§3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

α01

用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個(gè)圓

如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會(huì)得到怎樣的曲線呢?

引入新知

古希臘人發(fā)現(xiàn)用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，可以得到不同的曲線，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí),可以得到不同的截口曲線,它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線。

阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中將同一個(gè)圓錐被不同位置的平面所截得的曲線定義為圓錐曲線，即把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。橢圓拋物線雙曲線圓17世紀(jì)，笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系后，人們就開(kāi)始借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究圓錐曲線。本章我們繼續(xù)用坐標(biāo)法來(lái)研究圓錐曲線，回顧圓的研究思路，圓錐曲線的研究思路是什么呢？探索新知02現(xiàn)實(shí)背景曲線的定義曲線的方程曲線的性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用

取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是一個(gè)圓。探索新知02

問(wèn)題1：如果把細(xì)繩的兩端點(diǎn)拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1、F2(定點(diǎn))，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)），畫出的軌跡是什么曲線？探索新知02追問(wèn)1：移動(dòng)的筆尖畫圖過(guò)程中不變的量是什么?追問(wèn)2：兩定點(diǎn)之間的距離|F1F2|和繩長(zhǎng)的大小關(guān)系是什么?

繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)之間的距離|F1F2|平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)2a(大于|F1F2|=2c)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.

橢圓的定義:F1F2M??①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；②動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和是常數(shù)；

③探索新知02動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2

；MF1F2動(dòng)點(diǎn)M沒(méi)有軌跡.F1F2取過(guò)焦點(diǎn)的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).建設(shè)設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0),M與

F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c),則

F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)由橢圓的定義得，限制條件：因?yàn)?/p>

所以限代化12yOFFMx(x,y)問(wèn)題2：如何建立橢圓的方程？探索新知02F1F2M??.O求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程0312yOFFMx問(wèn)題3：觀察右圖，你能從中找出幾何量可以反映

的值嗎？

令

，則上式可化為：OxyF1F2Pabc

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程031OFyx2F焦點(diǎn)在軸焦點(diǎn)在軸求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程03問(wèn)題4：如圖示,如果焦點(diǎn)F1,F2在y軸上,且F1,F2的坐標(biāo)分別為(0,－c),(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么?

圖形方程焦點(diǎn)F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之間的關(guān)系|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2|(2a>2c>0)定義12yOFFMx1OFyx2FM求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程03概念辨析下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?04

例題講解例1

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。定義法待定系數(shù)法(3)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先定“位”，a,b,c滿足的關(guān)系有：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程，代入計(jì)算出待定字母的值.

用定義尋找a,b,c的方程；(1)定義法：(2)待定系數(shù)法：待定系數(shù)法更為常用，是解此類問(wèn)題的通法.即求a,b

的大小.即確定焦點(diǎn)的位置；其次是定“量”，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法有：04

例題講解鞏固練習(xí)課本P10914課本P115(法1)(法2)未知焦點(diǎn)位置:巧設(shè)方程鞏固練習(xí)

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,

y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,

y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,0).由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得

例2如圖，在圓

上任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？xyPMO?D?尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)中x,y與x0,y0之間的關(guān)系,然后消去x0,y0,得到點(diǎn)M的軌跡方程.這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程常用的方法.

解：相關(guān)點(diǎn)代入法04

例題講解問(wèn)題5

由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過(guò)“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過(guò)“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?xyPMO?D?xyOD??MP將圓“壓縮”可得到橢圓將圓“拉伸”可得到橢圓04

例題講解例3xyBMOA?解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得反思04

例題講解04

例題講解鞏固練習(xí)課本P1094.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知,得直線AM的斜率為直線BM的斜率為xyBMOA???鞏固練習(xí)課本P109yOF1F2xAB(1)由題意故△AF1B的周長(zhǎng)為：(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)不會(huì)有變化.仍然成立.解：??∴△AF1B的周長(zhǎng)為：1.一個(gè)定義——橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a：當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡是橢圓;當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡是一條線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡不存在.課堂小結(jié)052.兩種方法——求橢圓方程的方法