答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁云南省文山州富寧上海新紀元總校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知向量，，且與互相垂直，則（

）A． B． C． D．2．某商場舉辦有獎促銷活動，在抽獎盒中放有7張抽獎券，其中3張抽獎券有獎品，若小李從中一次性隨機抽出2張抽獎券，則小李能獲得獎品的概率為（

）A． B． C． D．3．設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，，則（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.54．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．45．向量，若，則（

）A． B．C． D．6．在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若為鈍角，則D．若在上的投影向量為，則7．在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．8．如圖，在正方體中，分別是的中點.下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．平面C．與所成的角為D．平面二、多選題9．已知向量，，，則（

）A． B．C． D．10．某社團開展“建黨100周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨立，則（

）A．兩人均獲得滿分的概率B．兩人至少一人獲得滿分的概率C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率D．兩人至多一人獲得滿分的概率11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與是平行直線B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題12．已知，，，則平面的一個法向量是．13．已知空間向量，，則向量在向量上投影向量的坐標(biāo)是.14．甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，就稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為.四、解答題15．已知甲、乙、丙參加某項測試時，通過的概率分別為0.6，0.8，0.9，而且這3人之間的測試互不影響．(1)求甲、乙、丙都通過測試的概率；(2)求甲未通過且乙、丙通過測試的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通過測試的概率．16．如圖所示，在長方體中，，，、分別、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.17．如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點.

(1)證明：平面.(2)求與平面所成角的正弦值.18．科技進步能夠更好地推動高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小華兩位同學(xué)報名參加某公司擬開展的DeepSeek培訓(xùn)，培訓(xùn)前需要面試，面試時共有3道題目，答對2道題則通過面試（前2道題都答對或都答錯，第3道題均不需要回答）．已知小明答對每道題目的概率均為，小華答對每道題目的概率依次為，且小明、小華兩人對每道題能否答對相互獨立．記“小明只回答2道題就結(jié)束面試”為事件，記“小華3道題都回答且通過面試”為事件．(1)求事件發(fā)生的概率；(2)求事件和事件同時發(fā)生的概率；(3)求小明、小華兩人恰有一人通過面試的概率．19．在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，O為CD的中點，二面角A-CD-P為直二面角.(1)求證：；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.《云南省文山州富寧上海新紀元總校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案CCDCCDDCBDACD題號11答案BCD1．C【分析】由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，，又與互相垂直，則，解得.故選：C2．C【分析】對獎券編號，用列舉汪寫出樣本點，計數(shù)后由概率公式計算可得.【詳解】設(shè)沒有獎品的4張抽獎券分別為，有獎品的3張抽獎券分別為.隨機抽出2張，所有可能的結(jié)果為，共21種，而小李獲得獎品的結(jié)果為，，共15種，故小李能獲得獎品的概率為.故選：C.3．D【分析】根據(jù)和事件的概率公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，.故選：D.4．C【分析】根據(jù)，展開后根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式計算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，.故選：C5．C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因為，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.6．D【分析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項；由題意得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷B選項；分析可得且，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷C選項；利用投影向量的定義以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷D選項.【詳解】因為向量，，對于A選項，若，則，解得，A錯；對于B選項，若，則，解得，B錯；對于C選項，若為鈍角，則且，解得且，C錯；對于D選項，若在上的投影向量為，即，則，解得，D對.故選：D.7．D【分析】利用空間向量線性運算計算即可.【詳解】.故選：D.8．C【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷ABD；利用線線角的向量求法求解判斷C.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，對于A，，，，A正確；對于B，，則，，而平面，因此平面，B正確；對于C，，，因此與所成的角為，C錯誤；對于D，由平面，得平面的一個法向量，又，平面，因此平面，D正確.故選：C9．BD【分析】根據(jù)向量平行的判定方法可判定A是否正確；根據(jù)向量垂直的判定方法可判定B是否正確；根據(jù)向量的坐標(biāo)運算方法可判定C、D是否正確.【詳解】由題意，，A錯誤；，，所以B正確，C錯誤；，D正確.故選：BD.10．ACD【分析】利用獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式逐一求解即得.【詳解】設(shè)“甲獲得滿分”，“乙獲得滿分”，則,對于A，“兩人均獲得滿分”可表示為,因兩人能否獲得滿分相互獨立，故,

即A正確；對于B，因“兩人至少一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都沒獲得滿分”,則“兩人至少一人獲得滿分”的概率為：，故B錯誤；對于C，“兩人恰好只有甲獲得滿分”可表示為，其概率為：，故C正確；對于D，因“兩人至多一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都獲得滿分”，則“兩人至多一人獲得滿分”為：,故D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.【詳解】對于A，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，．∵分別為棱的中點，∴、，則，，∴和不共線，故A錯誤；對于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對于C，由于平面的一個法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．12．(答案不唯一，是的非零倍數(shù)即可)【分析】寫出的坐標(biāo)，設(shè)出法向量，列出方程組，求出一個法向量.【詳解】依題意，得，．設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，所以是平面的一個法向量．故答案為：13．【分析】由投影向量的定義結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算和向量模的坐標(biāo)運算求解.【詳解】空間向量，，則向量在向量上投影向量為.故答案為：14．【分析】先求出基本事件總數(shù),再按照和分類討論,得出事件數(shù),代入古典概型公式計算即可.【詳解】甲乙兩人猜數(shù)字時互不影響，故各有種可能，故基本事件是種，其中“心有靈犀”的情況包括：①，即，有種可能；②，若甲說的是和時，“心有靈犀”的情況各有種，若甲說的數(shù)字是2，3，4，5，6時，各有種情形，故共有種情形，所以他們“心有靈犀”的概率.故答案為：.15．(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）利用獨立事件的乘方公式及對立事件概率求法求各對應(yīng)事件的概率.【詳解】（1）甲、乙、丙都通過測試的概率為.（2）甲未通過且乙、丙通過測試的概率為.（3）甲、乙、丙至少有一人通過測試的概率為.16．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）求出平面的一個法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，易知平面的一個法向量為，，則，平面，故平面；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助正四棱柱的性質(zhì)可建立空間直角坐標(biāo)系，求出空間向量與平面的法向量后，借助空間向量計算即可得；（2）求出空間向量與平面的法向量后，借助空間向量夾角公式計算即可得.【詳解】（1）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，且，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.

因為，分別為的中點，所以，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則有，，即，因為，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)(3)【分析】（1）若事件發(fā)生，則小明前兩題都答對或都答錯，利用獨立事件和互斥事件的概率公式可求得的值；（2）若事件發(fā)生，則小華前兩題答對一題，答錯一題，第三題答對，求出的值，分析可知，事件、相互獨立，由獨立事件的概率公式可求得的值；（3）記小明沒有通過面試為事件，小華通過面試的事件記為，求出這兩個事件的概率，記小明、小華兩人恰有一人通過面試的事件記為，則，利用獨立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.【詳解】（1）若事件發(fā)生，則小明前兩題都答對或都答錯，所以．（2）若事件發(fā)生，則小華前兩題答對一題，答錯一題，第三題答對，根據(jù)題意則小華3道題都回答且通過面試的概率為，由題意可知，事件相互獨立，則．（3）記小明沒有通過面試為事件，即分前兩道回答對一道且最后一道錯誤或前兩道均回答錯誤兩種情況，則小明沒有通過面試的概率為，可得小明通過面試的概率為．記小華通過面試的事件為，由（2）得，由題意可知，事件相互獨立，記小明、小華兩人恰有一人通過面試的事件為，則．19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證明出，平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，計算出，得到垂直關(guān)系；（2）求出平面的法向量，利用線面角求解公式得到答案；（3）求出兩平面法向量，求出面面角的余弦值.【詳解】（1）因為，O為CD的中點，所以．又因為平面平面ABCD，平面平