3.

所以°="/+萬(wàn)=3&

*,?離心率e=￡=&，

a

故選：A.

24.（2023春?海南?高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)K，鳥(niǎo)分別為雙曲線C：二方=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn),A

a-

為雙曲線的左頂點(diǎn)，以片行為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于何，N兩點(diǎn)，且NAWV=135。，（如圖）,

則該雙曲線的離心率為（）

C.2D.5/5

【答案】D

【分析】聯(lián)立/+），2=/與），=，》求出例（〃力），進(jìn)而/M4O的正切可求，得出a與〃的關(guān)系，從而進(jìn)一步

解出答案.

22

【詳解】依題意得，以線段6工為直徑的圓的方程為x+r=c,

雙曲線C的一條漸近線的方程為y

_b

由，）a'以及/+/=/,

x-+y~=c\

X=4>x=一a,

解得,或《

y=^），=一〃.

不妨取“（a?。?則N[-a-b）.

因?yàn)锳（—a,0）,/M4N=135,

所以NMAO=45,

又tan/M4O=2

2a

所以"A

所以b=2a.

所以該雙曲線的離心率e=Ql+提=5

故選:D.

22

25.（2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線。:二-斗=1（〃>0⑦>0）,F為C的下焦點(diǎn).。為坐

a"o

標(biāo)原點(diǎn)，4是C的斜率大于。的漸近線，過(guò)戶作斜率為半的直線/交4于點(diǎn)A,交x軸的正半釉于點(diǎn)若

\OA\=\OB\t則C的離心率為（）

2x/3

A.2B.赤rD.

3

【答案】C

【分析】分別表示出兒B坐標(biāo)，利用IOARO0求得。=麻，即可求出離心率.

【詳解】因?yàn)槭瑸殡p曲線C：E—￡=1（。＞0力＞0）的下焦點(diǎn)，不妨設(shè)〃（0，-c）,

a~b~

所以過(guò)尸作斜率為坐的直線,，=乎％-c,所以網(wǎng)口,0）.

因?yàn)楹轈的斜率大于。的漸近線，所以可設(shè)-=%

3bc3ac、

聯(lián)立解得：A

3ay/3b-3a)

y=lX

因?yàn)镮QAROBI,所以1'+j丁'解得：

3==3C2,

I\j3b—3a)\\j3b—3。)

Ja2+b22b2yf3

所以離心率e=￡

a~a—~7/3b~~

故選:C

（二）求雙曲線離心率的取值范圍

26.（2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：工-9=1.＞o）的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A（0,-a）,

若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)兒使得|44|+仍產(chǎn)|=7,則雙曲線。的離心率的取值范圍是（）

A.[41B.(1,司

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，|陽(yáng)二|尸盟+2〃，即|酬+「周=7-勿，進(jìn)而推得|尸川+|尸用用=而/,

得到不等式/-14a+2420,求解即可得到。的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的范圍.

4

設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為因?yàn)辄c(diǎn)戶在雙曲線左支上，所以有|叩-|「制=為，

即|所|=|「制+2a.

7

由已知得，存在點(diǎn)尸，使得|R4|+|S=7,即|R4|+|P周=7-2々，顯然7-2〃＞0,所以j

又|%|+|尸制N|AK|=J/+C2,即當(dāng)點(diǎn)/＞位于圖中耳位置時(shí),等號(hào)成立，

所以＜7-勿，又。2=々2+]，

所以，2/+1?7-2〃，整理可得，a2-14a+24＞0,解得或（舍去），

15

所

則

->-以>

所以O(shè)vaW2,則0v/?4,4-4-

所以吒書(shū)吟與

故迄C.

27.（2023春?江蘇南京?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知”為雙曲線'-2=1（"0力＞0）的左焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)小

a'b'

與雙曲線交于兩點(diǎn)，且恒川最小值為"，則雙曲線離心率取值范圍為（）

a

A.（1,2）B.（L碼C.（1,2]D.

【答案】D

【分析】分別討論經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)廠的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上和

直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上這兩種情況，列出不等式，計(jì)算即可得到范圍.

【詳解】①當(dāng)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸的直線勺雙曲線的交點(diǎn)在同一支上，可得雙曲線的通徑最小,

設(shè)雙曲線/4=1的左焦點(diǎn)為什。），過(guò)”的直線與雙曲線左支相交于3,歷（3）,

當(dāng)直線A8斜率不存在時(shí)，直線A8的方程為戶-G可得產(chǎn)±4仁二=±無(wú)，即有

\a

闡=也,

當(dāng)直線48斜率存在時(shí)，設(shè)直線A8的方程為尸&（%+“

y=k（x+c）

2

聯(lián)立?Vy2,消去y,得（/-八12-24%―-丘2公-々方=0,

屋—*1

2a2ck2a2c2k2-^a2b2

i=/K中2=-/a*，

A=（2高巧2一4伊—執(zhí)2）（一五2公一12）>0

22

2uck八,解得出＞2或女＜-2,

由，J1+X2=^7F<0

aa

a2c2k2+a2b2

所以胡|=41+公心+32-4中小2噤：'）二芥笄

lac162/62b?

?b"aa＞

6""F

所以當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AB|的長(zhǎng)最小，即最小值為也

a

②當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支匕可得當(dāng)直線的斜率為。時(shí)，|44|最小為加

由①②及題意可得2。之手,即為一/，即有則離心率

故選：D.

22

28.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:二-1=1伍＞0,。＞0）的上、下焦點(diǎn)分別是用若雙曲線

a'b~

222

。上存在點(diǎn)尸使得產(chǎn)￡/6=-4/，PF"+PF2＜4a+3b,則其離心率的取值范圍是（）

A.（1,5/3）B.（1,3）C.（后+8）D.（3*）

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向最加法的幾何意義，結(jié)合平面向最數(shù)最積的運(yùn)算性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解

即可.

【詳解】設(shè)尸（小，％），

利用向量加法法則知PFX^PF2=2PO,則（P[+P8『=（2PO『

2222

即41Pol=PA-+2PF\PF2+PF2<3b-4a,

故4(4+y；)v3〃2-4a/

設(shè)耳(()?,?(0,—c).

則PA；.2鳥(niǎo)=(一/,c-No).(-x°,-c-%)=x：+y：-c?=W2,

x；+y：=/-4/②，

由①@得4(。2-4/)<3b2-4a2,即4c2V3從+12a2，

又/=。2-/,所以4。2<3k2—/)+12〃，即C2<9A2,即?<3,

而雙曲線離心率的值大于1,

故選：B

（三）由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍

29.（陜西安康?統(tǒng)考三模）已知阿錐曲線〃7+/=_］的離心率為2,則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.—3B.—C.-D.3

33

【答案】A

【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可知為雙曲線，再結(jié)合離心率公式，即可得到結(jié)果.

2

X2

【詳解】該圓錐曲線是雙曲線方程可化為1-）'

m

產(chǎn)

:.J-=2,解得m=-3.

此

故選:A.

30.（2023春?河南焦作?高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C:二——匚=1的離心率大于拒，則實(shí)數(shù)加的取值

\+m3-m

范圍是（）

A.（-1,1）B.(-1,3)C(f1)D.(0,1)

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論實(shí)軸位置，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得機(jī)的范圍.

1+m>0

【詳解】當(dāng)雙曲線實(shí)軸在X軸上時(shí),解得-1<<3,

3->0

此時(shí)c*+,-4,所以”片c布2齊及「

解得〃?<1,所以

當(dāng)雙曲線實(shí)軸在y軸上時(shí)，。C，解得〃7W0,不符合題意.

3-獷<0

綜上,解得-Iv/nvl.

故選：A.

31.(2023春?江蘇連云港?高二校考期末)設(shè)%為實(shí)數(shù)，已知雙曲線工-工=1的離心率ee(l,2),則