高等數(shù)學(xué)考研復(fù)習(xí)題及答案

一、填空題

1.設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。

2.若，則

3.極限。

4.已知，則,o

5.已知時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則常數(shù)=

6.設(shè)，其中可微，則=。

7.設(shè)，其中由確定的隱函數(shù)，則。

8.設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則。

9.函數(shù)y)二孫一xy2-x2y的可能極值點(diǎn)為和

22

10.設(shè)/(x,y)=xsiny+(x-1)J|沖|貝Uf'y(1,0)=.

11.jx2sin2xdx=.

12.在區(qū)間［0,4］上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為.

13.若，則。

14.設(shè)D：，則由估值不等式得

15.設(shè)由圍成()，則在直角坐標(biāo)系下的兩種積分次序?yàn)楹?/p>

16.設(shè)為，則的極坐標(biāo)形式的二次積分為一.

17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)的最大取值范圍是

「?八x2x4x(.,

18.x(l---+--------+?--)dx=

J。1!2!3!

19.方程的通解為

20.微分方程的通解為

21.當(dāng)n=時(shí)，方程為一階線性微分方程。

22.若階矩陣的行列式為是的伴隨矩陣，則.

23.設(shè)A與B均可逆，則C=也可逆，且=.

24.設(shè)，且，則X二

25.矩陣的秩為

26.向量二，其內(nèi)積為.

27.n階方陣A的列向量組線性無關(guān)的充要條件是

28.給定向量組口，若口線性相關(guān)，則滿足關(guān)系式.

29.已知向量組(I)與由向量組(II)可相互線性表示，則r(I)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

是

30向量7=(2,1)T可以用a=(0,l)T與夕=(1,3廠線性表示為.

31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無窮組解的條件.

32.設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組b有唯一解的充要條件是r(A)r(A|b)=.

33.已知口元線性方程組丁有解，且口，則該方程組的一般解中自由天知量的個(gè)數(shù)為

34.設(shè)一是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組n的都是A的屬于口的特征向

量.

35.若3階矩陣A的特征值為I,2,-3,則的特征值為

36.設(shè)A是n階方陣,|A|#0,為A的伴隨矩陣,E為n階迎位矩陣，若A有特征值，則必有

特征值.

37.(,(分別為實(shí)對(duì)稱矩陣八的兩個(gè)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，則(與(的內(nèi)積((，()

38.二次型/(項(xiàng)，/，工3，XA)=X1X4+x2x3的秩為.

39.矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是.

40.二次型是正定的，則的取值范圍是.

41.A.B.C代表三事件，事件“A.B.C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為

42.事件A.B相互獨(dú)立，且知?jiǎng)t.

43.若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為p.則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為.

44.在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，如果每次射擊命中率為0.6,

那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<k<5).

45.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且則二

48設(shè)X的分布密度為，則的分布密度為

50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且令Z=—Y+2X+3,貝IJ=

51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.令Y=2X-3,則=

二、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)，則=().

A.xB.x+IC.x+2D.x+3

2.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

A.B.C.D.

3.下列各對(duì)函數(shù)中，，：)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A.與B.與

C.與D.與

4.設(shè)在處間斷，則有()

(A)f(x)在X=X0處一定沒有意義;

(B)/(%-。)//(x+0)；(即limf(x)lim/*))；

x->.voXT垢

(C)不存在，或；

(D)若在處有定義，則時(shí)，不是無窮小

5.函數(shù)在x=()處連續(xù)，貝l」k=().

A.-2B.-lC.1D.2

6.若，為無窮間斷點(diǎn)，為可去間斷點(diǎn)，則().

(力)1(4)0(C)e(〃)ed

7.函數(shù)的定義域?yàn)?).

A.B.C.D.

8.二重極限()

(A)等于0(B)等于1(C)等于,(D)不存在

2

9.利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程().

(A)〃一dz(C)〃一

(B)V——=z(D)

dudvdv

dz

V——=z

du

10.若，在內(nèi)則在內(nèi)(

(4)ra)<o,r,a)<o；(?)r(x)<o,f'a)>o；

(C)r(x)>o,r*u)<o,⑷)/,(x)>o,r,(x)>o,

ii?設(shè)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，,則在點(diǎn)處

/(X)().

(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo)，且(C)取得極大值(D)取得極小值

12.設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且

則當(dāng)時(shí)，有().

(4)/(x)g(Z?)>f(b)g(x)(皮f(x)g(a)>f(a)g(x)

9f(x)g(x)>f(b)g(b)(〃)f(x)g(x)>f(a)g(a)

13.即(x)是連續(xù)函數(shù)且/(x)=/⑺力，則/'(x)=().

3)-e-xf(e-x)-f(x)(B)-「"(/)+/(x)

(C)e-xf(e~x)-/(x)(D)e-xf(e-x)+f(x)

14.設(shè)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，

則公=().

(#2(B)19-1(〃)-2

15.設(shè)上二階可導(dǎo)，且記

.,ww<).

(4)S］〈S2Vs3(皮s2Vs3Vsi9s3d(〃)S］〈S3Vs2

16.設(shè)哥級(jí)數(shù)在處收斂.則此級(jí)數(shù)在處().

(A)絕對(duì)收斂6)條件收斂

(C)發(fā)散(。)收斂性不能確定

17.下列命題中，正確的是().

(力)若級(jí)數(shù)與名匕的一般項(xiàng)有<匕,(〃=1,2…)，則有<￡匕

〃=1〃=1〃=1n=\

800

(夕)若正項(xiàng)級(jí)數(shù))>”滿足"21(〃=12…)，則發(fā)散

〃=1n=\

(C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則

(D)若轅級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則

18.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)().

CA)絕對(duì)收斂(⑶條件收斂(。發(fā)散(〃)斂散性不確定

19.微分方程的通解是()

(A)x+}?+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+y)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c

20.設(shè)滿足微分方程，若，則函數(shù)在點(diǎn)()

(A)取極大值；(B)取極小值；

(C)附近單調(diào)增加；(D)附近單調(diào)減少.

21.函數(shù)在點(diǎn)處的增量滿足

△尸卷+3)0)

且，則(D)

(A)2/；CB).T；(C)0了；(D)歡

22.若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，且該向量組的秩為r,則必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+1(D)r<s

23.已知向量組線性相關(guān)，則=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

24.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是()

(A)%中含有零向量

(B)中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例

(C)必。2，中每一個(gè)向量都可由其余S—1個(gè)向量線性表示

(D)4中至少有一個(gè)向量可由其余5-1個(gè)向量線性表示

25.對(duì)于向量組，因?yàn)椋允牵跩.

(A)全為零向量；(B)線性相關(guān)；

(C)線性無關(guān)；(D)任意.

26.設(shè)A,B均為n階矩陣，且AB=0,則必有()

(A)A=O或3=0⑻|和=0或|5=0(C)A+B=O(D)|力|+川=0

27.若非齊次線性方程組401乂11*=1)的(),那么該方程組無解.

A.秩(A)=nB.秩(A)=m

C.秩(A)(秩()D.秩(A)=秩()

28.若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)=()時(shí)線性方程組有無窮多解。

A.1B.4C.2D.

29.設(shè)X:2是非奇異矩陣A的特征值,則(』A?)T有一個(gè)特征值是()

3

411

(A)-(B)-(02(D)-

3244

30.若二次型

正定，則()

(A)k>-\(B)k>\(C)k>2(D)k>3

31.已知是矩陣的特征向量，則=()

(A)1或2(B)-1或—2(C)1或一2(D)—1或2

32.在隨機(jī)事件A,B,C中,A和B兩事件至少有一個(gè)發(fā)生而C事件不發(fā)生的隨機(jī)事件可

表示為()

(A)AC(JBC(B)ABC(C)ABCUABCUABC(D)AJB(JC

33.袋中有5個(gè)黑球，3個(gè)向球，大小相同，一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰有3個(gè)白

球的概率為()

5

(D)

34.設(shè)A.B互為對(duì)立事件，且則下列各式中錯(cuò)誤的是()

(A)P(B|A)=O(B)P(A|B)=O(C)P(AB)=O(D)P(A|JB)=1

35.離散型隨機(jī)變量X的分布列為P{X=k}=,1<=1,2,3,4.則()

(A)0.05(B)0.1(C)0.2(D)0.25

36.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則

P\--<X<y/3\=()

3

(A)-(B)-(C)-(D)-

6323

37.設(shè)隨機(jī)變量X服從，的值()

(A)隨〃增大而減小；(B)隨〃增大而增大；

(C)隨〃增大而不變；(D)隨〃減少而增大.

38.設(shè)隨機(jī)變量，則服從()

(A)(B)N(0,l)(C))2(D)NS/bdS)

I。b)

39.對(duì)目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率相同，如果擊中次數(shù)的方差為0.72,則每

次射擊的命中率等于()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

40.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,則=().

(A)-1(B)0(C)1(D)以上結(jié)論均不正確

三、解答題

1.設(shè)，已知在處連續(xù)可導(dǎo),

試確立并求ra)

o2

2.設(shè)z=/(2x-)，,ysin/),其中/(〃,口)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求丁丁.

dxdy

3.設(shè)討論f(x,y)在(0,0)

(1)偏導(dǎo)數(shù)是否存在。

(2).是否可微。

4.在過點(diǎn)P(l,3,6)的所有平面中，求一半面，使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體

積最小.

JZ

5.「XCOS2迫T

Jo

6.,其中為圓域。

7.設(shè)在上連續(xù)，求證：。

證明。={3,丁)方+),24R2}

8.求暴級(jí)數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù)：

9.求解

10.求解.

II.求解滿足

12.求解滿足

13.設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解為，試確定，并求該方程的通解.

14.計(jì)算下列行列式，

15.計(jì)算下列行列式

16.證明：

17.設(shè)AX+E=A2+X,且人=，求X.

18.已知矩陣，求常數(shù)a,b.

19.將向量表示成的線性組合：

⑴%==(1,2,1),%=尸=(1,0,-2)

20.問，取何值時(shí)，齊次方程組

XXj+x2+x3=0

<X1+gx24-x3=0

X1+2px2+x3=0

有非零解？

21.設(shè)線性方程組

試問C為何值時(shí)?，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。

22.求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：

⑴f=2x：+3x；+3x；+4x2X3

23.某工人看管甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)器，在1小時(shí)內(nèi)，這3臺(tái)機(jī)器不需照管的概率分別為080.9,

0.6,設(shè)這三臺(tái)機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的，求在1小時(shí)內(nèi)

（1）有機(jī)床需要工人照管的概率；（2）機(jī)床因無人照管而停工的概率.

24.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為

求（1）常數(shù)A；（2）X的分布函數(shù)；.

25.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布.求

（1）（X,Y）的聯(lián)合分布密度；

（2）X與Y的邊緣分布密度，并問它們是否相互獨(dú)立？

26.設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為

Ji,o<,v<i

AW=10,其它AO，）=|o,.<0

求隨機(jī)變量Z=x+Y的概率密度函數(shù).

27.一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命XI以年計(jì)）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)

為

1--.X

，/、—e40<x

/（方=彳4

0x<0

為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺(tái)設(shè)備，

工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元.求工廠出修一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.

28.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）服從正態(tài)分布，且X和Y分別服從正態(tài)分布

,X與Y的相關(guān)系數(shù)，求Z的數(shù)學(xué)期望和方差：

參考答案

一、填空題

1.設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。

解：的定義域?yàn)?，且?/p>

f(~X)==/(x)

222

即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對(duì)稱。

2.若，則

解：。

3.極限。

解：

注意：(無窮小量乘以有界變量等于無窮小量)

,其中=1是第一個(gè)重要極限。

4.己知，則,。

由所給極限存在知，4+2々+人=0,得b=-2a-4-,又由

x2+ax+hx+a+2。+4_,…c

lim—........=lim---------=------=2,知。=2,/?=-8

7r一工一212X+13

5.已知時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則常數(shù)=

解.

6.設(shè)，其中可微，則=。

空)-z-l

解2z—=(p+y(p^■———；----

辦曠

dy2z-(p'

7.設(shè)，其中由確定的隱函數(shù)，則

解一=eyz~+2zey—

dx'fiv

du_-\-yz

—=evyz2+2zev-y-----

dx?1十.xy

時(shí)，

—=1

6((M>

8.設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

解：

各二」/(町')+-fXxy)+ye(x+y)

dxrx

d2z-1.1..,..

T-T-=—fUy)+-/(xy)+yf(沖)+夕(x+y)+)q(x+y)

dxdyxx

=y[f(初)+(P(x+，)]+0(x+y)

9.函數(shù)f(x,y)=xy-xy1-x2y的可能極值點(diǎn)為和

2

fx=y-y-2*)，=y(1-2.v-y)=0fx=Ox=0]x=13

解VV

2,=

fy=x-2xy-x=x(l-x-2y)=0(50y=1[y=0

3

不是，不是

負(fù)定，極大值(，)

22

10.設(shè)/(x,y)=xsiny+(x-1)J|貝If'y(1,0)=

解：因?yàn)?，?/p>

II.jx2sin2xdx=.

解：原式

cos2x+卜d(gsin2x)=--^x2

cos2x+—xsin2x——

cos2x+—,vsin2jt+—cos2x+C.

12.在區(qū)間［0,4］上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為.

解：

開

二(sinx+cosx)1+(-cosx-sinx)g=V2-1+1+V2=272.

4

13.若，則。

答案：???

14.設(shè)口：，則由估值不等式得

解，又

由，

7V<I<5TV

15.設(shè)由圍成（），則在直角坐標(biāo)系下的兩種積分次序?yàn)楹?/p>

解D：(X—型)=D1+D2,

/=.］:'/(陽》川丁十J；?dA-jJ/(%,y)dy

D:（Y一型）

16.設(shè)為，則的極坐標(biāo)形式的二次積分為一.

解：D:,

17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)的最大取值范圍是.

解：由級(jí)數(shù)的斂散性知，僅當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其他情形均發(fā)散.

18.fx(l———+————F'?,}dx—.

Jo1!2!3!-------------------------

解：因?yàn)?，所以原積分

19.方程的通解為

20.微分方程的通解為.

21.當(dāng)n=時(shí)，方程為一階線性微分方程。

解〃=0或1.

22.若階矩陣的行列式為是的伴隨矩陣，則.

答案：

23.設(shè)A與B均可逆，則C=也可逆，且=.

答案：；

24.設(shè)，且，則X=

答案：

25.矩陣的秩為

解答：將矩陣化成階梯形.可知填寫：2。

26.向量，其內(nèi)積為.

答案：□

27,n階方陣A的列向量組線性無關(guān)的充要條件是

答案：r=n,或|A|H0;

28.給定向量組，若線性相關(guān)，則a,b滿足關(guān)系式

答案:a-2b=0

29.己知向量組(I)與由向量組(II)可相互線性表示，則r⑴與r(H)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

是

答案：相等；

30向量/=(2,1＞可以用。二(0,1＞與4二(1,3廠線性表示為.

答案：1;

31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB二b有無窮組解的條件.

答案：必要不充分；

32.設(shè)A為mXn矩陣,非齊次線性方程組匚b有唯一解的充要條件是r(A)r(A|b)=.

答案：；

33.已知元線性方程組有解，且，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為

解答：

34.設(shè)是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的都是A的屬于的特征向

量.

答案：非零解;

35.若3階矩陣A的特征值為I,2,3則的特征值為

答案：；

36.設(shè)A是n階方陣，|A|WO1為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值口,則口必

有特征值口.

答案：.

37.(,(分別為實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量,則(與(的內(nèi)枳((，()

答案：0

38.二次型f(x^x2,x31x4)=x1x4+/%3的秩為.

答案:4.

39.矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是.

答案：

40.二次型是正定的，則的取值范圍是.

答案：

4LA.B.C代表三事件，事件”A.B.C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為AB+BC+AC.

42.事件A.R相互獨(dú)步，且知?jiǎng)t

解：,：A、B相互獨(dú)立，???P(AB)=P(A)P(B)

??.P(AU3)=P(A)+P(3)—P(AB)=0.2+0.5—0.1=0.6

43.若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率

為

解：P(A+B)=1-P

44.在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，如果每次射擊命中率為0.6,

那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<k<5).

解：設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，其分布律為：

45.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且則=

解：???X服從泊松分布，其分布律為P{X=k}=(k=0,1,2,>0)

由已知得：，求得=2

12，4e~2

???P{X=3}=---------=--------

3!3

46.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為，則二

解：由性質(zhì)

即JOdx+￡xdx+1(?-x)dx+￡Odx

=0+yo++0

解得:a=2

解：:X,Y相互獨(dú)立

:.P(X=LY=1)=P(X=1)-P(Y=1)

即：

.3

??a=一

16

iJ

48.設(shè)X的分布密度為，則的分布密度為

解：*.*P{YWy}=P(X3Wy)=P(XW)=Fx()

???丫=年的分布密度為

解???卬尸:.a+〃+0.2+0.3=l即有a+〃=0.5

/j

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立；.P(X=I,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)

???a=(a+0.2)(a+/3)Aa=0.2

50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且令Z=-Y+2X+3,則=

解???X與Y相互獨(dú)立，???D(Z)=D(-Y+2X+3)=D(-Y)+D(2X+3)

=(-l)2D(Y)+4D(X)=1+4X2=9O

51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.令Y=2X-3,則=

解D(r)=D(2X-3)=4D(X)=4{E(X2)-[E(X)]2}=4(4-12)=12o

二、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)，則=（）.

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于，得=

將代入，得=

正確答案:D

2.下列函數(shù)中，（）不是基本初等函數(shù).

A.B.C.D.

解因?yàn)槭怯桑瑥?fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).

正確答案：B

3.下列各對(duì)函數(shù)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A.與B.與

C.與D.與

解：A

4.設(shè)在處間斷，則有（）

（A）/（犬）在x=x（）處一定沒有意義；

（B）/（與-0）//（尤+0）;（即lim/（幻工lim/（幻）；

x->.r04fti

（C）不存在，或；

（D）若在處有定義，則時(shí)，不是無窮小

答案:D

5.函數(shù)在x=0處連續(xù)，則k=（）.

A.-2B.-IC.1D.2

答案：B

6.若，為無窮間斷點(diǎn)，為可去間斷點(diǎn)，則（）.

（#1（〃）0（C）e（〃）ed

解：由于為無窮間斷點(diǎn)，所以，故.若，則也是無窮間斷點(diǎn).由為可去間斷點(diǎn)

得.故選（C）.

7.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?

A.B.C.D.

解:z的定義域?yàn)椋?/p>

x2+y2-2>0

=>2<x2+y2<4選D

4-X2-/>0

8.二重極限()

(A)等于0(B)等于I(C)等于，

(D)不存在

2

D)

解：與k相關(guān),因此該極限不存在

9.利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程().

dz

(A)U—=Z⑻喙=z(C)u—=z(D)

dudv

dz

V—=Z

du

解z是x,y的函數(shù)，從，可得，，故z是u,v的函數(shù)，又,故z是x,y的更合函數(shù),

故，，從而

十*①&dzydzydzdzdz

dx'dyduxdvxdvdu8u

因此方程變?yōu)椋?/p>

選A

10.若，在內(nèi)則在內(nèi)().

wr(x)<o,r'(A-)<o；網(wǎng)r(A-)<o,r,(x)>o；

(C)ru)>o,rxx)<o,(/J)ru)>o,r,w>o,

解：選(C).

11?設(shè)的某個(gè)鄰域內(nèi)連綏，且，，則在點(diǎn)處

/.1)().

(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo)，且(C)取得極大值(D)取得極小值

解?：因?yàn)椋瑒t在的鄰域內(nèi)成立，所以為的極小值.故選(D).

12.設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，

則當(dāng)時(shí)，有().

(力)f(x)g(b)>f(b)g(x)(8)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)f(x)g(x)>以b)g⑻(〃)f(x)g(x)>f(aMa)

解：考慮輔助函數(shù)

則尸(X)嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù).當(dāng)X<b時(shí)，△*>中,

g(x)gS)

即有了(%)gS)>g(x)/(b).應(yīng)選(A).

13.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)且/⑶=「'/⑺力，則/(x)=().

JX

(4)-e-xf(e-x)-f(x)(8)-e~xf(e-x)+f(x)

9e-xf(e~x)-/(A)(D))+/(x)

解：由積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，故選(A).

14.設(shè)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，

則JV(X)"X=().

(力)2(B)1(O-1(〃)-2

解：因?yàn)?/p>

,故應(yīng)選(A)

15.設(shè)上二階可導(dǎo)，且記

..則行().

(A)S]〈S2Vs3(B)S2Vs3<S]9S3<Sy<S2(〃)S,<S3<S2

解：依題意，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)減少，且其圖形是向上凸的曲線.依據(jù)幾何圖形可得，故

選(B).

16.設(shè)幕級(jí)數(shù)在處收斂則此級(jí)數(shù)在處().

(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂

(C)發(fā)散(。)收斂性不能確定

解：選(A).

17.下列命題中，正確的是().

008800

(力)若級(jí)數(shù)Z%與E匕的一般項(xiàng)有un<vn(n=1,2…),則有

/?=1/i=ln=l

(B)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡%滿足-215=1,2，…)，則發(fā)散

M=1n=l

(C)若正頂級(jí)數(shù)收斂，則

(I))若塞級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則.

解：由有，因此，從而發(fā)散.故選(B).

18.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)().

(4)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(。發(fā)散(〃)斂散性不確定

解：因?yàn)槭諗?，即幕?jí)數(shù)在處收斂，由Able定理知，哥級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，亦即

絕對(duì)收斂.故選(A).

19.微分方程的通解是()

(A)y+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+y)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c.

解:D

20.設(shè)滿足微分方程，若，則函數(shù)在點(diǎn)()

(A)取極大值；(B)取極小值；

(C)附近單調(diào)增加；(D)附近單調(diào)減少.

解:B

21.函數(shù)在點(diǎn)處的增量滿足

yAr

Ay=+(AE.0)

1+x2

且，則(D)

(A)21；(B)(C)e4;(D)定，

解令，得，，，故選(D)?

22.若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，且該向量組的秩為r,則必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+l(D)r<s

答案D;

23.已知向量組線性相關(guān)，則=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

答案:(C)

24.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是()

(A)%中含有零向量

(B)，4中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例

(C)%,。2,4中每一個(gè)向量都可由其余S-1個(gè)向量線性表示

(D)%,火4中至少有一個(gè)向量可由其余sT個(gè)向量線性表示

答案:(D)

25.對(duì)于向量組，因?yàn)?，所以是[].

(A)全為零向量；(B)線性相關(guān)；

(C)線性尢關(guān)；(D)任意.

答案：D;

26.設(shè)A,B均為n階矩陣，且AB=O,則必有()

(A)A=O或8=0(B)|/f|=O或|6=0(C)A+B=O(D)\A\+B\=0

答案:B

27.若非齊次線性方程組人01乂11*=15的()，那么該方程組無解.

A.秩(A)=nB.秩(A)=m

C.秩(A)(秩()D.秩(A)=秩()

解根據(jù)非齊次線性方程組解的判別定理，得AmXnX;b無解秩(A)(秩()

正確答案:C

28.若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)=()時(shí)線性方程組有無窮多解。

A.1B.4C.2D.

解將增廣矩陣化為階梯形矩陣，

」％2‘1Z2、

A=

214、01-2X0,

此線性方程組未知量的個(gè)數(shù)是2,若它有無窮多解,則其增廣矩陣的秩應(yīng)小于2,即，從而

=,即正確的選項(xiàng)是D。

29.設(shè)X=2是非奇異矩陣A的特征值,貝IJ(：42尸有一個(gè)特征值是

)

(B),

(A)-(02(D)-

3244

答案:C

30.若二次型

正定，則()

(A)k>-\(B)k>\(C)k>2(D)k>3

答案:(D)

31.已知是矩陣的特征向量，則=(

(A)1或2(B)一1或一2(C)1或一2(D)一1或2

答案：(C)

32.在隨機(jī)事件A,B.C中，A和B兩事件至少有一個(gè)發(fā)生而C事件不發(fā)生的隨機(jī)事

件可表示為()

(A)ACUBC(B)ABC(C)ABCUABCIJABC(D)AJBJC

解由事件間的關(guān)系及運(yùn)算知，可選(A)

33.袋中有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，大小相同，一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰有3個(gè)白

球的概率為()

3MY1(IS

(A)-(B)--(C)C：--(D)-4-

8⑶88⑶8C；

解基本事件總數(shù)為，設(shè)A表示“恰有3個(gè)白球”的事件,A所包含的基本事件數(shù)為=5,故

P(A)=,故應(yīng)選(D)。

34.設(shè)A、B互為對(duì)立事件，且則下列各式中錯(cuò)誤的是()

(A)P(B|A)=0(B)P(A|B)=0(C)P(AB)=0(D)P(Al)B)=l

解：因?yàn)锳.B互為對(duì)立事件，所以P(A+B)=1,P(AB)=0,又P(A),P(B)>0,

所以=A,因而P(|A尸P(A|A)=1,故選(A)

35.禽散型隨機(jī)變量X的分布列為P{X二k}=，卜=1,2,3,4.則()

(A)0.05(B)I).1(C)0.2(D)0.25

解由概率分布性質(zhì)可知,常數(shù)a應(yīng)滿足,a+2a+3a+4a=l,即有a=0.1,故應(yīng)選解)。

36.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則

3

112

J\-))-

6-X23

解：：

(1/T1(6]

=-arctanV3+?--arctan----+a

卜J[乃I3J_

,故應(yīng)選(C)o

37.設(shè)隨機(jī)變量X服從，的值()

(A)隨〃增大而減小；(B)隨〃增大而增大;

(C)隨〃增大而不變；(D)隨"減少而增大.

解：???X~N(,4)P[XW2+]=P,而值不隨的變化而變化，:.P{XW

2+}值隨增大而不變，故應(yīng)選(C)。

38.設(shè)隨機(jī)變量，則服從()

(A)N("d)(B)N(O,1)(D)N(a/.i+b,a2o'2)

解選(D),丁E(Y)=E(aX+b尸aE(X)+b=a+b

D(^=D(flX+/?)=t72D(X)=?2a2

:.Y?N(a+-b,a2)。

39.對(duì)目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率相同，如果擊中次數(shù)的方差為0.72,則每

次射擊的命中率等于()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

解選(D)；由題意知：X?B(3,p),而D(X)=3?p?(1-p)=0.72

p=0.4o

40.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，則=().

(A)-1(B)0(C)1(D)以上結(jié)論均不正確

解選(B)：???E(X尸,而被積函數(shù)為對(duì)稱區(qū)間上的奇函數(shù)，，E(X)=Oo

三、解答題

1.設(shè)，已知在處連續(xù)可導(dǎo)，

試確立并求/'(4)

解，，在處連續(xù)，，即。

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

,故

2x,x<0

/(6=

e+x~

2.設(shè)z=/(2x—)，,ysinx),其中/(〃》)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

dxoy

解：3=2力+ycos%

ox

WZ

-r-^-=2(-/+sinM2)+cos*+)'cosx(—/2i+siiiV2)

dxdy112

=-2f]]+(2sinx-ycosx)f]2+cos班+ysinACOS^2.

3.設(shè)討論f(x,y)在(0,0)

(1)偏導(dǎo)數(shù)是否存在。

(2).是否可微。

解：(1)

同理可得，偏導(dǎo)數(shù)存在。

(2)若函數(shù)f在原點(diǎn)可微，則

Az-t/z=/(0+Ar,0+Ay)-f(0,0)-jx\0fi)Ax-力'(0,0)Av="的

應(yīng)是較高階的無窮小量，為此，考察極限，由前面所知，此極限不存在，因而函數(shù)f在原

點(diǎn)不可微。

4.在過點(diǎn)P(l,3,6)的所布*平面中，求一平面，使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體

積最小.

解：設(shè)平面方程為Ar+By+Cz=l,其中A,8,。均為正，則它與三坐標(biāo)平面圍成

四面體的體積為且A+33+6C=l,令

6ABC

F(A,C,2)=ABC+A(4+3B+6C-1),則由

,求得.由于問題存在最小值，因此所求平面方程為

5.￡2xcos2入dr

解：=

衣

12J1

=0+—cos2x=—(-1-1)=——

4。42

6.，其中為圓域.

解：將區(qū)域分為，其中。于是

jj|x2+y2-4|dcr=jj(4-x2-y2)d(T+jj(x2+y2-4)db

2萬3

=jdOj(4-r2)rdr+JdOj(r2-4)rdr

o2

=2](2/-。1力4；+2加-2/小

44l

41

=—71

2

7.設(shè)在上連續(xù)，求證：。

證明D={(x,y)\x2+y2^R2}

由重積分中值定理，，使得，當(dāng)時(shí),

由f的連續(xù)性，知，從而有：

x,y}d(y

吻親成K/(打)

=乃R)')二n

&T°R_RT°

=”(0,0)

8.求幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù)：

解:,所以,,.

當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，由調(diào)和級(jí)數(shù)知發(fā)散；

當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz判別法知此級(jí)數(shù)是收斂