PAGE122.11二次函數(shù)與新定義壓軸問題（重難點(diǎn)分層培優(yōu)提升）一、解答題1．（21-22九年級(jí)上·福建福州·期中）新定義：如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣1，0)，那么稱此二次函數(shù)圖象為“定點(diǎn)拋物線”．（1）試判斷二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣5的圖象是否為“定點(diǎn)拋物線”；（2）若“定點(diǎn)拋物線”y＝x2﹣mx+2﹣k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．2．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：的“圖象數(shù)”為．(1)圖像數(shù)為的二次函數(shù)表達(dá)式為__________．(2)求證：“圖象數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)．3．（22-23九年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）新定義：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)M，N．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；4．（2022·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）（1）新定義：若拋物線和拋物線的對(duì)稱軸為同一條直線，我們稱和互為“同枝”拋物線．如圖，拋物線：與坐標(biāo)軸交于，，三點(diǎn)，請(qǐng)任意寫出一個(gè)與拋物線互為“同枝”拋物線的解析式；（2）拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，若與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)求出的解析式；（3）若拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為和，且，設(shè)：，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．5．（22-23九年級(jí)下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)定義新函數(shù)，其中，求函數(shù)值的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為且最小值為，若存在，求出所有的實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·貴州遵義·中考真題）新定義：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．7．（20-21九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)．（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）定義新函數(shù)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，記其圖為G，點(diǎn)和點(diǎn)是圖象G上的點(diǎn)．若時(shí)，總有，請(qǐng)求出k的取值范圍．8．（2023·廣東深圳·二模）新定義：若函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，我們稱為該函數(shù)的“永恒點(diǎn)”．如：一次函數(shù)，無論值如何變化，該函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，則點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的“永恒點(diǎn)”．【初步理解】一次函數(shù)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；【理解應(yīng)用】二次函數(shù)落在軸負(fù)半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________，落在軸正半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；【知識(shí)遷移】點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由．9．（17-18九年級(jí)·浙江金華·階段練習(xí)）新定義函數(shù)：在y關(guān)于x的函數(shù)中，若0≤x≤1時(shí)，函數(shù)y有最大值和最小值，分別記ymax和ymin，且滿足，則我們稱函數(shù)y為“三角形函數(shù)”．（1）若函數(shù)y=x+a為“三角形函數(shù)”，求a的取值范圍；（2）判斷函數(shù)y=x2﹣x+1是否為“三角形函數(shù)”，并說明理由；（3）已知函數(shù)y=x2﹣2mx+1，若對(duì)于0≤x≤1上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c所對(duì)應(yīng)的三個(gè)函數(shù)值都能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則求滿足條件的m的取值范圍．10．（19-20九年級(jí)上·北京·開學(xué)考試）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下新定義：若存在實(shí)數(shù)M>0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足－M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是存界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的界值．例如，下圖中的函數(shù)是存界函數(shù)，其界值是1．（1）分別判斷函數(shù)（x>－1）和（－4<x≤2）是不是存界函數(shù)?若是存界函數(shù)求其界值；（2）若函數(shù)（a≤x≤b，b>a）的界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍：（3）將函數(shù)（－1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的界值是t，若使≤t≤1，則直接寫出m的取值范圍是_____________________________．11．（2024·遼寧丹東·三模）對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)其自變量的值為時(shí)，其函數(shù)值等于，則稱為這個(gè)函數(shù)的不變值．在函數(shù)存在不變值時(shí)，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差稱為這個(gè)函數(shù)的不變長(zhǎng)度．特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不變值時(shí)，其不變長(zhǎng)度為零．例如，如圖中的函數(shù)有0，1兩個(gè)不變值，其不變長(zhǎng)度等于1．(1)分別判斷函數(shù)，，有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長(zhǎng)度；(2)函數(shù)．①若其不變長(zhǎng)度為零，求的值；②若，求其不變長(zhǎng)度的取值范圍．12．（2019·吉林·一模）已知函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1（1）若k＝2，則新函數(shù)y＝；（2）若新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，則k＝，b＝；（3）設(shè)新函數(shù)y頂點(diǎn)為（m，n）．①當(dāng)k為何值時(shí)，n有大值，并求出最大值；②求n與m的函數(shù)解析式；（4）請(qǐng)你探究：函數(shù)y1與新函數(shù)y分別經(jīng)過定點(diǎn)B，A，函數(shù)的頂點(diǎn)為C，新函數(shù)y上存在一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出k的值．一、解答題1．（2024·遼寧營(yíng)口·二模）新定義：我們把拋物線與拋物線（其中）稱為“伴隨拋物線”．例如：拋物線的“伴隨拋物線”為．已知拋物線的“伴隨拋物線”為．(1)求出的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)M，N．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求a的值．2．（23-24九年級(jí)上·浙江·期中）新定義：我們把拋物線與拋物線其中稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式（用含的式子表示），頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)對(duì)于和，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(3)若，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．3．（2023·黑龍江大慶·三模）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．4．（2024·江蘇鹽城·三模）新定義：若函數(shù)圖像一定過點(diǎn)，我們稱為該函數(shù)的“永固點(diǎn)”．如：一次函數(shù)，無論k值如何變化，該函數(shù)圖像一定過點(diǎn)，則點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的“永固點(diǎn)”．【初步理解】一次函數(shù)的“永固點(diǎn)”的坐標(biāo)是______；【理解應(yīng)用】二次函數(shù)落在x軸負(fù)半軸的“永固點(diǎn)”A的坐標(biāo)是______，落在x軸正半軸的“永固點(diǎn)”B的坐標(biāo)是______；【知識(shí)遷移】點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為，點(diǎn)P到直線的距離為，請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由．5．（21-22九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）新定義：如果函數(shù)G的圖象與直線l相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），那么我們把|x1?x2|叫做函數(shù)G在直線l上的“截距”．(1)求雙曲線G：與直線l：上的“截距”；(2)若拋物線與直線相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），若“截距”為，且x1＜x2＜0，求b的值；(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且，拋物線在x軸上的“截距”為d1，拋物線在x軸上的“截距”為d2．如果對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，求m，n的值．6．（19-20九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）新定義：對(duì)于關(guān)于的函數(shù)我們稱函數(shù)為函數(shù)的分函數(shù)(其中為常數(shù))．例如：對(duì)于關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)為（1）若點(diǎn)在關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)上，求的值．（2）寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)的圖象上隨的增大而減小的的取值范圍；（3）若是二次函數(shù)關(guān)于的分函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為；（4）若點(diǎn)連結(jié)當(dāng)關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．7．（18-19九年級(jí)上·湖南·階段練習(xí)）表示以為自變量的函數(shù)，則表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值．例如，一次函數(shù)記作，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值．現(xiàn)給出新定義：對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱點(diǎn)是函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”．（1）求函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”；（2）當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)存在“奇妙點(diǎn)”？（3）若二次函數(shù)有且只有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，其圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），是軸上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最短時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長(zhǎng)．8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）定義：若函數(shù)，的自變量的取值范圍相同，我們把函數(shù)叫做，的加權(quán)平均函數(shù)，其中t為加權(quán)系數(shù)，且0＜t＜1．(1)已知，．①當(dāng)時(shí)；，的加權(quán)平均函數(shù)為___________；②若是，的加權(quán)平均函數(shù)，則_______，________；(2)已知，，其加權(quán)平均函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），試在x軸上求一點(diǎn)，使得取得最大值，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知與對(duì)于的任意一個(gè)的取值，加權(quán)平均函數(shù)的圖象都在軸上方，試求的取值范圍．9．（2024·江蘇宿遷·二模）對(duì)于函數(shù)與函數(shù)作如下定義：若函數(shù)與函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“融創(chuàng)函數(shù)”，唯一的公共點(diǎn)記為．(1)下列函數(shù)與一次函數(shù)互為“融創(chuàng)函數(shù)”的是______；①；②；③．(2)已知函數(shù)與函數(shù)互為“融創(chuàng)函數(shù)”．①求公共點(diǎn)的坐標(biāo)；②若將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到函數(shù)．則函數(shù)與函數(shù)所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______（若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點(diǎn)為整點(diǎn)）(3)若函數(shù)與函數(shù)互為“融創(chuàng)函數(shù)”，定義函數(shù)，若函數(shù)上自變量（橫坐標(biāo)）為的點(diǎn)的函數(shù)值記為，函數(shù)上自變量（橫坐標(biāo)）為的點(diǎn)的函數(shù)值記為，且當(dāng)，恒有，求的取值范圍．10．（2024·遼寧葫蘆島·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“縱橫值”給出如下定義：點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差“”稱為點(diǎn)A的“縱橫值”．函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”．例如：點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)A的“縱橫值”為，函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”可以表示為，當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為7．根據(jù)定義，解答下列問題：(1)①點(diǎn)的“縱橫值”為_________；②函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為_________；(2)若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在直線上，且最優(yōu)縱橫值為5，求c的值；(3)若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為7，求h的值．22.11二次函數(shù)與新定義壓軸問題（重難點(diǎn)分層培優(yōu)提升）一、解答題1．（21-22九年級(jí)上·福建福州·期中）新定義：如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣1，0)，那么稱此二次函數(shù)圖象為“定點(diǎn)拋物線”．（1）試判斷二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣5的圖象是否為“定點(diǎn)拋物線”；（2）若“定點(diǎn)拋物線”y＝x2﹣mx+2﹣k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．【答案】（1）二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣5的圖象是“定點(diǎn)拋物線”；（2）1【分析】（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5求解即可判斷；（2）把代入可得與的關(guān)系，根據(jù)拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)可得頂點(diǎn)落在軸上，從而可得拋物線對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5得：，二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣5的圖象經(jīng)過點(diǎn)，是“定點(diǎn)拋物線”．（2）把代入得：，整理得：，，∵拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，∴為拋物線頂點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸為直線，解得：，∴k的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．2．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：的“圖象數(shù)”為．(1)圖像數(shù)為的二次函數(shù)表達(dá)式為__________．(2)求證：“圖象數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)．【答案】(1)(2)見詳解【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：（1）根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為，然后根據(jù)判別式的意義得到，從而求證.【詳解】（1）解：圖像數(shù)為的二次函數(shù)表達(dá)式為：.（2）解：“圖象數(shù)”為的二次函數(shù)表達(dá)式為：.當(dāng)時(shí)，∴該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即“圖象數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)．3．（22-23九年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）新定義：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)M，N．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)或【分析】（1）確定的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，交換它們的位置即可得到，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式計(jì)算即可．（2）設(shè)點(diǎn)，則，，得到，根據(jù)建立方程求解即可．【詳解】（1）因?yàn)榈亩雾?xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是a，所以；因?yàn)?，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)榈呐袆e式，所以本方程無解；因?yàn)?，所以，解得，所以或．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線新定義問題，正確理解定義，熟練掌握平行線坐標(biāo)軸直線上兩點(diǎn)間距離計(jì)算方式是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）（1）新定義：若拋物線和拋物線的對(duì)稱軸為同一條直線，我們稱和互為“同枝”拋物線．如圖，拋物線：與坐標(biāo)軸交于，，三點(diǎn)，請(qǐng)任意寫出一個(gè)與拋物線互為“同枝”拋物線的解析式；（2）拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，若與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)求出的解析式；（3）若拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為和，且，設(shè)：，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，如：；（2）或或或；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）求出拋物線M的對(duì)稱軸，即可得；（2）由拋物線的解析式可知其對(duì)稱軸為，二次項(xiàng)系數(shù)為1，由拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，可知的解析式中的，根據(jù)與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，分類討論，①的圖像的頂點(diǎn)位于軸上，②的圖像的經(jīng)過點(diǎn)（0，0），進(jìn)行計(jì)算即可得；（3）分情況討論，當(dāng)時(shí)，將向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，使圖像與軸交于點(diǎn)，，即可得c，將向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，使圖像與軸交于點(diǎn)，，即可得c；當(dāng)時(shí)，沿軸翻折，使圖像與軸交于點(diǎn)，，即可得c，沿軸翻折，使圖像與軸交于點(diǎn)，，即可得c．【詳解】解：（1）拋物線M：的對(duì)稱軸為：，則與拋物線M互為“同枝”拋物線的解析式為：；（2）由拋物線的解析式可知其對(duì)稱軸為，二次項(xiàng)系數(shù)為1，若與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，①的圖像的頂點(diǎn)位于軸上，由拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，可知的頂點(diǎn)為且的二項(xiàng)系數(shù)，則的解析式為或，展開得到一般形式為：或；②的圖像的經(jīng)過點(diǎn)（0，0），由拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，可知還經(jīng)過點(diǎn)（4，0），且的二項(xiàng)系數(shù)，則的解析式為：，展開得到一般形式為：或，綜上，的解析式為或或或；（3）當(dāng)時(shí)，如圖所示：將向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，使圖像與軸交于點(diǎn)，，此時(shí)，如圖所示：將向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，使圖像與軸交于點(diǎn)，，此時(shí)，即當(dāng)a>0時(shí)，?5<c<0；當(dāng)時(shí)，如圖所示：沿軸翻折，使圖像與軸交于點(diǎn)，，此時(shí)，如圖所示：沿軸翻折，使圖像與軸交于點(diǎn)，，此時(shí)，即當(dāng)a<0時(shí)，0<c<5，綜上，當(dāng)a>0時(shí)，?5<c<0；當(dāng)a<0時(shí)，0<c<5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．5．（22-23九年級(jí)下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)定義新函數(shù)，其中，求函數(shù)值的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為且最小值為，若存在，求出所有的實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)函數(shù)值的取值范圍為：(2)，理由見解析【分析】（1）利用，且，求出a，b的值，根據(jù)，分別表示出分段函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可；（2）利用假設(shè)法說明即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)滿足，，，，，，，，，時(shí)，，，，圖象如圖，所示：①時(shí)，，，時(shí)，隨x的增大而減小，時(shí)，有最大值為1，時(shí)，有最小值為0，時(shí)，；②時(shí)，，圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小，時(shí)，有最大值為0，時(shí)，有最小值為；令，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，時(shí)，有最大值為1，時(shí)，有最小值為；當(dāng)時(shí)，時(shí)，有最大值為，時(shí)，有最小值為；綜上，函數(shù)值的取值范圍為：；（2）解：存在，理由如下：由（1）知，假設(shè)存在滿足條件的，則，，即，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小，，即，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查求二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，分類討論，難度較大，需要讀懂題目中的相關(guān)信息．6．（2022·貴州遵義·中考真題）新定義：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．【答案】(1)，頂點(diǎn)為(2)①或；②或．【分析】（1）根據(jù)定義將一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)互換即可求得解析式，化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①設(shè)，則，，根據(jù)題意建立方程解方程即可求解；②根據(jù)題意，分三種情形討論，根據(jù)點(diǎn)距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近確定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，根據(jù)題意可得，的解析式頂點(diǎn)為（2）解：①設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，方程無解或②的解析式頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為解得（，舍去）當(dāng)時(shí)，且即時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為解得（，舍去）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，拋物線開向上，對(duì)稱軸右側(cè)隨的增大而增大，函數(shù)的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為即即解得（舍去）綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（20-21九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)．（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）定義新函數(shù)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，記其圖為G，點(diǎn)和點(diǎn)是圖象G上的點(diǎn)．若時(shí)，總有，請(qǐng)求出k的取值范圍．【答案】（1）（1，）；（2）；【分析】（1）把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)．（2）根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，然后建立新函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；則有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即可求出k的取值范圍．【詳解】解：（1）∵拋物線，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；（2）根據(jù)題意可知，∵若時(shí)，總有，即，∴新函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而減小，∵的對(duì)稱軸是，∴，即點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)或?qū)ΨQ軸上；∵點(diǎn)是交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，有，∴的解是；設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；∵，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，解得：；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的函數(shù)的性質(zhì)，以及掌握單調(diào)函數(shù)與x軸交點(diǎn)前后的函數(shù)值肯定是一正一負(fù)．8．（2023·廣東深圳·二模）新定義：若函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，我們稱為該函數(shù)的“永恒點(diǎn)”．如：一次函數(shù)，無論值如何變化，該函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，則點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的“永恒點(diǎn)”．【初步理解】一次函數(shù)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；【理解應(yīng)用】二次函數(shù)落在軸負(fù)半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________，落在軸正半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；【知識(shí)遷移】點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】【初步理解】；【理解應(yīng)用】，；【知識(shí)遷移】是，２【分析】【初步理解】解析式變形為，求解即可;【理解應(yīng)用】由二次函數(shù)變形為，求解即可;【知識(shí)遷移】由題意可得：，，作輔助線如解析圖，則，，，，，，構(gòu)建相似三角形，找出比例關(guān)系即可；【詳解】解：【初步理解】由一次函數(shù)變形為，，當(dāng)時(shí)，無論值如何變化，故一次函數(shù)必過一定點(diǎn)．故答案為：．【理解應(yīng)用】由二次函數(shù)變形為，，當(dāng)時(shí)，無論值如何變化，當(dāng)時(shí)，無論值如何變化，故二次函數(shù)必過定點(diǎn)，．所以二次函數(shù)落在軸負(fù)半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是，落在軸正半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是；故答案為：，．【知識(shí)遷移】由題意得∴，由上一小題得：，作軸交直線于點(diǎn)，作軸交直線于點(diǎn)，則，，，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足為、，則，，，，，∵，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒過定點(diǎn)的直線，拋物線以及相似三角形．本題主要理解新定義，構(gòu)建相似三角形解題，有一定的難度．9．（17-18九年級(jí)·浙江金華·階段練習(xí)）新定義函數(shù)：在y關(guān)于x的函數(shù)中，若0≤x≤1時(shí)，函數(shù)y有最大值和最小值，分別記ymax和ymin，且滿足，則我們稱函數(shù)y為“三角形函數(shù)”．（1）若函數(shù)y=x+a為“三角形函數(shù)”，求a的取值范圍；（2）判斷函數(shù)y=x2﹣x+1是否為“三角形函數(shù)”，并說明理由；（3）已知函數(shù)y=x2﹣2mx+1，若對(duì)于0≤x≤1上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c所對(duì)應(yīng)的三個(gè)函數(shù)值都能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則求滿足條件的m的取值范圍．【答案】(1)a＞1(2)是(3)0<m或<m<【詳解】試題分析：（1）由函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值和最小值，由三角形函數(shù)的定義可得到關(guān)于a的不等式組，可求得a的取值范圍；（2）由拋物線解析式可求得其對(duì)稱軸，由x的范圍可求得其最大值和最小值，滿足三角形函數(shù)的定義；（3）由三角形的三邊關(guān)系可判斷函數(shù)y=x2-2mx+1為三角形函數(shù)，再利用三角形函數(shù)的定義分別得到關(guān)于m的不等式組，即可求得m所滿足的不等式，可求得m的取值范圍．試題解析：（1）∵當(dāng)x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，∵y=x+a為三角形函數(shù)，∴，∴a＞1；（2）是三角形函數(shù)，理由如下：∵對(duì)稱軸為直線，0≤x≤1，∴當(dāng)，∴，∴它是三角形函數(shù)；（3）∵對(duì)于0≤x≤1上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c所對(duì)應(yīng)的三個(gè)函數(shù)值都能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，∴，若a為最小，c為最大，則有，同理當(dāng)b為最小，c為最大時(shí)也可得，∴y=x2﹣2mx+1是三角形函數(shù)，∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，∴對(duì)稱軸為直線x=m，①當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)x=0，ymin=1，當(dāng)x=1，ymax=﹣2m+2，則2＞﹣2m+2，解得m＞0，∴無解；②當(dāng)，，當(dāng)x=1，ymax=﹣2m+2，，解得0＜m＜1，∴；③當(dāng)，，當(dāng)x=0，ymax=1，則，解得，∴；④當(dāng)m＞1，當(dāng)x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，則，解得，∴無解；綜上述可知m的取值范圍為或．點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新概念、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式組、三角形的三邊關(guān)系待知識(shí)．在（1）（2）中利用三角形函數(shù)的定義得到關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵，在（3）中判斷函數(shù)為三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．10．（19-20九年級(jí)上·北京·開學(xué)考試）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下新定義：若存在實(shí)數(shù)M>0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足－M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是存界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的界值．例如，下圖中的函數(shù)是存界函數(shù)，其界值是1．（1）分別判斷函數(shù)（x>－1）和（－4<x≤2）是不是存界函數(shù)?若是存界函數(shù)求其界值；（2）若函數(shù)（a≤x≤b，b>a）的界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍：（3）將函數(shù)（－1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的界值是t，若使≤t≤1，則直接寫出m的取值范圍是_____________________________．【答案】（1）函數(shù)（x>－1）不是存界函數(shù)，y=x+1（－4≤x≤2）是存界函數(shù)，界值為：3；（2）－1<b≤3；（3）0≤m≤或≤m≤1.【分析】（1）（1）根據(jù)存界函數(shù)和界值的定義即可得出；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性、界值確定a=-1；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍；（3）需要分類討論：m＜1和m≥1兩種情況．由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點(diǎn)（-1，1）、（0，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到這兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)分別是（-1，1-m）、（0，-m）；最后由函數(shù)界值的定義列出不等式≤1，-m≤1-m≤1或-1≤-m≤-，易求m取值范圍：0≤m≤或≤m≤1．【詳解】解：（1）根據(jù)存界函數(shù)的定義知，函數(shù)（x>－1）不是存界函數(shù)．y=x+1（－4≤x≤2）是存界函數(shù)，界值為：2+1=3；（2）∵函數(shù)y=－x+l的圖象是y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=a時(shí)，y=－a+1=2，則a=－1當(dāng)x=b時(shí)，y=－b+1，則，∴－1<b≤3；（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，x=0時(shí)，函數(shù)值小于-1，此時(shí)函數(shù)的邊界t＞1，與題意不符，故m≤1．當(dāng)x=-1時(shí)，y=1即過點(diǎn)（-1，1）當(dāng)x=0時(shí)，y最小=0，即過點(diǎn)（0，0），都向下平移m個(gè)單位，則（-1，1-m）、（0，-m）≤1-m≤1或-1≤-m≤-，∴0≤m≤或≤m≤1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)界值的定義，同時(shí)要熟悉平移變換的性質(zhì)，掌握“存界函數(shù)”和“存界函數(shù)的界值”的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2024·遼寧丹東·三模）對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)其自變量的值為時(shí)，其函數(shù)值等于，則稱為這個(gè)函數(shù)的不變值．在函數(shù)存在不變值時(shí)，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差稱為這個(gè)函數(shù)的不變長(zhǎng)度．特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不變值時(shí)，其不變長(zhǎng)度為零．例如，如圖中的函數(shù)有0，1兩個(gè)不變值，其不變長(zhǎng)度等于1．(1)分別判斷函數(shù)，，有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長(zhǎng)度；(2)函數(shù)．①若其不變長(zhǎng)度為零，求的值；②若，求其不變長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)沒有不變值；函數(shù)不變值為，；函數(shù)的不變值為1或0，；(2)①；②【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）①首先由函數(shù)，求得，然后由其不變長(zhǎng)度為零，求得答案；②由①，利用，可求得其不變長(zhǎng)度的取值范圍．【詳解】（1）解：函數(shù)，令，則，無解；函數(shù)沒有不變值；函數(shù)，令，則，解得：，函數(shù)的不變值為，，函數(shù)，令，則，解得：，，函數(shù)的不變值為1或0，；（2）①函數(shù)，令，則，整理得：，，且，則，解得：；②由①知：，或，解得：，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)，解一元一次方程、一元二次方程，分式方程，不等式的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2019·吉林·一模）已知函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1（1）若k＝2，則新函數(shù)y＝；（2）若新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，則k＝，b＝；（3）設(shè)新函數(shù)y頂點(diǎn)為（m，n）．①當(dāng)k為何值時(shí)，n有大值，并求出最大值；②求n與m的函數(shù)解析式；（4）請(qǐng)你探究：函數(shù)y1與新函數(shù)y分別經(jīng)過定點(diǎn)B，A，函數(shù)的頂點(diǎn)為C，新函數(shù)y上存在一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出k的值．【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；②n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．【分析】（1）把代入再把代入新函數(shù)即可得到答案，（2）利用新函數(shù)的定義，結(jié)論關(guān)于的方程組即可得到答案，（3）①利用新函數(shù)的定義，寫出函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案，②利用頂點(diǎn)坐標(biāo)，消去得到答案，（4）先分別求解的坐標(biāo)，設(shè)，分三種情況討論，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案．【詳解】解：（1）當(dāng)k＝2時(shí)，y1＝2kx+k＝4x+2，∵函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1，∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，故答案為：x2﹣6x+1；（2）函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1，∴新函數(shù)y的解析式為y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，∵新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，∴b＝，3﹣k＝﹣2，∴k＝5，b＝﹣12，故答案為：5，﹣12；（3）①由（2）知，新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，∵新函數(shù)y頂點(diǎn)為（m，n），∴∴，當(dāng)時(shí)，的最大值②由①知，將k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：∴n＝﹣m2﹣m+4；（4）∵函數(shù)y1＝2kx+k＝k（2x+1），當(dāng)2x+1＝0即x＝時(shí)，y＝0，∴A（，0），∵新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝x2﹣2（k+1）x﹣（k+1）+4＝x2﹣（k+1）（2x+1）+4，當(dāng)2x+1＝0，即x＝時(shí)，y＝∴B，∵函數(shù)∴C（1，2），設(shè)D（c，d），∵以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴①當(dāng)BC與AD為對(duì)角線時(shí)，∴∴D（1，），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，∴②當(dāng)AB與CD是對(duì)角線時(shí)，∴D（），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，4+4（k+1）+3﹣k＝，∴k＝，③當(dāng)AC與BD為對(duì)角線時(shí)，∴∴D（1，），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，∴k＝，即滿足條件的k的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的新定義題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．一、解答題1．（2024·遼寧營(yíng)口·二模）新定義：我們把拋物線與拋物線（其中）稱為“伴隨拋物線”．例如：拋物線的“伴隨拋物線”為．已知拋物線的“伴隨拋物線”為．(1)求出的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)M，N．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求a的值．【答案】(1)；(2)或(3)的值為或【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；（1）根據(jù)“伴隨拋物線”定義求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)點(diǎn)，則，，根據(jù)列方程求解即可；（3）分別求出頂點(diǎn)、、時(shí)函數(shù)值，再根據(jù)對(duì)稱軸與的位置分類討論，確定最大值和最小值，最后列方程求解即可．【詳解】（1）根據(jù)“伴隨拋物線”定義可知，拋物線的函數(shù)表達(dá)式；，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，，，，，或，?dāng)時(shí)，判別式，方程無解；當(dāng)時(shí)，解得，，或；（3），對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：I．當(dāng)，即時(shí)，若，即，則；，，解得或（舍）或（舍）；若，即時(shí)，；，，解得或（舍）或（舍）；II．當(dāng)，即時(shí)，；．，解得（舍）或（舍）；III．當(dāng)，即時(shí)，，，解得（舍去）或（舍去），綜上所述，的值為或．2．（23-24九年級(jí)上·浙江·期中）新定義：我們把拋物線與拋物線其中稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式（用含的式子表示），頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)對(duì)于和，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(3)若，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，(3)的值為或【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”定義可知，拋物線的函數(shù)表達(dá)式；即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）由，得，即，當(dāng)時(shí)，，可得或；當(dāng)時(shí)，，得；（3）求出當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)，即時(shí)，若，，若，，Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，Ⅲ．當(dāng)時(shí)，，分別解方程可得答案．【詳解】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”定義可知，拋物線的函數(shù)表達(dá)式；，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故答案為：；；（2），，，當(dāng)時(shí)，，或；當(dāng)時(shí)，，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；（3），當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)，即時(shí)，若，即，則；，，解得或（舍或（舍；若，即時(shí)，；，，解得或（舍或（舍；Ⅱ．當(dāng)，即時(shí)，；．，解得（舍或（舍；Ⅲ．當(dāng)，即時(shí)，，，，解得（舍去）或（舍去），綜上所述，的值為或．3．（2023·黑龍江大慶·三模）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．【答案】(1)(2)(3)①或，②或【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式，之后得到函數(shù)的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，進(jìn)而得到，，，于是根據(jù)即可得到結(jié)論；（3）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長(zhǎng)，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．【詳解】（1）解：∵C1與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為E（0，-1），∴，解得．∴C1的解析式為；（2）解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為，∵，∴的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為易得點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．

∴，，，∵，∴，即．解得，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）解：①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，解得或，∴或；②∵的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，∴，解得（舍）或（舍）；Ⅲ．當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．綜上，a的值為或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及等腰三角形以及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2024·江蘇鹽城·三模）新定義：若函數(shù)圖像一定過點(diǎn)，我們稱為該函數(shù)的“永固點(diǎn)”．如：一次函數(shù)，無論k值如何變化，該函數(shù)圖像一定過點(diǎn)，則點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的“永固點(diǎn)”．【初步理解】一次函數(shù)的“永固點(diǎn)”的坐標(biāo)是______；【理解應(yīng)用】二次函數(shù)落在x軸負(fù)半軸的“永固點(diǎn)”A的坐標(biāo)是______，落在x軸正半軸的“永固點(diǎn)”B的坐標(biāo)是______；【知識(shí)遷移】點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為，點(diǎn)P到直線的距離為，請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】【初步理解】；【理解應(yīng)用】，；【知識(shí)遷移】為定值．【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和新定義，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解和運(yùn)用．初步理解：把化為，根據(jù)“永恒點(diǎn)”的定義得出結(jié)論；理解應(yīng)用：把化為，根據(jù)“永恒點(diǎn)”的定義得出結(jié)論；知識(shí)遷移：先求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別過點(diǎn)P、A作直線的垂線，垂足為Q、C，作軸交直線于點(diǎn)E，作軸交直線于點(diǎn)F，求出E，F(xiàn)坐標(biāo)，然后求出，再由，求出為定值．【詳解】解：初步理解：∵，∴無論m值如何變化，該函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，∴一次函數(shù)的永固點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：；理解應(yīng)用：，當(dāng)或時(shí)，，∴無論m值如何變化，恒過定點(diǎn)和，∴，，故答案為：，；知識(shí)遷移：為定值．∵，∴頂點(diǎn)，，作軸交直線于點(diǎn)E，作軸交直線于點(diǎn)F，則，，，分別過點(diǎn)P、A作直線的垂線，垂足為Q、C，則

∴，，∴，∴，即．5．（21-22九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）新定義：如果函數(shù)G的圖象與直線l相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），那么我們把|x1?x2|叫做函數(shù)G在直線l上的“截距”．(1)求雙曲線G：與直線l：上的“截距”；(2)若拋物線與直線相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），若“截距”為，且x1＜x2＜0，求b的值；(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且，拋物線在x軸上的“截距”為d1，拋物線在x軸上的“截距”為d2．如果對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，求m，n的值．【答案】(1)截距為1(2)(3)或【分析】（1）兩個(gè)解析式組成方程組，可求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）由直線與軸成角，可得，由一元二次方程可得，可求的值；（3）分別求出，，解不等式可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得解得：或，，雙曲線與直線上的“截距”，（2）解：直線與軸成角，△解得：，，，（3）解：令，則，，，由，，，，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，，，①當(dāng)，且△時(shí)，①式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，且，為正整數(shù)，或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，題干中定義了“截距”新概念，解題的關(guān)鍵是理解“截距”這概念．6．（19-20九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）新定義：對(duì)于關(guān)于的函數(shù)我們稱函數(shù)為函數(shù)的分函數(shù)(其中為常數(shù))．例如：對(duì)于關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)為（1）若點(diǎn)在關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)上，求的值．（2）寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)的圖象上隨的增大而減小的的取值范圍；（3）若是二次函數(shù)關(guān)于的分函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為；（4）若點(diǎn)連結(jié)當(dāng)關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）（2）或（3）①或②（4）m＜?1或≤m＜或m≥4【分析】（1）根據(jù)題意寫出一次函數(shù)y＝?x＋1的2分函數(shù)為y'，把x=4代入即可求解；（2）根據(jù)題意寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)y'，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像即可判斷；（3）①根據(jù)題意寫出二次函數(shù)關(guān)于的分函數(shù)y'，根據(jù)分段即可求解；②首先求出當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，可知，求出時(shí)的值在-3和-4（包含-3和-4）之間對(duì)應(yīng)的x的取值范圍即可；（4）先寫出二次函數(shù)關(guān)于的m分函數(shù)y'，當(dāng)x2?3x?3＝1時(shí)，x＝?1或x＝4，當(dāng)?x2＋3x＋3＝1時(shí)，x＝或x＝，當(dāng)y＝x2?3x?3與線段AB沒有交點(diǎn)，m＜?1；當(dāng)y＝x2?3x?3與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，y＝?x2＋3x＋3與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，＜m＜；當(dāng)y＝x2?3x?3與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，m≥4．【詳解】（1）一次函數(shù)y＝?x＋1的2分函數(shù)為把代入得；（2）反比例函數(shù)的4分函數(shù)為，∴y隨x的增大而減小時(shí)，或；故答案為：或；（3）二次函數(shù)y＝x2?2x?3關(guān)于x的1分函數(shù)為①當(dāng)?1≤x≤2時(shí)，?1≤x≤1，y'=，y的取值范圍為?4≤y'≤0，1＜x≤2，y'=，y的取值范圍為3≤y'＜4，∴當(dāng)?1≤x≤2時(shí)，y'的取值范圍為?4≤y'≤0，3≤y'＜4；②把代入可得把代入可得當(dāng)時(shí)，的取值范圍為由①知，當(dāng)時(shí)，把代入，解得：，（舍去）把代入，解得，（舍去）k的取值范圍為：（4）二次函數(shù)y＝x2?3x?3的m分函數(shù)為當(dāng)x2?3x?3＝1時(shí)，x＝?1或x＝4，當(dāng)?x2＋3x＋3＝1時(shí)，x=或x＝，當(dāng)y＝x2?3x?3與線段AB沒有交點(diǎn)，m＜?1；當(dāng)y＝x2?3x?3與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，y＝?x2＋3x＋3與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，∴≤m＜；當(dāng)y＝x2?3x?3與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，m≥4；綜上所述：m＜?1或≤m＜或m≥4．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；理解題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解題是關(guān)鍵．7．（18-19九年級(jí)上·湖南·階段練習(xí)）表示以為自變量的函數(shù)，則表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值．例如，一次函數(shù)記作，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值．現(xiàn)給出新定義：對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱點(diǎn)是函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”．（1）求函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”；（2）當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)存在“奇妙點(diǎn)”？（3）若二次函數(shù)有且只有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，其圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），是軸上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最短時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長(zhǎng)．【答案】（1）是函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”；（2）為任意實(shí)數(shù)時(shí)或時(shí)；（3）的周長(zhǎng)為．【分析】（1）由題意得：4x+6＝2x+12，求出x＝3，則答案可求出；（2）分三種不同情況討論：①當(dāng)2a﹣2≠0，即a≠1，b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”；②當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝時(shí)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有無數(shù)個(gè)“奇妙點(diǎn)”；③當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠時(shí)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2沒有“奇妙點(diǎn)”．（3）由題意得方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一個(gè)解，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+8的圖象與x軸的交點(diǎn)為B（﹣4，0），C（2，0）．如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'A交y軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求，求出直線B'A的解析式為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出，求出AB和AB'的長(zhǎng)即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意得：4x+6＝2x+12，解得：x＝3．∴（3，18）是函數(shù)y＝4x+6的奇妙點(diǎn)；（2）由2ax+3b﹣2＝2x+12得（2a﹣2）x＝14﹣3b，①當(dāng)2a﹣2≠0，即a≠1，b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b有唯一解x＝，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”；②當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝時(shí)，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b的解為全體實(shí)數(shù)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有無數(shù)個(gè)“奇妙點(diǎn)”；③當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠時(shí)，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b無解，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2沒有“奇妙點(diǎn)”．（3）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+8（a≠0）有且只有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，∴方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一個(gè)解，該方程可化為ax2﹣4x﹣4＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×（﹣4a）＝0，解得，a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x+8的“奇妙點(diǎn)”為A（﹣2，8），∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+8，∴二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+8的圖象與x軸的交點(diǎn)為B（﹣4，0），C（2，0）．如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'A交y軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求，求得B'（4，0），設(shè)直線直線B'A的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線B'A的解析式為，∴P（0，）．∴，，∴△PAB的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用所有性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）定義：若函數(shù)，的自變量的取值范圍相同，我們把函數(shù)叫做，的加權(quán)平均函數(shù)，其中t為加權(quán)系數(shù)，且0＜t＜1．(1)已知，．①當(dāng)時(shí)；，的加權(quán)平均函數(shù)為___________；②若是，的加權(quán)平均函數(shù)，則_______，________；(2)已知，，其加權(quán)平均函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），試在x軸上求一點(diǎn)，使得取得最大值，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知與對(duì)于的任意一個(gè)的取值，加權(quán)平均函數(shù)的圖象都在軸上方，試求的取值范圍．【答案】(1)①；②，(2)(3)【分析】本題考查了函數(shù)的新定義的問題，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出加權(quán)平均函數(shù)的表達(dá)式．（1）直接代入求解即可；（2）先求得加權(quán)平均函數(shù)的表達(dá)式根據(jù)題目條件求得點(diǎn)、點(diǎn)即可求得結(jié)果；（3）先求得加權(quán)平均函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)