姓名座位號

(在此卷上答題無效)

數(shù)學(xué)

(試卷滿分：150分考試時間：120分鐘)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目

的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作

答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知復(fù)數(shù)z=1+i,則

A.1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i

2.已知p:x>2,q:2x2-x-3>0,則p是q的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知等比數(shù)列{an}滿足a?=1,a?=8,若將an除以5所得余數(shù)記為b則b2025=

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合,MnN={x|x=f(k),k∈Z},則

A.B.

C.D.f(k)=k

5.已知q:3x?∈R,使x2+2x?+m<0為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

A.m<0B.m<1C.m>1D.m>2

6.已知函數(shù)f(x)=In(x-1)-1n(3-x),則f(x)的圖象

A.關(guān)于x=1對稱B.關(guān)于x=2對稱

C.關(guān)于(1,0)對稱D.關(guān)于(2,0)對稱

【C-026】數(shù)學(xué)試卷第1頁(共4頁)

7.已知函數(shù),則

A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱D.f(x)的圖象關(guān)于對稱

8.已知a>b>0且4a+3b=1,則的最小值為

A.10B.9C.8D.7

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知f(x)=asinwx+bcoswx的部分圖象如圖，則

A.w=2

B.a=1

D.

10.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間(-∞,1)上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上一

定

A.單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增C.有最小值D.有最大值

11.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為S且an+2一an+1=2a若a?=a?=1,則下列結(jié)論正確的是

A.a?+a10=512B.a10-2a?=-1C.S??=aD.a12=SH

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量a,b滿足a·(a+4b)=0,且|a|=2|b|=1,則向量a,b的夾角為

,則sin2α=

14.已知曲線f(x)=a×-1-1(a>0且a≠1),g(x)=x2—2x.當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時，函數(shù)f(x),g(x)的圖象

公共點(diǎn)個數(shù)最多有個，此時實(shí)數(shù)a的取值范圍是

四、解答題：共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知向量a=(cosx,2sinx),b=(2cosx,cosx),函數(shù)f(x)=a·b.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)取得最大值時自變量x的集合，并求出最大值.

IC—026】數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

16.(15分)

已知函數(shù)f(x)=a(a>0,且a≠1)的圖象過點(diǎn)(-2,e2).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)過原點(diǎn)O作曲線y=f(x)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.

①求切線OA,OB的方程；②求△OAB的面積.

17.(15分)

已知數(shù)列{a,}的首項(xiàng)a?=2,

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)令,求滿足b?+b?+…+的n的最小值.

18.(17分)

如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)0,∠AOB=θ.

(1)求證：AD2+BC2-AB2-CD2=2AC·BDcosθ;

(2)已知AB=2,BC=CD=2√3,AD=2√7,θ=60°.

①求四邊形ABCD的面積；

②若△ABD與△BCD面積相等，求證：AC⊥CD.

【C-026】數(shù)學(xué)試卷第3頁(共4頁)

19.(17分)

已知函數(shù)f(x)=ax+Inx(a∈R),當(dāng)x=1時y=f(x)取得最值.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函有三個極值點(diǎn)x?x?,x?(x?<x?<x?),

①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

②證明：F(x?)+0.05m<F(2x?).(參考數(shù)據(jù)：e≈2.718,In2≈0.693)

【C-026】數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)

符合題目要求。

題號12345678

答案BAACBDDB

1.【解析】,故選B.

2.【解析】q:2x2—x-3>0等價于x<-1或x>1.5,故A.

3.【解析】由已知an=2”-1,b?=1,b?=2,b?=4,b?=3,…,{bn}為周期為4的數(shù)列，

故b?025=b?=1,所以選A.

4.【解析】,所以,故選C.

5.【解析】q為真的充要條件為4-4m>0,即m<1,故選B.

6.【解析】因?yàn)閒(x+2)=In(x+1)-In(1-x)為奇函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱，所以選D.

7.【解析】,,f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；又f(x)+f(-x)=2|sinx|,故

f(x)的圖象不關(guān)于(0,1)對稱；因

,故f(x)的圖象關(guān)于對稱，故選D.

8.【解析】由a>b>0,知2a-b>0,a+2b>0,令m=2a-b>0,n=a+2b>0,故m+2n=4a+

3b=1,故當(dāng)且僅當(dāng)取等

號，此時取等號.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

題號91011

答案ADBCABD

9.【解析】有圖像可求得

10.【解析】∵函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間(-∞,1)上有最小值，∴函數(shù)圖象的對稱軸應(yīng)當(dāng)位于區(qū)間(

一∞,1)內(nèi)，∴),任取

,由a<1,1≤x?<x?,有x?-x?<0,x?x?>1>0,x?x?-a>0,

則g(x?)-g(x?)<0,即g(x?)<g(x?),所以在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)的

最小值為g(1)=1-a,無最大值.

11.【解析】由an+2=an+1+2a,得an+2+an+1=2(an+1+an),所以a?+a1?=2?=512;

an+2-2an+1=an+1+2an-2an+1=-(a+1-2an),所以an+1-2an=(-1)”,故a10-2a?=-1;

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共4頁)

由an+2=an+1+2a,得S+2-Sn+1=Sn+1-S?+2(S?-Sn-1)(n≥2),

即n≥2時，S+2-2Sn+1=S-2S?,又S?-2S?=0,S?-2S?=a?=1.

所以{Sn+1-2Sn}的奇數(shù)項(xiàng)均為0,偶數(shù)項(xiàng)均為1.故S??-2S=0,即a??=S.故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【答案】120°【解析】由已知得,向量a,b夾角為120°.

13.【答案】【解析】由已知),所以,即,1+

14.【答案】【解析】原題等價于F(x)=f(x+1)+1=a?(a>0)與G(x)=g(x+1)

+1=x2的圖象公共點(diǎn)最多有幾個，且此時a的取值范圍問題.

(1)當(dāng)a=1時F(x)=1與G(x)=x2有2個公共點(diǎn)

(2)當(dāng)a>1時令F(x)-G(x)=a-x2=H(x)

①注意到H(x)在[-∞,0]上單調(diào)遞增，且H(0)=1>0,

所以H(x)在[一∞,0]上只有1個零點(diǎn)，即F(x)與G(x)在(-∞,0)上只有一個公共點(diǎn)

②當(dāng)x>0時解方程

,求導(dǎo)得

當(dāng)x∈(0,e)時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e,+∞)時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減

因此h(x)的最大值為,故時有2個公共點(diǎn)，此時a的范圍是(1,e3),

(3)當(dāng)0<a<1時類似得最多3個公共點(diǎn)

綜上所述，最多3個公共點(diǎn)

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.【解析】(1)由已知f(x)=2cos2x+2sinxcos.………………2分

…………4分

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=π6分

(2)由(1)知函數(shù)f(x)取得最大值時，,………………….8分

解得………………………9分

故f(x)取得最大值時自變量x的集合為

此時，f(x)max=√2+1.…………………13分

16.【解析】(1)由已知得f(-2)=e2,………………2分

即a2=e2,所以a=e.故f(x)=e.……………4分

(2)①當(dāng)x≥0時，f(x)=e.不妨設(shè)切點(diǎn)A(x?,e)(x?≥0),f'(x)=e6分

所以f'(x?)=e?.故切線OA的方程為y-e?0=e(x-xo).……………8分

因?yàn)檫^原點(diǎn)O(0,0),故—e?=e?(-x?),解得x?=1.所以切線OA的方程為y=ex.....10分

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共4頁)

又f(x)=e為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，

故切線OB的方程為y=-ex.所以切線OA,OB的方程為y=ex,y=-ex…12分

②由①可知，A(1,e),由對稱性可知B(-1,e),

△OAB為等腰三角形，其面積為…………15分

17.【解析】(1)由已知：

,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列…………6分

(2)由(1)知：,所以

………………12分

由已知,即n2-9n-16>0.

因?yàn)閚∈N°,當(dāng)1≤n≤9時，顯然n2-9n-16<0,不滿足條件；

當(dāng)n≥10時，n2-9n-16單調(diào)遞增，所以n≥11.故n的最小值為11……15分

18.【解析】(1)由余弦定理得

在△AOB中，AB2=OA2+OB2-20A·OBcosθ①

在△COD中，CD2=0C2+OD2-20C·ODcosθ②………2分

在△AOD中，AD2=OA2+OD2+20A·ODcosθ③

在△BOC中，BC2=OB2+OC2+2OB·OCcosθ④…………4分

由③+④-①-②得：

AD2+BC2-AB2-CD2=2(OA·OD+OB·OC+OA·OB+OC·OD)cosθ

=2[OA·(OD+OB)+OC·(OB+OD)]cosθ

=2(OA·BD+OC·BD)cosθ=2AC·BDcosθ.

故AD2+BC2-AB2-CD2=2AC·BDcose…………………7分

(2)①由(1)得AD2+BC2-AB2-CD2=2AC·BDcosθ,

又AB=2,BC=CD=2√3,AD=2√7,θ=60°

可求得AC·BD=24…………9分

又四邊形ABCD的面積為

AC·BDsin60°=6√3..11分

②由若△ABD與△BCD面積相等，因?yàn)锽D為公共底邊，

故兩個三角形BD上的高相等，即OAsin60°=OCsin60°,所以O(shè)A=OC…13分

設(shè)OA=OC=m,OB=n.

在△AOB中得：4=m2+n2-2mncos60°,即4=m2+n2-mn

數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共4頁)

在△BOC中得：12=m2+n2+mn.兩式相加得：m2+n2=8,兩式相減得：2mn=8,

所以(m-n)2=m2+n2—2mn=0,故m=n