專題20平面與平面平行1．平面與平面平行的判定定理文字語言圖形語言符號語言線面平行面面平行一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行2．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言面面平行線線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行3.其余推論①兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面．②夾在兩個平行平面間的平行線段相等．③經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．④兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．考點一面面平行的概念考點二平面與平面平行的判定定理考點三平面與平面平行的性質(zhì)定理1.面面平行證明線面平行2.面面平行證明線線平行考點四平面與平面平行中的點存在問題考點一 面面平行的概念例1．，是兩個平面，，是兩條直線，下列四個命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中，直線與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】A項：若，，則或，故選項A不正確；B項：若，，則或m與n異面，故選項B不正確；C項：若，則與沒有公共點，又因為，所以m與沒有公共點，所以，故選項C正確；D項：若，，，則或與相交，故選項D不正確.故選：C.練習(xí)1．(多選)下列命題中，正確的是（

）A．平行于同一條直線的兩個平面平行B．平行于同一平面的兩個平面平行C．平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面【答案】BCD【分析】通過舉反例說明選項A錯誤，其它選項根據(jù)線面、面面平行的判定和性質(zhì)直接判斷即可.【詳解】對于A，如圖，平行于同一條直線的兩個平面相交,故A錯誤；對于B，平行于同一平面的兩個平面平行正確，故B正確；對于C，平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定，可以平行，相交，也可以異面，故C正確；對于D，根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)定理，兩平面平行，一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面正確，故C正確；故選：BCD.練習(xí)2．(多選)已知，是兩個平面，則下列條件可以得到的是（

）A．平面內(nèi)的任何一條直線，都有B．平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行C．平面內(nèi)任意一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點D．平面內(nèi)有兩條相交直線都在平面外【答案】AC【分析】根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)判斷各選項即可.【詳解】若不成立，則與相交，那么與內(nèi)的任一條直線都與無公共點矛盾，故A、C正確；對于B，平面與平面也可能相交，故B錯誤；對于D，在平面外，可以是平行，也可以是相交，故D錯誤.故選：AC.練習(xí)3．(多選)下列命題正確的是（

）A．垂直于同一個平面的兩平面平行B．兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等C．一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行D．一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行【答案】BC【分析】AD考慮包含、相交、平行的可能即可判斷；BC由性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】對A，垂直于同一個平面的兩平面可能平行，也可能相交，A錯；對B，兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等（性質(zhì)推論），B對；對C，一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行（判定定理），C對；對D，一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行或在另一平面內(nèi)，D錯.故選：BC.練習(xí)4．下列命題中，假命題序號是______．①若直線直線，那么平行于經(jīng)過的任何平面；②若直線不平行于平面，則不平行于內(nèi)任一直線；③若平面內(nèi)有三條直線平行于平面，則平面平面．【答案】①②③【分析】根據(jù)線、面平行的判定定理與性質(zhì)定理分析判斷.【詳解】對①：若直線直線，則與經(jīng)過的平面的位置關(guān)系有：平行或直線在該平面內(nèi)，①為假命題；對②：若直線不平行于平面，則或，當(dāng)，則與內(nèi)任一直線的位置關(guān)系有：平行或相交；當(dāng)，則與內(nèi)任一直線的位置關(guān)系有：異面或相交；故若直線不平行于平面，則直線與內(nèi)的直線可能平行，②為假命題；對③：若平面內(nèi)有三條直線平行于平面，當(dāng)這三條直線相互平行時，此時平面與平面的位置關(guān)系有：平行或相交，③為假命題.故答案為：①③③.考點二 平面與平面平行的判定定理例2．在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）①；②平面平面；③；④平面.A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)、線面平行的判定定理及面面平行的判定定理證明即可.【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，故，故①正確；易證，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，故②正確；由正方體易知，與異面，故③錯誤；因為，平面，平面，所以平面，故④正確.故選：A練習(xí)1．如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且＝＝＝，則＝________.【答案】【分析】根據(jù)線段題意可得：，，，得到平面平面，進(jìn)而得到，利用相似三角形的面積比等于邊長比的平方即可求解.【詳解】∵，且，∴，同理，.因為平面，平面，所以平面，同理可得：平面，又因為，且平面，所以平面平面，∵，，∴，同理，∴且，∴，故答案為：.練習(xí)2．P為正方形ABCD所在平面外一點，E，F(xiàn)，G分別為PD，AB，DC的中點，如圖．求證：(1)AE∥平面PCF；(2)平面PCF∥平面AEG.【分析】（1）取PC中點H，分別連接EH，F(xiàn)H，根據(jù)E，F(xiàn)，H分別為PD，AB，PC的中點，得到EAFH為平行四邊形，從而EA∥FH，再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)E，G分別為PD，CD的中點，得到EG∥PC，利用線面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理證明.【詳解】（1）證明：如圖所示：，取PC中點H，分別連接EH，F(xiàn)H，∵E，F(xiàn)，H分別為PD，AB，PC的中點，∴，∴EAFH為平行四邊形．∴EA∥FH.又平面PCF，平面PCF，∴AE∥平面PCF.（2）∵E，G分別為PD，CD的中點，∴EG∥PC.又平面PCF，平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.練習(xí)3．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點．求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【分析】（1）利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得，由此得證；（2）利用線面平行的判定定理證得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，從而利用面面平行的判定定理即可得證.【詳解】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點∴GH是的中位線，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點共面．（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EFBC，∵平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.考點三 平面與平面平行的性質(zhì)定理1.面面平行證明線面平行例3．如圖，平面，直線l、m分別與、、相交于點A、B、C和點D、E、F．若，DF＝20，則EF＝______．【答案】15【分析】分兩種情況：（1）直線l和m在同一平面內(nèi)；（2）直線l和m不在同一平面內(nèi)，即l和m異面然后利用面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行，進(jìn)一步利用平行線分線段成比例定理得到結(jié)果．【詳解】解：分兩種情況：（1）直線l和m在同一平面內(nèi)，連接AD，BE，CF平面，，，，求得：；（2）直線l和m不在同一平面內(nèi)，即l和m異面，過D作，平面，∴，，進(jìn)一步得，利用平行線分線段成比例得：，，求得：，故答案為：15．練習(xí)1．設(shè)a，b為不重合的兩條直線α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若a?α，b?α，a，b是異面直線，那么bα；②若a?α，bα，a，b共面，那么ab；③若αβ，a?α，則aβ．上面命題中，所有真命題的序號是_____．【答案】②③【分析】對選項逐個判斷，對①，若a?α，b?α，a，b是異面直線可得出相交平行異面，即可判斷正誤；對②，由線面平行的性質(zhì)可判斷；對③由面面平行的性質(zhì)可判斷.【詳解】a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，對于①，若a?α，b?α，a，b是異面直線，那么b與α相交或平行或異面，故①錯誤；對于②，若a?α，bα，a，b共面，那么由線面平行的性質(zhì)得ab，故②正確；對于③，若αβ，a?α，則由面面平行的性質(zhì)得aβ，故③正確．故答案為：②③．練習(xí)2．如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點.(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面平面，得到平面；（2），，作于G，，即三棱錐的高為，可求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：連接，∵E，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，∵D，F(xiàn)分別是棱，的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面，∵，平面，且，∴平面平面，∵平面，∴平面；（2）連接，∵E為AC中點，∴，由題意，，∴，作于G，則面，是邊長為的等邊三角形，有，即三棱錐的高為，∴.練習(xí)3．平行四邊形和平行四邊形不在同一平面內(nèi)，、分別為對角線，上的點，且．求證：平面．【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)定理分析證明.【詳解】在上取點，使得，則，∵平面，平面，∴平面，連接，∵，即，則，∴，又∵，則，且平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面，由平面，可得平面.2.面面平行證明線線平行例4．平面平面，平面平面，平面平面，則直線m與n的位置關(guān)系是______．【答案】平行【分析】由面面平行的性質(zhì)定理即可得出答案.【詳解】平面平面，平面平面，平面平面,由面面平行的性質(zhì)定理可推出：.故答案為：平行.練習(xí)1．如圖，平面，平面，，，，.求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，由面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】，平面，平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，.練習(xí)2．如圖，在四棱柱中，平面平面，且，則四邊形的形狀是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【分析】根據(jù)平行關(guān)系可知四點共面，由面面平行的性質(zhì)可證得，由此可得結(jié)論.【詳解】，四點共面；平面平面，平面平面，平面平面，，四邊形為平行四邊形.故選：A.練習(xí)3．在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，、、都是圓柱的母線．求證：平面；【分析】利用線面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理即得.【詳解】連接、，在圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，則，且，故、、均為等邊三角形，所以，在底面中，，則，平面，平面，所以，平面，因為、、都是圓柱的母線，則，平面，平面，∴平面，，平面，平面，所以，平面平面，因為平面，因此，平面．考點四 平面與平面平行中的點存在問題例5．如圖，在正方體中，為的中點．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析．【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）結(jié)合面面平行判定定理來確定動點位置，并證明面面平行.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于，連接.因為為正方體，底面為正方形，對角線，交于點，所以為的中點，又因為為的中點，所以在中，是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：當(dāng)上的點為中點時，即滿足平面平面，理由如下：連接，，因為為的中點，為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.由（１）知平面，又因為，，平面，所以平面平面.練習(xí)1．如圖，四棱錐中，，，為的中點．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）利用構(gòu)造平行四邊形的方法證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）點為線段的中點，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面平面．【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點，連接，．因為為的中點，所以，．又，，所以，．因此四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）解：如圖所示，取的中點，連接，，所以又，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因為，故平面平面．練習(xí)2．如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點，使平面平面請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得A，再根據(jù)線面平行的判定可得B即可；（2）取的中點，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可【詳解】（1）證明：因為，分別為線段的中點所以A.因為，所以B.又因為平面，平面，所以平面．（2）取的中點，連接，因為為的中點所以．因為平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因為，，平面，所以平面平面故在線段上存在一點，使平面平面．練習(xí)3．如圖，四棱柱中，是線段上異于點的一個動點，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）利用線面平行的判定定理證得結(jié)論；（2）取中點，連接，，利用線面平行的判定定理證得平面，然后利用面面平行的判定定理證得平面平面，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）連接，因為E,M為AD,DF的中點，所以，又平面，平面，故平面.（2）取中點，連接，，則，故平面，又平面，且，是平面內(nèi)兩條相交直線，故平面平面，因此存在棱中點，即時滿足題意.一、單選題1．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面．①a//c，b//c?a//b；②a//β，b//β?a//b；③a//c，c//α?a//α；④a//β，a//α?α//β；⑤a?α，b?α，a//b?a//α.其中正確的命題是（）A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【分析】由題意，根據(jù)線面位置關(guān)系，可得答案.【詳解】對于①，由平行的傳遞性公理，則正確；對于②，由，，則共面或異面，故錯誤；對于③，由，，則或，故錯誤；對于④，由，，則平行或相交，故錯誤；對于⑤，由，，，根據(jù)線面平行判定定理，可得，故正確.故選：A.2．已知是不同的直線,是不同的平面,下列命題中真命題為（

）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則【答案】C【分析】可放在長方體中排除錯誤選項,選出正確選項.【詳解】解:由題知,不妨將,放在長方體中可知,關(guān)于選項A,如圖所示可知A錯誤,關(guān)于選項B,如圖所示可知B錯誤,關(guān)于選項D,如圖所示可知D錯誤,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,選項C正確.故選:C3．條件“△ABC的三個頂點到平面α的距離相等”是“△ABC所在平面與平面α平行”的（）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】根據(jù)平面的位置關(guān)系及充分、必要性定義判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】如下圖示，若“△ABC的三個頂點到平面α的距離相等”，此時“△ABC所在平面與平面α不平行”，充分性不成立；而“△ABC所在平面與平面α平行”，則“△ABC的三個頂點到平面α的距離相等”，必要性成立.所以，“△ABC的三個頂點到平面α的距離相等”是“△ABC所在平面與平面α平行”的必要非充分條件.故選：B4．如圖，在正方體中，為線段上任意一點（包括端點），則一定有（

）A．與異面 B．與相交C．與平面平行 D．與平面相交【答案】C【分析】連接、、、，證明出四邊形為平行四邊形，并結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷各選項能否一定成立.【詳解】連接、，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，當(dāng)為、的交點時，與相交，當(dāng)不為、的交點時，與異面，AB選項都不一定成立；連接、，因為且，故四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可證平面，因為，、平面，平面平面，平面，平面，C選項一定滿足，D選項一定不滿足.故選：C.5．若，，，是直線，，是平面，且，，且，，則平面與平面（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能確定【答案】D【分析】分類討論是相交直線和是平行直線兩種情況，即可得到答案【詳解】當(dāng)是相交直線時，由面面平行的判定定理，可得到平面與平面平行（如圖）；當(dāng)是平行直線時，則平面與平面可能平行，也可能相交（如圖）；綜上所述，平面與平面可能平行,可能相交,故選：D.二、多選題6．已知是不同的直線，是兩個不重合的平面.下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則D．若，則平行于平面內(nèi)任意一條直線【答案】AB【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：對于A：若，，由面面平行的性質(zhì)可得，故A正確；對于B：若，，，則，故B正確；對于C：若，則或與異面，故C錯誤；對于D：若，則與平面內(nèi)任意一條直線平行或異面，故D錯誤；故選：AB7．設(shè)，是兩個不重合的平面，下列選項中，是“”的必要不充分條件的是（

）A．內(nèi)存在無數(shù)條直線與平行B．存在平面，滿足，且C．存在直線與，所成的角相等D．內(nèi)存在不共線的三個點到的距離相等【答案】ACD【分析】根據(jù)面面平行的條件及性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：內(nèi)存在無數(shù)條直線與平行不可以得到，反過來可以，A對；存在滿足且，則，滿足充分性，B錯；存在與，所成的角相等，，有可能相交不能得到，反過來，一定存在使得，所成角相等，C對；內(nèi)存在不共線的三個點到的距離相等，也可能兩平面相交，不能得到，反過來時內(nèi)一定存在不共線的三個點到的距離相等，D對．故選：ACD．三、填空題8．在兩平面平行的判定定理中，假設(shè)為兩不同平面，為兩不同直線，若要得到，則需要在條件“”之外補(bǔ)充條件______.【答案】【分析】確定為平面內(nèi)的兩條相交直線，，故，得到答案.【詳解】因為一個平面內(nèi)兩條相交直線平行于另一個面，則這兩個面平行，所以要證，需要，，以及，共五個條件，所以需要在條件“”之外補(bǔ)充條件是.故答案為：.9．下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是______．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【詳解】對于①，如圖1.因為點M、N、P分