專題03平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算1.平面向量的基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（x，y），其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo).3.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)，則eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)，則4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)則4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量，θ為向量的夾角.數(shù)量積模夾角兩非零向量的充要條件考點一平面向量基本定理的應(yīng)用1.平面向量基本定理的理解2.用基底表示向量3.利用平面向量基本定理求參數(shù)考點二平面向量的坐標(biāo)運算1.向量加減數(shù)乘運算2.向量的共線坐標(biāo)運算考點三平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示1.向量的數(shù)量積運算2.向量垂直3.向量的模4.向量的夾角5.向量的投影考點一平面向量基本定理的應(yīng)用1.平面向量基本定理的理解例1．設(shè)、是兩個不共線的向量，則下列四組向量中，不能作為平面向量的一組基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基底的概念，判斷各選項中的向量是否共線，即可得答案.【詳解】對于A,，和沒有倍數(shù)關(guān)系，二者不共線，可作為平面向量的一組基底，正確；對于B，和，沒有倍數(shù)關(guān)系，二者不共線，可作為平面向量的一組基底，正確；對于C，，二者是共線向量，不能作為平面向量的一組基底；對于D，和，二者不共線，可作為平面向量的一組基底，正確；故選：C練習(xí)1．（多選）已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使【答案】AB【分析】根據(jù)基底的定義逐項判斷即可.【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.故選:AB.2.用基底表示向量例2．如圖，、分別是和的中點，已知，，則向量________．（用表示向量）．【答案】【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)向量減的幾何意義，可推得，.然后根據(jù)中點，即可得出答案.【詳解】因為，.又、分別是和的中點，所以，，所以，.故答案為：.練習(xí)1.在中，是的中點，設(shè)，，請寫出一個與向量共線的一個向量__________.（用平面向量、表示）.【答案】（答案不唯一）【分析】將用平面向量、表示，結(jié)合共線向量的基本定理可得出結(jié)果.【詳解】由已知，故與向量共線的一個向量可以是.故答案為：（答案不唯一）.練習(xí)2.在△中，延長到，使，在上取點，使與交于，設(shè)，用表示向量及向量.【答案】；【分析】用平面基底向量表示向量，結(jié)合平面向量的線性運算求解.【詳解】∵A是的中點，則，故，，故.3.利用平面向量基本定理求參數(shù)例3．在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用表示即可得答案.【詳解】解：如圖，因為點為的中點，，所以，，，所以，即，解得所以，的值為.故選：B練習(xí)1.如圖，在中，是的中點，是上一點，且，過點作一條直線與邊分別相交于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量基本定理，向量和用基底表示，再由三點共線，求出的值.【詳解】是的中點，，，，三點共線，，即，解得，故選：B．練習(xí)2.如圖在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，設(shè)＝，＝.(1)用表示向量；(2)若點F在AC上，且，求AF∶CF.【答案】(1).(2)【分析】（1）利用向量線性運算法則求解；（2）設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，由向量線性運算用表示出，再與已知比較求得后即可得．【詳解】（1）因為＝－＝，點D是AC的中點，所以＝＝()，因為點E是BD的中點，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.（2）設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.考點二平面向量的坐標(biāo)運算1.向量加減數(shù)乘運算例4．已知向量，若滿足，則等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將帶入等式中化簡即可求得結(jié)果.【詳解】解：因為，所以，將代入有:.故選：A練習(xí)1．（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，若點A(2，3)，B(-3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個單位向量分別為和，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)圖象，由平面向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】解：由圖知，，，故A正確，B不正確；，，故C正確，D不正確．故選：AC練習(xí)2．已知平面上三點的坐標(biāo)分別為求點的坐標(biāo)，使這四點為平行四邊形的四個頂點．【答案】或或【分析】分平行四邊形為，，三種情況考慮，設(shè)出點坐標(biāo)，寫出相等向量，計算即可.【詳解】解：設(shè)點，當(dāng)平行四邊形為時，有,因為，所以，解得，即；當(dāng)平行四邊形為時，有,因為，所以，解得，即；當(dāng)平行四邊形為時，有,因為，所以，解得，即，故點的坐標(biāo)為或或.2.向量的共線坐標(biāo)運算例5．已知向量，，且與平行，則______．【答案】【分析】先求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因為，，所以，，因為與平行，所以，解得，故答案為：練習(xí)1.在平面直角坐標(biāo)系中，，，，若三點共線，則正數(shù)______．【答案】11【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意可得，因為三點共線，所以，進(jìn)而解之得或因為，所以，故答案為：練習(xí)2.若，，三點不能構(gòu)成三角形，則t=______．【答案】【分析】由題設(shè)知三點共線，結(jié)合且的坐標(biāo)表示列方程組求參數(shù)即可.【詳解】由三點不能構(gòu)成三角形，即三點共線，且，，所以且，則，可得.故答案為：考點三平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示1.向量的數(shù)量積運算例6．已知，若，則等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故選：C練習(xí)1.已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積及線性運算的坐標(biāo)表示計算即可.【詳解】因為，，，所以，，所以，，，，則ACD錯誤，B正確.故選：B.練習(xí)2.若向量，，且，共線，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得出，然后利用向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】因為，共線，所以，解得：，所以，，所以，故答案為：.2.向量垂直例7．已知，若非零向量滿足，則（

）A． B．10 C．3 D．【答案】A【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程，求得，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，則，，則，.故選：A練習(xí)1已知點，那么下面四個結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意根據(jù)兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，，對于與，由，則與不平行，故選項A錯誤；由，則與不垂直，故選項B錯誤；對于與，由，則與不平行，故選項C錯誤；由，可得，即，故選項D正確.故選：D．練習(xí)2.已知向量，.若，則實數(shù)的值為______.【答案】【分析】根據(jù)兩個向量垂直的坐標(biāo)公式計算求解即可.【詳解】因為，,所以，又因為,所以，所以.故答案為:.3.向量的模例8．與向量共線的單位向量是_________．【答案】或【分析】利用與共線的單位向量為或求解即可.【詳解】因為，所以，所以與向量共線的單位向量為或，故答案為：或.練習(xí)1.已知向量，，若，則______．【答案】【分析】求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量的模長公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為，，則，，因為，則，解得.故答案為：.練習(xí)2.已知向量，若，則__________.【答案】3【分析】求出，利用模長公式列出方程，求出.【詳解】因為，所以，解得:.故答案為：3練習(xí)3.設(shè)，，（其中O為坐標(biāo)原點），則的面積為______．【答案】5【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量的模，發(fā)現(xiàn)向量的模之間滿足勾股定理即可進(jìn)一步得解.【詳解】，所以，所以，同理，，所以，所以為直角三角形，所以，故答案為：5.4.向量的夾角例9．已知向量，，則（

）A．7 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算，先求，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系是求.【詳解】由已知，得，則為銳角，所以，所以.故選：A.練習(xí)1.單位向量與的夾角為60°，則______．【答案】或【分析】設(shè)，然后根據(jù)夾角公式及模長公式列方程組求解即可.【詳解】設(shè)，則，解得或∴與成60°的單位向量是或.故答案為：或.練習(xí)2.若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角，由，且與的不共線求解.【詳解】解：由，得．又與的夾角為鈍角，∴，得，若，則，即．當(dāng)時，與共線且反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為，故答案為：．練習(xí)3.已知向量，，，，則___________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為向量，，，所以，因為，所以有，故答案為：5.向量的投影例10．向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的投影向量求法直接得出答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C.練習(xí)1.已知向量，，.若在方向上投影向量模長為，則實數(shù)為（

）A．-2 B．-1 C．±1 D．±2【答案】C【分析】先將化簡，然后利用投影向量模長公式列出方程即可求解.【詳解】由題意可知：，因為在方向上投影向量模長為，所以，故選：C．練習(xí)2.已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】因為，，所以向量在方向的投影向量為.故答案為：一、單選題1．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)不共線的兩向量可作為平面的基底，判斷每個選項中的兩向量是否具有倍數(shù)關(guān)系，從而判斷兩向量是否共線，即可判斷出答案.【詳解】由于是平面內(nèi)所有向量的一組基底，故不共線，對于A，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對于B，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對于C，因為，即和共線，不能作為基底；對于D，，故和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為平面的一組基底；故選：C2．如圖，中，，CD與BE交于F，設(shè)，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量共線定理與線性運算，從兩個不同的角度表示出，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】，，同理：，因為平面向量基本定理可知向量用不共線的兩個向量線性表示是唯一的，所以，解得，所以，即為.故選：A.3．已知向量，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出參數(shù)的值，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為，，所以，，又，所以，解得，所以，則.故選：A4．設(shè)，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個非零向量解決.【詳解】對于AB項，若時，，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯誤；對于D項，若時，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯誤；對于C項，因為，又因為恒成立，說明與不共線，復(fù)合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.故選：C5．已知向量，，若與方向相反，則（

）A．54 B．48 C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，再求即可.【詳解】向量，，若與方向相反，所以，解得.所以，.故選：D6．已知，．若向量滿足且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐標(biāo)運算及向量平行垂直的坐標(biāo)表示，聯(lián)立方程即可得解.【詳解】設(shè)，則，，所以由與得，解得，故.故選：D.7．已知和兩點，若點在直線上，且，又是的中點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)可得的坐標(biāo)，再結(jié)合是的中點，即可求得點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，，由，則，解得，，即，設(shè)，因為是的中點，所以，解得，，即.故選：A.8．已知，，是一次函數(shù)圖像上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)，則，由，，得，則，當(dāng)時，取得最小值.故選：C.9．定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的．令，下面說法錯誤的是（

）A．若與共線，則B．C．對任意的,,D．【答案】B【分析】根據(jù)給出的運算“⊙”的新定義，結(jié)合已知的向量的數(shù)量積公式及模長公式逐項判斷即可.【詳解】若與共線，則有，故A正確；，而，，故選項B錯誤；對任意的，，又，，故C正確；，又，故D正確.故選：B.二、多選題10．設(shè)向量，，則（

）A． B．與的夾角為 C． D．【答案】AD【分析】利用向量的坐標(biāo)即可計算向量的模長，向量夾角，利用向量坐標(biāo)與空間位置的關(guān)系即可判斷出兩向量位置關(guān)系.【詳解】，，故，A正確；且，故與的夾角為，B錯誤；，由此知：不存在實數(shù)λ使成立，C錯誤；，D正確.故選：AD11．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（

）.A．的最小值為B．的最小值為C．當(dāng)取得最小值時，與的夾角的余弦值為D．當(dāng)取得最小值時，與的夾角的余弦值為【答案】BD【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出，再利用函數(shù)求的最小值，求與的夾角的余弦值.【詳解】解：依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，.，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，即取得最小值.故選項B正確.此時，，此時與所成角的