2021-2022學(xué)年浙江省百校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題）.1．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，則M∩N＝（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}2．已知復(fù)數(shù)z＝4﹣2a﹣（8+a）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．﹣16 B．﹣4 C．2 D．43．已知函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則“f（a）?f（b）＜0”是“函數(shù)y＝f（x）在區(qū)問[a，b]內(nèi)有笭點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x2+y2﹣2的最小值為（）A． B．﹣1 C． D．5．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C．x±2y＝0 D．2y±x＝07．若某隨機(jī)事件的概率分布列滿足，則D（X）＝（）A．3 B．10 C．9 D．18．如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．三棱錐A﹣A1PD的體積大小與點(diǎn)P的位置有關(guān) B．A1P與平面ACD1相交 C．平面PDB1⊥平面A1BC1 D．AP⊥D1C9．已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓O上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．[﹣1，6] C． D．[1，10]10．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+a|+|ex+b|（a，b∈R），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，記f（x）的最大值為t（a，b），若2t（a，b）≥2m2+4m+e﹣1恒成立，則m的最大值為（）A．e B．﹣2 C．0 D．二、填空題：本大題共7小題，共36分．多空題每小題6分，單空題每小題6分．11．已知函數(shù)y＝sin2x，則該函數(shù)的最小正周期為，對稱軸方程為．12．已知函數(shù)，則f（0）＝，f（f（﹣5））＝．13．若二項(xiàng)式（m為實(shí)數(shù)）展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則m＝，常數(shù)項(xiàng)為．14．已知直線l1：x﹣y+3＝0，l2：2x+y＝0相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，過點(diǎn)A作圓C的切線，則切線方程為．15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是．16．在新高考改革中，學(xué)生可從物理、歷史、化學(xué)、生物、政治、地理、技術(shù)7科中任選3科參加高考，現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生先從物理、歷史2科中任選1科，再從化學(xué)、生物、政治、地理、技術(shù)5科中任選2科，則甲、乙兩人恰有1門學(xué)科相同的選法有種．17．已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B，滿足，若λ∈[0，1]，的最小值為，則＝．三、解答題：本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．18．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．（1）求角C；（2）設(shè)AC＝6，BC＝4若P為AB上一點(diǎn)，且滿足AP＝CP，求AP的長．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA＝PB，AB∥DC，．（1）若AB⊥PD，求的值；（2）若△PAB為邊長為2的正三角形，BC＝2，PD與平面PBC所成角的正弦值為，CD的長．20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，nbn+1﹣4anbn﹣3n＝0，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．21．已知橢圓的離心率是，一個(gè)頂點(diǎn)是B（0，1），點(diǎn)P，Q是橢圓C上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn)，且BP⊥BQ．（1）求橢圓C的方程；（2）試問直線PQ是否過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．22．已知函數(shù)，其中a≠0，．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)當(dāng)a＝1時(shí)，若對任意x∈（0，1]，不等式f（x）+g（x）＜m恒成立，求整數(shù)m的最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，則M∩N＝（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}【分析】利用集合交集的定義進(jìn)行求解即可．解：因?yàn)镸＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，所以M∩N＝{1，2，3，4}．故選：C．2．已知復(fù)數(shù)z＝4﹣2a﹣（8+a）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．﹣16 B．﹣4 C．2 D．4【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求解．解：因?yàn)閦＝4﹣2a﹣（8+a）i為純虛數(shù)，所以4﹣2a＝0且8+a≠0，解得a＝2．故選：C．3．已知函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則“f（a）?f（b）＜0”是“函數(shù)y＝f（x）在區(qū)問[a，b]內(nèi)有笭點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】充分性顯然成立，由函數(shù)y＝x2，x∈[﹣1，1]說明必要性不成立．解：由零點(diǎn)存在性定理，可知充分性成立；反之．若函數(shù)y＝x2，x∈[﹣1，1]，則f（﹣1）?f（1）＞0．且有零點(diǎn)x＝0．故必要性不成立．故選：A．4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x2+y2﹣2的最小值為（）A． B．﹣1 C． D．【分析】由約束條件作出可行域，再由z＝x2+y2﹣2的幾何意義，即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方椷2求解．解：由約束條件作出平面區(qū)域如圖，z＝x2+y2﹣2的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方椷2，由圖可知，最近的距離為O到直線AB的距離，等于，∴z＝x2+y2﹣2的最小值為，故選：C．5．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除CD，求出f（2）的值，排除A，即可得答案．解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)镽，則f（﹣x）＝≠f（x），則函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)，排除CD，又由，排除A，故選：B．6．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C．x±2y＝0 D．2y±x＝0【分析】利用雙曲線的離心率推出，a、b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．解：雙曲線的離心率為．所以，，．即，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝0．故選：A．7．若某隨機(jī)事件的概率分布列滿足，則D（X）＝（）A．3 B．10 C．9 D．1【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用分布列的性質(zhì)，可推得a＝1，再結(jié)合期望與方差公式，即可求解．解：，故，解得a＝1，∵，，∴D（X）＝E（X2）﹣E（X）2＝10﹣9＝1．故選：D．8．如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．三棱錐A﹣A1PD的體積大小與點(diǎn)P的位置有關(guān) B．A1P與平面ACD1相交 C．平面PDB1⊥平面A1BC1 D．AP⊥D1C【分析】對于選項(xiàng)，BC1∥平面AA1D，P到平面AA1D的距離不變，三棱錐P﹣AA1D的高不變，△AA1D的面積不變，從而得到三棱錐A﹣A1PD的體積與點(diǎn)P的位置無關(guān)；對于選項(xiàng)B：由BC1∥AD1，得BC1∥平面ACD1，同理可證BA1∥平面ACD1，從而得到平面BA1C1∥平面ACD1，進(jìn)而得到A1P∥平面ACD1；對于選項(xiàng)C：推導(dǎo)出A1C1⊥平面BB1D，得到A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，從而得到B1D⊥平而A1BC1，進(jìn)而得到平面PDB1⊥平面A1BC1；對于選項(xiàng)D：當(dāng)B與P重合時(shí)，AP與D1C的夾角為．解：對于選項(xiàng)．在正方體中，BC1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D的距離不變，即三棱錐P﹣AA1D的高不變，又△AA1D的面積不變，因此三棱錐P﹣AA1D的體積不變，即三棱錐A﹣A1PD的休積與點(diǎn)P的位置無關(guān)，故A不成立．對于選項(xiàng)B：由于BC1∥AD1，AD1?平面ACD1，BC1?平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可證BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，所以平面BA1C1∥平面ACD1，因?yàn)锳1P?平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B不成立．對于選項(xiàng)C：因?yàn)锳1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以A1C1⊥平面BB1D，則A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平而A1BC1，又B1D?平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立．對于選項(xiàng)D：當(dāng)B與P重合時(shí)，AP與D1C的夾角為，故D不成立．故選：C．9．已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓O上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．[﹣1，6] C． D．[1，10]【分析】設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接OA，OC，OD，設(shè)θ為和的夾角，由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算可得＝||2﹣||cosθ，由cosθ的有界性，結(jié)合||∈[0，4]即可求解的取值范圍．解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接OA，OC，OD，則OD⊥BC．設(shè)θ為和的夾角，則＝（﹣）?＝?﹣?＝||?||cos∠BCO﹣||?||cosθ＝||2﹣||cosθ，且||2﹣||≤||2﹣||cosθ≤||2+||．由||∈[0，4]，當(dāng)||＝時(shí)，有最小值；當(dāng)||＝4時(shí)，有最大值10．所以的取值范圍是．故選：C．10．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+a|+|ex+b|（a，b∈R），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，記f（x）的最大值為t（a，b），若2t（a，b）≥2m2+4m+e﹣1恒成立，則m的最大值為（）A．e B．﹣2 C．0 D．【分析】首先利用絕對值不等式的性質(zhì)求出t的范圍，接著利用恒成立問題求解不等式即可．解：∵f（x）＝|x+a|+|ex+b|≥x+a+ex+b，∴t≥max{x+a﹣ex﹣b}＝max{a﹣1﹣b，1+a﹣e﹣b}，∴t≥max{x+a+ex+b}＝max{a+1+b，1+a+e+b}，∴，∴．∴，∵恒成立，∴，∴﹣2≤m≤0．故選：C．二、填空題：本大題共7小題，共36分．多空題每小題6分，單空題每小題6分．11．已知函數(shù)y＝sin2x，則該函數(shù)的最小正周期為π，對稱軸方程為．【分析】直接利用周期公式，對稱軸方程進(jìn)行求解即可．解：周期＝π，由，k∈Z，得．即對稱軸為．故答案為：π，．12．已知函數(shù)，則f（0）＝1，f（f（﹣5））＝﹣1．【分析】推導(dǎo)出f（0）＝20＝1，，從而得到．解：∵函數(shù)，∴f（0）＝20＝1，∴，∴．故答案為：1；﹣1．13．若二項(xiàng)式（m為實(shí)數(shù)）展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則m＝1，常數(shù)項(xiàng)為161．【分析】由題意利用乘方的幾何意義，排列組合的知識，求得結(jié)果．解：取x＝1，可得（3+m）5＝1024，∴m＝1，將m＝1代入二項(xiàng)式，可得二項(xiàng)式即．由于表示5個(gè)因式（+x+1）的乘積，故要得到常數(shù)項(xiàng)，需5個(gè)因式都取1；或者有2個(gè)因式取，2個(gè)因式取x，剩下的一個(gè)因式取1；或者有一個(gè)因式取，一個(gè)因式取x，剩下的3個(gè)因式取1．所以，常數(shù)項(xiàng)為+?22??+?2??＝1+120+40＝161，故答案為：1；161．14．已知直線l1：x﹣y+3＝0，l2：2x+y＝0相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），圓C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，過點(diǎn)A作圓C的切線，則切線方程為x＝﹣1或3x+4y﹣5＝0．【分析】第一個(gè)空直接聯(lián)立方程組求解即可，對于第二個(gè)空可以考慮幾何法，但要注意直線方程，斜率不存在的情況．解：聯(lián)立l1：x﹣y+3＝0，l2：2x+y＝0，可得x＝﹣1，y＝2，∴A（﹣1，2）．若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y﹣2＝k（x+1），則kx﹣y+2+k＝0，∴，∴，∴切線方程為3x+4y﹣5＝0；若斜率不存在，則切線方程為x＝﹣1．故答案為：（﹣1，2）；3x+4y﹣5＝0或x＝﹣1．15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步利用分割法的應(yīng)用求出幾何體的體積．解：該幾何體的直觀圖如圖所示，設(shè)該幾何體的體積為V．則V＝VE﹣ABCD+VE﹣BCF＝．故答案為：．16．在新高考改革中，學(xué)生可從物理、歷史、化學(xué)、生物、政治、地理、技術(shù)7科中任選3科參加高考，現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生先從物理、歷史2科中任選1科，再從化學(xué)、生物、政治、地理、技術(shù)5科中任選2科，則甲、乙兩人恰有1門學(xué)科相同的選法有180種．【分析】根據(jù)題意，按物理、歷史2科中有或沒有相同學(xué)科分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①物理、歷史2科中有相同學(xué)科．則有C＝60種選法；②物理、歷史2科中沒有相同學(xué)科．則有C＝120種選法．所以甲、乙兩人恰有1門學(xué)科相同的選法有60+120＝180種；故答案為：180．17．已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B，滿足，若λ∈[0，1]，的最小值為，則＝2．【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，設(shè)OD＝λOB，．則（1﹣λ）BO＝BD，λOB﹣OA＝AD，，即．可得AD+ED．作對稱性，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即可求解長度關(guān)系，從而求解；解：由題設(shè)，如圖1，若OD＝λOB，．則（1﹣λ）BO＝BD，λOB﹣OA＝AD，，即．∴，即AD+ED．若A′是A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，則A′D＝AD，即AD+ED＝A′D+ED，如圖2，當(dāng)且僅當(dāng)A′，D，E三點(diǎn)共線時(shí)最?。逴A＝AB＝3，即A′B＝3，BE＝1∴此時(shí)在△A′BE中，，而cos∠EBA′＝2cos2∠ABO﹣1，且∠ABO為銳角，∴，∴．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．18．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．（1）求角C；（2）設(shè)AC＝6，BC＝4若P為AB上一點(diǎn)，且滿足AP＝CP，求AP的長．【分析】（1）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的化簡已知等式可得，結(jié)合C為三角形內(nèi)角，可求C的值．（2）在△ABC中，由余弦定理可求AB的值，進(jìn)而可求cosA的值，利用余弦定理即可求解AP的值．解：（1）由正弦定理及條件，得，即．整理得，又C為三角形內(nèi)角，所以C＝60°．（2）在△ABC中，由余弦定理得，∴，∴．設(shè)AP＝x，∴，∴，∴．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA＝PB，AB∥DC，．（1）若AB⊥PD，求的值；（2）若△PAB為邊長為2的正三角形，BC＝2，PD與平面PBC所成角的正弦值為，CD的長．【分析】（1）取AB的中點(diǎn)H，連接PH，DH，推導(dǎo)出PH⊥AB，AB⊥PD，從而得到AB⊥平面PDH，DH⊥AB，推導(dǎo)出四邊形HBCD為矩形，由此能求出的值．（2）法一：過P作PE∥BC，且PE＝BC，連接EC，過D作DF⊥EC，交EC于點(diǎn)F．連接PF，推導(dǎo)出BC⊥平面PAB，四邊形PBCE為平行四邊形，EC∥PB，從而得到平面EDC∥平面PBA，BC⊥平面ECD，BC⊥DF．再由EC⊥DF，DF⊥平面PBC，得到∠DPF即PD與平面PBC所成角，由此求出CD的長．法二：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，利用向量法求出CD的長度．解：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接PH，DH．因?yàn)镻A＝PB，所以PH⊥AB．又因?yàn)锳B⊥PD，PH∩PD＝P，所以AB⊥平面PDH，所以DH⊥AB，又因?yàn)椋珹B∥DC，所以四邊形HBCD為矩形，所以，即．（2）法一：過P作PE∥BC，且PE＝BC，連接EC，過D作DF⊥EC，交EC于點(diǎn)F．連接PF．因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，且交線為AB，，所以BC⊥平面PAB．因?yàn)镻E∥BC，且PE＝BC，所以四邊形PBCE為平行四邊形，所以EC∥PB．又因?yàn)镃D∥AB，EC∩CD＝C，PB∩AB＝B，所以平面EDC∥平面PBA．所以BC⊥平面ECD，所以BC⊥DF．又因?yàn)镋C⊥DF，BC∩EC＝P，所以DF⊥平面PBC．所以∠DPF即PD與平面PBC所成角．設(shè)CD＝x，由平面EDC//平面PBA，得，所以．在直角三角形PHD中，，，所以，又PD與平面PBC所成角的正弦值為．所以，解得x＝1，即CD＝1．注：若直接猜答案，反過來驗(yàn)證，只給答案分．法二：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz由已知條件可知B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），由△PAB為邊長為2的正三角形，所以，所以，BC＝（2，0，0）設(shè)平面PBC的法向量為，所以所以，可取．設(shè)CD＝x，所以D（2，x，0），，又PD與平面PBC所成角的正弦值為．所以．解得x＝1，即CD＝1．20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，nbn+1﹣4anbn﹣3n＝0，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．【分析】（1）由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可得出an．代入nbn+1﹣4anbn﹣3n＝0，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可得出bn．（2）由，可得，通過分組利用等比數(shù)列的求和公式及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】（1）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，∴．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1符合，故an＝n，∴nbn+1﹣4anbn﹣3n＝nbn+1﹣4nbn﹣3n＝0，∴bn+1＝4bn+3，∴bn+1+1＝4（bn+1），∵b1＝2∴{bn+1}是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，∴，∴．（2）證明：∵，∴，T2n＝c1+c2+c3+?+c2n＝c1+c3+?+c2n﹣1+c2+c4+?+c2n＝＝．21．已知橢圓的離心率是，一個(gè)頂點(diǎn)是B（0，1），點(diǎn)P，Q是橢圓C上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn)，且BP⊥BQ．（1）求橢圓C的方程；（2）試問直線PQ是否過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【分析】（1）由題意得，求解a，b，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)直線BP的斜率為k，直線BP的方程為y＝kx+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出P的坐標(biāo)然后求解Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的斜率，得到PQ的方程，利用直線系，推出結(jié)果即可．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓方程為．（2）由BP⊥BQ知直線BP，BQ的斜率存在且不為0．設(shè)直線BP的斜率為k