2025年高中物理競(jìng)賽生物物理與腦科學(xué)測(cè)試（一）一、力學(xué)在生物系統(tǒng)中的應(yīng)用（一）細(xì)胞力學(xué)與布朗運(yùn)動(dòng)背景：細(xì)胞膜上的蛋白質(zhì)分子在細(xì)胞質(zhì)基質(zhì)中進(jìn)行無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡可近似為三維布朗運(yùn)動(dòng)。已知某細(xì)胞膜蛋白質(zhì)分子的擴(kuò)散系數(shù)(D=4.5\times10^{-11},\text{m}^2/\text{s})，溫度(T=310,\text{K})（人體體溫），玻爾茲曼常量(k_B=1.38\times10^{-23},\text{J/K})。問題1：（1）計(jì)算該蛋白質(zhì)分子在1秒內(nèi)的平均位移大?。ㄌ崾荆翰祭蔬\(yùn)動(dòng)中位移平方的平均值(\langlex^2\rangle=6Dt)）；（2）若該分子質(zhì)量(m=2.0\times10^{-22},\text{kg})，估算其熱運(yùn)動(dòng)的平均速率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。解答：（1）由布朗運(yùn)動(dòng)公式(\langlex^2\rangle=6Dt)，代入數(shù)據(jù)得：[\langlex^2\rangle=6\times4.5\times10^{-11}\times1=2.7\times10^{-10},\text{m}^2]平均位移大小(\langlex\rangle=\sqrt{\langlex^2\rangle}=\sqrt{2.7\times10^{-10}}\approx1.6\times10^{-5},\text{m})。（2）由能量均分定理，分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能(\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}k_BT)，解得：[v=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}=\sqrt{\frac{3\times1.38\times10^{-23}\times310}{2.0\times10^{-22}}}\approx2.5,\text{m/s}]（二）肌肉收縮的力學(xué)模型背景：骨骼肌收縮的本質(zhì)是肌球蛋白與肌動(dòng)蛋白之間的周期性相互作用。簡(jiǎn)化模型中，肌球蛋白頭部可視為一個(gè)彈性系數(shù)(k=2.0\times10^{-3},\text{N/m})的彈簧，其與肌動(dòng)蛋白結(jié)合后，彈簧被拉伸(\Deltax=8.0,\text{nm})，隨后釋放彈性勢(shì)能并帶動(dòng)肌動(dòng)蛋白滑動(dòng)。問題2：（1）計(jì)算肌球蛋白頭部釋放的彈性勢(shì)能；（2）若一次收縮過程中，單個(gè)肌球蛋白分子對(duì)肌動(dòng)蛋白做功(W=5.0\times10^{-20},\text{J})，且肌肉效率(\eta=40%)，求該過程中消耗的ATP能量（已知1分子ATP水解釋放能量約(E_0=5.0\times10^{-20},\text{J})）。解答：（1）彈性勢(shì)能(E_p=\frac{1}{2}k(\Deltax)^2)，代入數(shù)據(jù)得：[E_p=\frac{1}{2}\times2.0\times10^{-3}\times(8.0\times10^{-9})^2=6.4\times10^{-20},\text{J}]（2）由效率公式(\eta=\frac{W}{E_{\text{ATP}}})，得消耗的ATP能量：[E_{\text{ATP}}=\frac{W}{\eta}=\frac{5.0\times10^{-20}}{0.4}=1.25\times10^{-19},\text{J}]需水解ATP分子數(shù)(n=\frac{E_{\text{ATP}}}{E_0}=\frac{1.25\times10^{-19}}{5.0\times10^{-20}}=2.5)，即需3個(gè)ATP分子（實(shí)際過程中能量轉(zhuǎn)化存在損耗，取整數(shù)）。二、電磁學(xué)與神經(jīng)信號(hào)傳導(dǎo)（一）靜息電位與能斯特方程背景：神經(jīng)細(xì)胞膜內(nèi)外存在離子濃度差，形成靜息電位。已知細(xì)胞內(nèi)液中(\text{K}^+)濃度(c_{\text{內(nèi)}}=140,\text{mmol/L})，細(xì)胞外液(c_{\text{外}}=4.0,\text{mmol/L})，溫度(T=310,\text{K})，法拉第常量(F=9.65\times10^4,\text{C/mol})，電子電荷量(e=1.60\times10^{-19},\text{C})，氣體常量(R=8.31,\text{J/(mol·K)})。問題3：（1）利用能斯特方程計(jì)算(\text{K}^+)的平衡電位(E_{\text{K}})（提示：(E=\frac{RT}{zF}\ln\frac{c_{\text{外}}}{c_{\text{內(nèi)}}})，(z=1)）；（2）若靜息電位(V_0=-70,\text{mV})，計(jì)算1個(gè)(\text{K}^+)離子從細(xì)胞內(nèi)移到細(xì)胞外時(shí)電場(chǎng)力做的功。解答：（1）代入能斯特方程：[E_{\text{K}}=\frac{8.31\times310}{1\times9.65\times10^4}\ln\frac{4.0}{140}\approx\frac{2576.3}{9.65\times10^4}\times(-3.555)\approx-92,\text{mV}]（2）電場(chǎng)力做功(W=qV_0)，其中(q=e=1.60\times10^{-19},\text{C})，(V_0=-70\times10^{-3},\text{V})：[W=1.60\times10^{-19}\times(-70\times10^{-3})=-1.12\times10^{-20},\text{J}]（負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)力做負(fù)功，離子需克服電場(chǎng)力運(yùn)動(dòng)）（二）動(dòng)作電位的傳播速度背景：神經(jīng)沖動(dòng)在軸突上的傳播可視為沿圓柱導(dǎo)體的電信號(hào)傳遞。設(shè)軸突直徑(d=10,\mu\text{m})，膜電容(C=1.0,\mu\text{F/cm}^2)，軸漿電阻率(\rho=1.0,\Omega·\text{m})，膜電阻(R_m=1.0\times10^4,\Omega·\text{cm}^2)。問題4：（1）計(jì)算軸突單位長(zhǎng)度的電容(C_L)和電阻(R_L)；（2）若動(dòng)作電位傳播速度(v=\sqrt{\frac{dR_m}{4\rhoC}})，求傳播速度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。解答：（1）軸突周長(zhǎng)(L=\pid=\pi\times10\times10^{-6},\text{m}=3.14\times10^{-5},\text{m})，單位長(zhǎng)度電容：[C_L=C\timesL=1.0,\mu\text{F/cm}^2\times3.14\times10^{-3},\text{cm}=3.14\times10^{-8},\text{F/m}]單位長(zhǎng)度電阻(R_L=\frac{\rho}{\pi(d/2)^2}=\frac{1.0}{\pi(5\times10^{-6})^2}\approx1.3\times10^{10},\Omega/\text{m})。（2）代入傳播速度公式：[v=\sqrt{\frac{10\times10^{-6},\text{m}\times1.0\times10^4,\Omega·\text{cm}^2}{4\times1.0,\Omega·\text{m}\times1.0,\mu\text{F/cm}^2}}=\sqrt{\frac{10^{-4}\times10^8}{4\times10^{-6}}}\approx1.6\times10^3,\text{m/s}]三、波動(dòng)光學(xué)與視覺系統(tǒng)（一）人眼的分辨率與衍射極限背景：人眼瞳孔直徑(D=2.0,\text{mm})，可見光波長(zhǎng)(\lambda=550,\text{nm})，視網(wǎng)膜到晶狀體的距離(f=2.0,\text{cm})。問題5：（1）利用瑞利判據(jù)計(jì)算人眼的最小分辨角(\theta)（(\theta=1.22\frac{\lambda}{D})）；（2）估算視網(wǎng)膜上可分辨的兩點(diǎn)最小距離(\Deltay)。解答：（1）最小分辨角：[\theta=1.22\times\frac{550\times10^{-9},\text{m}}{2.0\times10^{-3},\text{m}}=3.355\times10^{-4},\text{rad}\approx3.4\times10^{-4},\text{rad}]（2）視網(wǎng)膜上最小距離(\Deltay=f\theta=2.0\times10^{-2},\text{m}\times3.355\times10^{-4},\text{rad}\approx6.7\times10^{-6},\text{m}=6.7,\mu\text{m})。（二）光的吸收與光合作用背景：葉綠體中的葉綠素a吸收峰值波長(zhǎng)(\lambda=680,\text{nm})，每個(gè)光子被吸收后可激發(fā)一個(gè)電子，電子傳遞鏈效率(\eta=30%)。問題6：（1）計(jì)算該波長(zhǎng)光子的能量；（2）若每秒有(N=1.0\times10^{18})個(gè)光子被吸收，求光合作用的電功率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。解答：（1）光子能量(E=hc/\lambda)，(h=6.63\times10^{-34},\text{J·s})，(c=3.0\times10^8,\text{m/s})：[E=\frac{6.63\times10^{-34}\times3.0\times10^8}{680\times10^{-9}}\approx2.92\times10^{-19},\text{J}]（2）每秒吸收能量(P_{\text{總}(cāng)}=N\timesE=1.0\times10^{18}\times2.92\times10^{-19}=0.292,\text{W})，電功率(P=\etaP_{\text{總}(cāng)}=0.30\times0.292\approx0.088,\text{W})。四、熱力學(xué)與生物能量轉(zhuǎn)換（一）細(xì)胞呼吸的效率背景：葡萄糖氧化分解的總反應(yīng)式為(\text{C}6\text{H}{12}\text{O}_6+6\text{O}_2\rightarrow6\text{CO}_2+6\text{H}2\text{O})，釋放能量(\DeltaH=-2870,\text{kJ/mol})，其中38%轉(zhuǎn)化為ATP化學(xué)能，1分子ATP儲(chǔ)存能量(E{\text{ATP}}=30.5,\text{kJ/mol})。問題7：（1）計(jì)算1分子葡萄糖氧化分解產(chǎn)生的ATP分子數(shù)；（2）若某細(xì)胞每秒消耗葡萄糖(5.0\times10^{-12},\text{mol})，求其功率輸出（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。解答：（1）1分子葡萄糖釋放的有效能量(E=2870\times0.38=1090.6,\text{kJ/mol})，ATP分子數(shù)：[n=\frac{1090.6}{30.5}\approx35.8\approx36,\text{個(gè)}]（2）每秒消耗能量(P=5.0\times10^{-12},\text{mol/s}\times1090.6\times10^3,\text{J/mol}\approx5.45\times10^{-6},\text{W}\approx5.5\times10^{-6},\text{W})。（二）體溫調(diào)節(jié)的熱傳導(dǎo)背景：人體皮膚面積(S=1.5,\text{m}^2)，皮膚厚度(d=2.0,\text{mm})，導(dǎo)熱系數(shù)(k=0.30,\text{W/(m·K)})，環(huán)境溫度(T_{\text{外}}=20^\circ\text{C})，體內(nèi)溫度(T_{\text{內(nèi)}}=37^\circ\text{C})。問題8：（1）計(jì)算通過皮膚的熱傳導(dǎo)功率（提示：(P=kS\frac{\DeltaT}cv3kpau)）；（2）若人體代謝產(chǎn)熱功率(P_0=100,\text{W})，為維持體溫恒定，還需通過哪些方式散熱？解答：（1）溫度差(\DeltaT=37-20=17,\text{K})，熱傳導(dǎo)功率：[P=0.30\times1.5\times\frac{17}{2.0\times10^{-3}}=3825,\text{W}]（計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)大于實(shí)際代謝功率，說明單純熱傳導(dǎo)無(wú)法滿足散熱需求，需結(jié)合對(duì)流、輻射和蒸發(fā)散熱）（2）還需通過汗液蒸發(fā)（潛熱散熱）、空氣對(duì)流（強(qiáng)制散熱）和熱輻射（黑體輻射）等方式散熱。五、綜合分析題：腦功能成像中的物理原理背景：功能性磁共振成像（fMRI）通過檢測(cè)腦部血流變化反映神經(jīng)活動(dòng)。當(dāng)神經(jīng)元興奮時(shí)，局部腦區(qū)血流量增加，血氧水平依賴（BOLD）信號(hào)增強(qiáng)，其原理基于血紅蛋白的磁敏感性差異：含氧血紅蛋白（抗磁性）和脫氧血紅蛋白（順磁性）對(duì)磁場(chǎng)的擾動(dòng)不同，導(dǎo)致質(zhì)子自旋弛豫時(shí)間(T_2^*)變化。問題9：（1）簡(jiǎn)述BOLD信號(hào)與神經(jīng)元活動(dòng)的關(guān)系；（2）若磁場(chǎng)強(qiáng)度(B_0=3.0,\text{T})，質(zhì)子旋磁比(\gamma=2.68\times10^8,\text{rad/(T·s)})，計(jì)算MRI的共振頻率（提示：(\omega=\gammaB_0)）；（3）分析為什么脫氧血紅蛋白濃度降低會(huì)導(dǎo)致(T_2^*)延長(zhǎng)。解答：（1）神經(jīng)元興奮時(shí)，局部代謝率增加，腦血管擴(kuò)張，含氧血紅蛋白供應(yīng)增多，脫氧血紅蛋白比例下降，磁場(chǎng)均勻性提高，(T_2^*)延長(zhǎng)，MRI信號(hào)增強(qiáng)，即BOLD信號(hào)與神經(jīng)元活動(dòng)正相關(guān)。（2）共振頻率(\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\gammaB_0}{2\pi}=\frac{2.68\times10^8\times3.0}{2\pi}\approx1.28\times10^8,\text{Hz}=128,\text{MHz})。（3）脫氧血紅蛋白含未成對(duì)電子，具有順磁性，會(huì)導(dǎo)致局部磁場(chǎng)不均勻，加速質(zhì)子自旋失相，使(T_2^*)縮短；當(dāng)脫氧血紅蛋白濃度降低時(shí)，磁場(chǎng)擾動(dòng)減弱，質(zhì)子失相減慢，(T_2^*)延長(zhǎng)。六、拓展題：生物系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)背景：神經(jīng)元放電具有周期性，其膜電位變化可近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期(T=10,\text{ms})，振幅(A=100,\text{mV})。問題10：（1）寫出膜電位隨時(shí)間變化的函數(shù)表達(dá)式；（2）若神經(jīng)元群體同步放電，形成頻率(f=40,\text{Hz})的腦電波（γ波），計(jì)算其角頻率和波長(zhǎng)（設(shè)波速(v=15,\text{m/s})）。解答：（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程(V(t)=A\sin(\omegat+\phi))，角頻率(\omega=\frac{2\pi}{T}=200\pi,\text{rad/s})，設(shè)初相位(\phi=0)，則：[V(t)=100\sin(200\pit),\text{mV}]（2）γ波角頻率(\omega=2\pif=80\pi,\text{rad/s})，波長(zhǎng)(\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15}{40}=0.375,\text{m}=37.5,\text{cm})。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)問題1：（1）(1.6\times10^{-5},\text{m})（3分）；（2）(2.5,\text{m/s})（3分）。問題2：（1）(6.4\times10^{-20},\text{J})（3分）；（2）3個(gè)ATP（4分）。問題3：（1）(-92,\text{mV}