2025年高中物理競(jìng)賽拔高訓(xùn)練卷二一、力學(xué)綜合題（40分）題目如圖1所示，質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)，可繞固定軸A在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。桿的中點(diǎn)C處固定一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧另一端連接質(zhì)量為m的滑塊，滑塊可在光滑水平軌道上自由滑動(dòng)（軌道與A點(diǎn)等高）。初始時(shí)桿處于水平靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧無(wú)形變。某時(shí)刻給桿一微小初角速度ω?，使其繞A軸向下轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重力加速度為g，忽略空氣阻力。（1）求桿轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中角速度ω與θ（桿與水平方向夾角）的關(guān)系；（2）若M=2m，L=1m，k=100N/m，m=0.5kg，ω?=2rad/s，求桿轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)滑塊的速度大?。唬?）分析系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在機(jī)械能損失，并證明桿在θ=60°時(shí)的角加速度α滿足方程：α=[3gsinθ-(3kL2θ)/(4m)]/L解答要點(diǎn)（1）模型構(gòu)建：系統(tǒng)包含剛體（桿）和質(zhì)點(diǎn)（滑塊），需用角動(dòng)量定理與機(jī)械能守恒聯(lián)合求解。以桿和滑塊為系統(tǒng)，重力和彈簧彈力為保守力，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：[\frac{1}{2}I_{A}\omega^2+\frac{1}{2}mv^2+mg\frac{L}{2}\sin\theta=\frac{1}{2}I_{A}\omega_0^2]其中桿繞A軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(I_A=\frac{1}{3}ML^2)，滑塊速度v與桿角速度關(guān)系為(v=\omega\cdot\frac{L}{2}\cos\theta)（速度分解）。（2）數(shù)值計(jì)算：代入數(shù)據(jù)得(I_A=\frac{1}{3}\times1\times1^2=\frac{1}{3},\text{kg·m}^2)，豎直位置時(shí)θ=90°，彈簧伸長(zhǎng)量(x=\frac{L}{2})，聯(lián)立方程解得v=1.2m/s。（3）角加速度推導(dǎo)：對(duì)桿應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理(\tau=I_A\alpha)，力矩包括重力矩(M_{\text{重}}=Mg\cdot\frac{L}{2}\cos\theta)和彈簧力矩(M_{\text{彈}}=-kx\cdot\frac{L}{2})（負(fù)號(hào)表示阻力矩），其中x≈(L/2)θ（小角近似），代入得證。二、電磁學(xué)綜合題（45分）題目如圖2所示，半徑為R的圓柱形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化規(guī)律為B(t)=kt（k為常數(shù)）。磁場(chǎng)區(qū)域外有一固定的“∞”形導(dǎo)線框，由兩個(gè)半徑為2R的半圓和兩段直線組成，線框總電阻為r。P、Q為線框上兩點(diǎn)，連線PQ恰為磁場(chǎng)直徑，已知真空磁導(dǎo)率為μ?。（1）求t時(shí)刻線框中的感應(yīng)電流大小及方向；（2）計(jì)算P、Q兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_PQ；（3）若在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)固定一長(zhǎng)為R的金屬桿MN（M在圓心O處，N在磁場(chǎng)邊界），求桿中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，并判斷M、N兩端電勢(shì)高低。解答要點(diǎn)（1）渦旋電場(chǎng)與感生電動(dòng)勢(shì)：磁場(chǎng)變化產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，線框內(nèi)磁通量(\Phi=B(t)\cdot\piR^2=kt\piR^2)，由法拉第電磁感應(yīng)定律：[\varepsilon=\left|\frac{d\Phi}{dt}\right|=k\piR^2]線框總長(zhǎng)度(l=2\pi(2R)+4R=4R(\pi+1))，電流方向由楞次定律判斷為逆時(shí)針。（2）電勢(shì)差計(jì)算：P、Q兩點(diǎn)將線框分為兩對(duì)稱部分，每部分電阻為r/2，感應(yīng)電流(I=\varepsilon/r)，則(U_{PQ}=-I\cdot\frac{r}{2}=-\frac{k\piR^2}{2})（Q點(diǎn)電勢(shì)高于P點(diǎn)）。（3）動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：金屬桿MN處于渦旋電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度(E=\frac{r}{2}\cdot\frac{dB}{dt})（r為到O點(diǎn)距離），電動(dòng)勢(shì)(\varepsilon=\int_0^RE,dr=\int_0^R\frac{r}{2}k,dr=\frac{kR^2}{4})，N端電勢(shì)高于M端。三、熱學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理題（35分）題目1mol單原子理想氣體經(jīng)歷如圖3所示的循環(huán)過(guò)程，其中AB為等溫過(guò)程（T=300K），BC為等壓過(guò)程，CA為絕熱過(guò)程。已知A點(diǎn)壓強(qiáng)p?=2atm，體積V?=10L，B點(diǎn)體積V?=20L，普適氣體常量R=8.31J/(mol·K)。（1）求B點(diǎn)壓強(qiáng)p?及C點(diǎn)溫度Tc；（2）計(jì)算循環(huán)過(guò)程中氣體對(duì)外做的凈功W；（3）若將BC過(guò)程改為等容過(guò)程，證明新循環(huán)的效率η'<η（原循環(huán)效率）。解答要點(diǎn)（1）狀態(tài)參量計(jì)算：AB等溫過(guò)程(p_AV_A=p_BV_B)，得(p_B=1,\text{atm})；BC等壓過(guò)程(\frac{V_B}{T_B}=\frac{V_C}{T_C})，絕熱過(guò)程CA滿足(p_A^{1-\gamma}T_A^\gamma=p_C^{1-\gamma}T_C^\gamma)（γ=5/3），解得Tc=189K。（2）循環(huán)功計(jì)算：AB過(guò)程功(W_{AB}=RT\ln\frac{V_B}{V_A}=1729,\text{J})，BC過(guò)程功(W_{BC}=p_B(V_C-V_B)=-1013,\text{J})，CA絕熱過(guò)程無(wú)熱量交換，凈功W=716J。（3）效率比較：原循環(huán)效率(\eta=1-\frac{Q_{放}}{Q_{吸}})，新循環(huán)中BC等容過(guò)程放熱減少，但CA絕熱過(guò)程吸熱為0，故η'=1-Tc/T?=37%<η=40%。四、光學(xué)與近代物理題（40分）題目（1）波長(zhǎng)為λ的單色光垂直入射到雙縫干涉裝置，雙縫間距為d，縫到屏距離為D（D>>d）。若在其中一縫后插入厚度為t的透明介質(zhì)片（折射率n），求零級(jí)明紋移動(dòng)的距離Δx；（2）靜止的氫原子從n=4激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)，求輻射光子的波長(zhǎng)及反沖核的動(dòng)能（氫原子質(zhì)量m_H=1.67×10?2?kg）；（3）證明狹義相對(duì)論中，物體動(dòng)能E_k與動(dòng)量p的關(guān)系為(E_k=\sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4}-m_0c^2)，并計(jì)算電子（m?=9.1×10?31kg）動(dòng)量為2×10?22kg·m/s時(shí)的動(dòng)能（c=3×10?m/s）。解答要點(diǎn)（1）光程差分析：插入介質(zhì)后光程差(\Delta=(n-1)t=\frac{d\Deltax}{D})，解得(\Deltax=\frac{(n-1)tD}prvltas)。（2）能級(jí)躍遷與動(dòng)量守恒：光子能量(h\nu=E_4-E_1=12.75,\text{eV})，波長(zhǎng)λ=97.3nm；反沖核動(dòng)能(E_k=\frac{p^2}{2m_H}=\frac{(h/\lambda)^2}{2m_H}=1.3×10^{-27},\text{J})。（3）相對(duì)論動(dòng)能：由能量動(dòng)量關(guān)系(E^2=p^2c^2+m_0^2c^4)，動(dòng)能(E_k=E-m_0c^2)，代入數(shù)據(jù)得(E_k=5.4×10^{-14},\text{J})（3.375MeV）。五、實(shí)驗(yàn)題（40分）題目利用如圖4所示裝置測(cè)量金屬絲的楊氏模量Y，主要器材包括：光杠桿（平面鏡焦距f=1m）、米尺（精度1mm）、螺旋測(cè)微器（精度0.01mm）、砝碼（50g/個(gè)）。實(shí)驗(yàn)步驟如下：測(cè)量金屬絲原長(zhǎng)L=1.000m，直徑d=0.500mm；調(diào)整光杠桿，使平面鏡法線水平，望遠(yuǎn)鏡中讀得初始刻度x?=30.00cm；逐次增加砝碼（共5個(gè)），記錄望遠(yuǎn)鏡刻度x_i如下表：砝碼個(gè)數(shù)n12345x_i/cm30.5031.0231.5132.0032.53（1）用逐差法計(jì)算每增加1個(gè)砝碼對(duì)應(yīng)的平均伸長(zhǎng)量ΔL；（2）若光杠桿前后足間距b=7cm，鏡面到米尺距離D=2m，求楊氏模量Y的測(cè)量值；（3）分析實(shí)驗(yàn)中可能產(chǎn)生誤差的三個(gè)主要因素，并提出改進(jìn)措施。解答要點(diǎn)（1）逐差法處理數(shù)據(jù)：將數(shù)據(jù)分為兩組（n=1-3和n=3-5），計(jì)算(\Deltax=\frac{(x_5+x_4+x_3)-(x_2+x_1+x_0)}{3\times2}=0.505,\text{cm})，由幾何關(guān)系(\DeltaL=\frac{b\Deltax}{2D}=8.84×10^{-5},\text{m})。（2）楊氏模量計(jì)算：(Y=\frac{4FL}{\pid^2\DeltaL})，F(xiàn)=mg=0.49N，代入數(shù)據(jù)得Y=2.1×1011Pa。（3）誤差分析：主要誤差來(lái)源于光杠桿調(diào)整誤差、米尺讀數(shù)誤差、金屬絲彈性滯后效應(yīng)；改進(jìn)措施包括使用自動(dòng)讀數(shù)系統(tǒng)、增加砝碼靜置時(shí)間、采用更細(xì)金屬絲。六、近代物理與前沿應(yīng)用題（50分）題目（1）在量子力學(xué)中，氫原子基態(tài)波函數(shù)為(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pia_0^3}}e^{-r/a_0})，其中玻爾半徑(a_0=0.529×10^{-10},\text{m})。求電子出現(xiàn)在r=a?處的概率密度，并計(jì)算電子徑向分布函數(shù)P(r)的最大值位置。（2）2025年IPHO競(jìng)賽中，某題涉及拓?fù)浣^緣體表面態(tài)輸運(yùn)特性：電子在表面沿x方向運(yùn)動(dòng)，受到周期性電勢(shì)(U(x)=U_0\cos(2\pix/d))作用，已知電子波矢k，能量E=?2k2/(2m)。①寫(xiě)出電子的定態(tài)薛定諤方程；②用微擾論計(jì)算一級(jí)能量修正(\DeltaE)。解答要點(diǎn)（1）概率密度與徑向分布：概率密度(|\psi(a_0)|^2=\frac{1}{\pia_0^3}e^{-2})；徑向分布函數(shù)(P(r)=4\pir^2|\psi(r)|^2)，求導(dǎo)得最大值在r=2a?處。（2）薛定諤方程與微擾論：①方程形式：(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U_0\cos(2\pix/d)\right]\psi=E\psi)②一級(jí)微擾能量(\DeltaE=\langlek|U(x)|k\rangle=\frac{U_0}{2}[\delta(k-k')+\delta(k-k'\pm2\pi/d)])，僅當(dāng)波矢滿足布拉格條件時(shí)存在非零修正。七、綜合創(chuàng)新題（50分）題目如圖5所示，在xOy平面內(nèi)有一無(wú)限長(zhǎng)通電螺線管，半徑為R，軸向沿z軸，電流密度J=J?(1-r/R)（r為到z軸距離）。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從原點(diǎn)O以速度v?沿x軸正方向入射，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到洛倫茲力和一個(gè)與速度成正比的阻力f=-kv（k為常數(shù)）。（1）求螺線管內(nèi)磁場(chǎng)分布B(r)；（2）建立粒子運(yùn)動(dòng)的微分方程組，并證明當(dāng)k→0時(shí)粒子軌跡為擺線；（3）若粒子最終靜止于某點(diǎn)，求該點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)。解答要點(diǎn)（1）磁場(chǎng)分布計(jì)算：由安培環(huán)路定理(\ointB\cdotdl=\mu_0I)，電流(I=\int_0^rJ\cdot2\pirdr=\piJ_0r^2(1-\frac{2r}{3R}))，解得(B(r)=\frac{\mu_0J_0r}{2}(1-\frac{2r}{3R}))（方向沿z軸）。（2）運(yùn)動(dòng)微分方程：[m\frac{dv_x}{dt}=qv_yB-kv_x][m\frac{dv_y}{dt}=-qv_xB-kv_y]當(dāng)k→0時(shí)，方程簡(jiǎn)化為(\ddot{x}=\omega\dot{y})，(\ddot{y}=-\omega\dot{x})（ω=qB/m），積分得擺線方程(x=R(\theta-\sin\theta))，(y=R(1-\cos\theta))。（3）最終位置：粒子動(dòng)能因阻力做功逐漸耗散，由動(dòng)量定理(\int_0^\inftyfdt=-mv_0)，積分得x=mv?/(qB)，y=0（沿x軸做螺旋線運(yùn)動(dòng)最終靜止）。