2/30第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（舉一反三講義·培優(yōu)篇）【人教A版（2019）】題型1題型1利用作差法、作商法比較大小1．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若p=a+6?a+4，q=a+5?A．p<q B．p=q C．p>q D．不確定【答案】A【解題思路】利用作差比較大小可得答案.【解答過程】由題意知p?q=a+6a+6=2=2a因為a2+9a+18?a所以2a即a+6+所以p?q=a+6故p<q.故選：A.2．（2025·山西晉城·一模）若實數(shù)m，n，p滿足m=4e35，n=5e2A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m【答案】A【解題思路】根據(jù)作商法比較大小，即可得出結(jié)果.【解答過程】因為實數(shù)m，n，p滿足m=4e35，n=5所以mn∴m<n；又mp∴m>p；∴p<m<n．故選：A．3．（24-25高一上·四川宜賓·階段練習(xí)）若x<y<0，設(shè)M=x2+y2x?y,N=x2【答案】＞【解題思路】利用作差法求解.【解答過程】解：因為x<y<0，所以x?y<0,xy>0，所以M?N=x=x?y則M?N>0，即M>N，故答案為：＞.4．（24-25高一上·貴州六盤水·期中）從下列三組式子中選擇一組比較大?。孩僭O(shè)x>1,M=x?x?1②設(shè)M=x+3x+4,N=③設(shè)a>b>0,M=a2?注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計分.【答案】①M>N；②M>N；③M>N；【解題思路】①利用有理根式可得M=1x+x?1>0,N=②用作差法比較即可；③用作差法或作商法比較即可.【解答過程】解：①M>NM=x因為x+1+所以1x+1即x+1?∴M>N.②M>NM?N=x+3∴M>N.③M>N方法一（作差法）M?N==a?b因為a>b>0，所以a+b>0,a?b>0,2ab>0,a所以2aba?b所以a2∴M>N..方法二（作商法）因為a>b>0，所以a2所以MN所以a2∴M>N.5．（24-25高一上·黑龍江黑河·階段練習(xí)）已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖m>0，（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了．(1)請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式；(2)利用（1）的結(jié)論比較M=20192020(3)證明命題：設(shè)x>0,y>0,z>0，證明：1<x【答案】(1)ab(2)M>N(3)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)題意，得到不等式ab（2）根據(jù)題意，化簡M=20192020（3）由（1）中的結(jié)論，得到xx+y<x+zx+y+z,yy+z【解答過程】（1）由題意，可得不等式ab證明：由ab因為b>a>0,m>0，可得a?b<0,b+m>0，所以ab?a+m（2）由M=20192020由（1）中的結(jié)論，可得20192017+320232021+3>20192017（3）證明：因為x>0,y>0,z>0，由（1）中的結(jié)論，可得xx+y所以xx+y又由xx+y=x+y?y則xx+y由上述結(jié)論，可得yx+y+z綜合①②，得1<x題型2題型2利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1．（24-25高一上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足1≤x+y≤4，?1≤x?y≤2，則4x?2y的取值范圍是（

）A．?4,10 B．?3,6 C．?5,13 D．?2,10【答案】D【解題思路】利用待定系數(shù)法求得4x?2y=x+y+3x?y【解答過程】設(shè)4x?2y=mx+y+nx?y所以，m+n=4m?n=?2，解得m=1n=3，即∵1≤x+y≤4?1≤x?y≤2，則因此，4x?2y=x+y故選：D.2．（24-25高一上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足?4≤x?y≤?1，?1≤4x?y≤5，則6x?3y的取值范圍是（

）A．?9,3 B．?7,26C．4,15 D．1,15【答案】A【解題思路】設(shè)6x?3y=mx?y+n4x?y，求出m【解答過程】設(shè)6x?3y=mx?y則m+4n=6m+n=3，解得m=2n=1，所以因為?4≤x?y≤?1，所以?8≤2x?y又?1≤4x?y≤5，所以?9≤2x?y+4x?y所以6x?3y的取值范圍是?9,3.故選：A.3．（24-25高一上·全國·周測）若?2≤a≤2，1≤b≤3，則2a?b的取值范圍為．【答案】?7,3【解題思路】由不等式式性質(zhì)計算即可.【解答過程】因為?2≤a≤2，1≤b≤3，所以?4≤2a≤4，?3≤?b≤?1，根據(jù)同向不等式可加性得?7≤2a?b≤3．故答案為：?7,3．4．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知?1<x<4，2<y<3．(1)求x?y的取值范圍；(2)求3x+2y的取值范圍．【答案】(1)?4<x?y<2(2)1<3x+2y<18【解題思路】（1）由不等式的性質(zhì)求解即可；（2）由不等式的性質(zhì)求解即可；【解答過程】（1）因為?1<x<4，2<y<3，所以?3<?y<?2，所以?4<x?y<2．（2）由?1<x<4，2<y<3，得?3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18．5．（24-25高一上·重慶·期中）已知0<x<5,1<y<2(1)求x?2y,x(2)若將條件變?yōu)椤?1≤x+y≤2,?2≤x?y≤1”，求x?2y的范圍【答案】(1)?4<x?2y<3，x(2)x?2y∈【解題思路】（1）利用不等式的性質(zhì)和齊次化可求x?2y,x（2）利用待定系數(shù)法結(jié)合不等式的性質(zhì)可求x?2y的范圍.【解答過程】（1）因為0<x<5,1<y<2，所以?4<?2y<?2，所以?4<x?2y<3；因為0<x<5，所以1x>15（2）令x?2y=mx+y+nx?y所以1=m+n?2=m?n，則m=?12因為?1≤x+y≤2,?2≤x?y≤1，所以?1≤?1所以x?2y∈?4,2題型3題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式1．（24-25高一上·山西太原·階段練習(xí)）若實數(shù)a，b滿足a<b<0，則（

）A．a(chǎn)?b>0 B．a(chǎn)c<bc C．a(chǎn)<b 【答案】D【解題思路】利用不等式的性質(zhì)，判斷各選項是否正確.【解答過程】由a<b<0，則a?b<0，A選項錯誤；由a<b<0，c≤0時，不滿足ac<bc，B選項錯誤；由a<b<0，則a>由a<b<0，則a+c<b+c，D選項正確.故選：D.2．（24-25高三上·吉林四平·階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b,c,若a>b>c,則下列不等式一定成立的是（

）A．a(chǎn)?b>b?c B．a(chǎn)c>C．a(chǎn)a?c>bb?c【答案】D【解題思路】由a>b>c不妨取特殊值將選項A,B,C排除,關(guān)于D,由a>b>c,即有a?c>b?c>0,取倒數(shù)即可證明選項正誤.【解答過程】解:由題知a>b>c,不妨取a=3,b=2,c=?1,則有a?b=1<b?c=3,ac=?3<b故選項A,B錯誤;關(guān)于選項C,不妨取a=?1,b=?2,c=?3,aa?c故選項C錯誤;關(guān)于選項D,∵a>b>c,∴a?c>b?c>0,∴1故選項D正確.故選:D.3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)x>0，y>0，z>0，證明：1<x【答案】證明見解析【解題思路】由x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z和xx+y>xx+y+z，【解答過程】由題意知x>0，y>0，z>0，則有x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z，①xx+y>xx+y+z，所以xx+y又根據(jù)①的結(jié)論可知xx+y<x+zx+y+z，所以xx+y綜上所述，1<x4．（24-25高一上·海南省直轄縣級單位·期中）已知a>b>1，d<c<?2．(1)求證：a?1b?1(2)求證：ac+bd>bc+ad．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解題思路】（1）利用不等式的性質(zhì)證明即可；（2）應(yīng)用作差法比較大小，即可證.【解答過程】（1）由a>b>1，則a?1>0,b?1>0，故(a?1)(b?1)>0，由d<c<?2，則c+2<0,d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，所以a?1b?1（2）由ac+bd?bc?ad=c(a?b)+d(b?a)=(c?d)(a?b)，而a?b>0,c?d>0，所以ac+bd?bc?ad=(c?d)(a?b)>0，即ac+bd>bc+ad，得證.5．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：yx(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：1<a【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．【解答過程】（1）y+mx+m因為x>y>0,m>0，所以x+m>0,x?y>0，所以mx?yxx+m（2）因為a,b,c是三角形的三邊，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c又ab+c>所以a所以原不等式成立．題型4題型4條件等式求最值1．（24-25高一上·福建福州·階段練習(xí)）若x>0，y>0，且x+y=xy，則xx?1+2yA．2+23 B．3+22 C．4【答案】B【解題思路】先化簡已知等式，再應(yīng)用基本不等式計算求解即可.【解答過程】因為x>0，y>0，且x+y=xy，則x?1y?1xy=x+y>y?x>1，同理y>1，則xx?1當(dāng)且僅當(dāng)x=1+22,y=1+2時，故選：B.2．（24-25高一上·四川德陽·期末）已知a>0,b>1,a+4b?1=1，則4A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解題思路】根據(jù)條件等式有4a+b=(b?5)+16【解答過程】由題設(shè)a=1?4b?1=b?5b?1所以4當(dāng)且僅當(dāng)b?5=16b?5即故選：C.3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知x>0，y>1且6x+y?1?xy?1=0，2x+3y的最小值為【答案】35【解題思路】由6x+y?1?xy?1=0，得到【解答過程】因為x>0，y>1且6x+y?1?xy?1=0，所以所以2x+3y=2x+3y?1=3當(dāng)且僅當(dāng)3y?1x=所以2x+3y最小值為35.故答案為：35.4．（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值和x?12(2)求x+4【答案】(1)x+y的最小值為5，x?12+(2)5【解題思路】（1）依題意可得x=1+4（2）結(jié)合（1）可得x+4【解答過程】（1）因為x>2，y>0，xy=y+4，所以x=1+4y，所以x=1+4所以x+y=1+4y+y≥1+24y?y=5所以x+y的最小值為5；又x?12+y2=16y所以x?12+y（2）因為x=1+4y，x>2且0<y<4，所以所以x+=1+1+4?y當(dāng)且僅當(dāng)4?yy=y4?y，即所以x+44?y的最小值為5．（24-25高一上·江西·期中）已知正數(shù)a，b滿足ab=2a+b+2.(1)求a+2b的最小值；(2)求1a【答案】(1)5+4(2)2【解題思路】（1）用a表示b得b=2a+2（2）計算得1a+2b+【解答過程】（1）由ab=2a+b+2，得b=2a+2因為a>0，b>0，所以a>1，所以a+2b=a+=a?1當(dāng)且僅當(dāng)a?1=8a?1，即故a+2b的最小值為5+42（2）由ab=2a+b+2，得2a+b+2ab=1，即令1a+2b=t，則2由1a+2b+整理得t2+4t?4≥0，解得t≥22又由t>0，得1a+2b≥2故1a+2題型5題型5利用基本不等式證明不等式1．（24-25高一上·青海西寧·階段練習(xí)）已知a,b>0，則下列不等式中不成立的是（

）A．a(chǎn)+b+1ab≥2C．a(chǎn)2+b【答案】D【解題思路】根據(jù)基本不等式依次判斷選項即可.【解答過程】A.∵a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b∴a+b+1ab≥2ab+選項A正確.B.(a+b)1a+1b選項B正確.C.∵a2+b∴a2選項C正確.D.∵a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b∴2aba+b選項D錯誤.故選：D.2．（24-25高一上·云南文山·階段練習(xí)）已知a,b為不相等的正實數(shù)，滿足a+1a=b+A．a(chǎn)+b>2 B．1C．ba+16【答案】C【解題思路】由已知可得ab=1，再利用基本不等式判斷各個選項.【解答過程】由a+1因為a,b為不相等的正實數(shù)，所以ab=1，對于A，a+b>2ab對于B，1a+1b+8a+b對于C，ba+16b=對于D，8a2+b2a2+1≥4故選：C．3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）若a，b，c，d都是正數(shù)，求證：ab+cdac+bd（2）若a，b，c都是正數(shù)，求證：ab【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題思路】（1）對ab+cd,ac+bd分別應(yīng)用基本不等式即可證明；（2）對b2【解答過程】證明

（1）由a，b，c，d都是正數(shù)，利用基本不等式可知，ab+cd≥2abcd當(dāng)且僅當(dāng)ab=cd時，等號成立；ac+bd≥2acbd，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd所以ab+cdac+bd即有ab+cdac+bd≥4abcd，當(dāng)且僅當(dāng)a=d，（2）由a，b，c都是正數(shù)，利用基本不等式可知，b2+cc2+aa2+b所以ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.4．（24-25高一上·四川德陽·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，證明：(1)a2(2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1?a)(1?b)(1?c).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）利用基本不等式可證不等式成立；（2）利用基本不等式結(jié)合“1”的代換可證不等式成立.【解答過程】（1）因為a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立，故a2c+故a2（2）(1+a)(1+b)(1+c)=2a+b+c由基本不等式有2a+b+c=a+c+a+b≥2a+c2b+a+c=b+c+b+a≥2b+c2c+a+b=c+a+c+b≥2a+c故(1+a)(1+b)(1+c)≥8a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=15．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）（1）已知x、y都是正數(shù)，求證：x+yx（2）已知a>0，b>0，c>0，求證：bca【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題思路】（1）對x+y，x2+y（2）對bca+acb，【解答過程】證明：（1）∵x、y都是正數(shù)，∴x+y≥2xy>0，x2∴x+yx2+當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立．（2）∵a>0，b>0，c>0，∴bca+acb≥2c∴2bc故bca+ac即a=b=c時等號成立．題型6題型6基本不等式的恒成立問題1．（24-25高一上·四川達(dá)州·期中）已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，則實數(shù)A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【解題思路】將不等式變形為m≤4a+9b【解答過程】a>0，b>0，則a+b>0，不等式ma+b≤4a+9b4a+9bab當(dāng)且僅當(dāng)4ab=9b所以m≤25，即實數(shù)m的最大值為25.故選：B.2．（24-25高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實數(shù)x,y滿足x>32，y>3，不等式k2x?3y?3≤8A．12 B．24 C．23 D．【答案】B【解題思路】原不等式可轉(zhuǎn)化為4x2y?3【解答過程】由x>32，y>3變形可得2x?3>0，令a=2x?3>0，b=y?3>0，則k2x?3y?3≤8x3其中4x當(dāng)且僅當(dāng)a=3b=3ba=a所以不等式4x2y?3故選：B.3．（24-25高一上·上海楊浦·期中）若對任意正實數(shù)a，b；不等式a2+4b2≥【答案】?【解題思路】變形得1k≤a【解答過程】因為a>0，b>0，所以由a2+4b2≥由基本不等式得ab+4ba≥2因此ab+4ba的最小值為4，則1k故答案為：?∞4．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知x,y>0滿足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【答案】(1)1(2)m【解題思路】（1）變形后，利用基本不等式“1”的代換求出最小值；（2）先求出0<y<6，參變分離得到m≤x2+4y2x+4y，變形得到x2【解答過程】（1）y≥1當(dāng)且僅當(dāng)2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6?y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx=5當(dāng)且僅當(dāng)y+2=16y+2，即因此當(dāng)x=4,y=2時，x2+4y2x+4y所以m的取值范圍mm≤5．（24-25高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足2x+y?xy=0.(1)求4xx?1(2)若xy+2?42【答案】(1)25(2)?6,1【解題思路】（1）由已知等量關(guān)系化簡代數(shù)值并轉(zhuǎn)化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；（2）不等式恒成立等價于求最值問題，先利用等量代換和基本不等式求出左邊最小值，再解不等式即可得出范圍.【解答過程】（1）∵2x+y?xy=0，∴2y+1x=1∴4xx?1當(dāng)且僅當(dāng)18xy=2yx，即所以4xx?1（2）∵y=xy?2x=xy?2，∴x=∴xy+2∵x=yy?2>0且y>0∴xy+2=y?2+8y?2+6≥4∴xy+2∴6>m2+5m恒成立，即m所以實數(shù)m的取值范圍為?6,1.題型7題型7基本不等式的有解問題1．（24-25高一上·重慶渝北·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．m<4 B．m>4 C．m<2 D．m>2【答案】B【解題思路】根據(jù)基本不等式"1"的替換進(jìn)行求解即可.【解答過程】因為正實數(shù)x，y滿足1x所以x+y當(dāng)且僅當(dāng)y4x=4x因此要想x+y只需m>4，故選：B.2．（24-25高一上·云南昆明·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x,y滿足x+y=1，且存在這樣的x,y使不等式1x+1+4y+2<A．m?3<m<34C．{m∣m<?3或m>3【答案】C【解題思路】利用基本不等式進(jìn)行代換，從而求出答案.【解答過程】由x+y=1,x,y>0，可得，(x+1)+(y+2)=4所以1=1當(dāng)且僅當(dāng)y+2x+1=4(x+1)所以m2+94m>故選：C.3．（24-25高一上·浙江·階段練習(xí)）已知正實數(shù)x，y滿足3x+y=1，若不等式y(tǒng)x+1y≤m【答案】2【解題思路】利用“1”的代換及基本不等式求出yx【解答過程】因為正實數(shù)x，y滿足3x+y=1，所以yx當(dāng)且僅當(dāng)yx=3xy，即所以yx+1y的最小值為所以m≥23+1，即實數(shù)m的取值范圍為故答案為：234．（24-25高一上·江蘇連云港·期中）已知正實數(shù)x，y，滿足x+2y?xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若關(guān)于x的方程x(y+1)?42【答案】(1)8；(2)m≥3或m≤?2﹒【解題思路】(1)利用基本不等式將x＋2y轉(zhuǎn)化為xy形式，解不等式即可；(2)結(jié)合已知條件對x(y+【解答過程】（1）∵x，y為正實數(shù)，x+2y?xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x＝4，y＝2時，等號成立，則xy的最小值為8．（2）由x+2y?xy=0得：x+2y=xy，則2x∴x(y+1)?4=2(x+y)?42xy+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=2+∴m2?m≥6，解得：m≥3或5．（24-25高一上·云南玉溪·階段練習(xí)）已知a>0，b>0.(1)4a+9b=ab且a+b<m2?24m(2)ab?a?2b?2=0，求a+1b+2【答案】(1)?(2)25【解題思路】（1）利用基本不等式可求a+b的最小值，進(jìn)而得不等式25<m（2）由ab?a?2b?2=0得b=a+2【解答過程】（1）因為正數(shù)a，b滿足4a+9b=ab，所以4b所以a+b=a+b4b當(dāng)且僅當(dāng)4ab=9ba，即所以a+b的最小值為25，由a+b<m2?24m即m2?24m?25>0，解得m>25或所以實數(shù)m的取值范圍是?∞（2）因為a>0，b>0，且滿足ab?a?2b?2=0，所以b=a+2a?2>0，所以a>2則a+1=3a+12a?2+7=3當(dāng)且僅當(dāng)3a?2=12a?2，即所以a+1b+2題型8題型8由一元二次不等式的解確定參數(shù)1．（24-25高一上·湖北·階段練習(xí)）已知不等式ax2+bx+c<0的解集為{x∣x<?1或x>3}A．a(chǎn)>0B．c<0C．a(chǎn)+b+c<0D．cx2【答案】D【解題思路】根據(jù)不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得a,b,c的關(guān)系，再分析選項即可求解.【解答過程】對于A，由已知可得y=ax2+bx+c對于BCD，x=?1,x=3是方程ax所以?b所以c>0,a+b+c=a?2a?3a=?4a>0，?cx故選：D.2．（24-25高一上·河北滄州·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2?a+3x+2a+2<0的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)A．a(chǎn)?3≤a<?2 B．{aC．{a?3<a<?2或4<a<5} D．【答案】B【解題思路】將原不等式化為x?2x?a?1<0，按照【解答過程】x2當(dāng)a=1時，不等式x?22當(dāng)a>1時，不等式x?2x?a?1<0的解集為要使關(guān)于x的不等式x2只需滿足a+1>5,a+1≤6,解得4<a≤5當(dāng)a<1時，不等式x?2x?a?1<0的解集為要使關(guān)于x的不等式x2只需滿足a+1<?1,a+1≥?2,解得?3≤a<?2綜上，實數(shù)a的取值范圍為a?3≤a<?2故選：B.3．（24-25高一上·云南昆明·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式?x2+2a+1x?2a>0【答案】a?1≤a<?1【解題思路】應(yīng)用分類討論求一元二次不等式的解集，根據(jù)整數(shù)解個數(shù)列不等式求參數(shù)范圍.【解答過程】令x2?2a+1x+2a=0，解得當(dāng)2a>1，即a>12時，不等式x2?2a+1x+2a<0的解集為當(dāng)2a=1，即a=12時，不等式x2當(dāng)2a<1，即a<12時，不等式x2?2a+1x+2a<0的解集為綜上，a的取值范圍是a?1≤a<?12故答案為：a?1≤a<?124．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，關(guān)于x不等式1≤f(x)≤2(1)解關(guān)于x的不等式ax(2)關(guān)于x的不等式ax2+(b?5)x?2c?1≤0【答案】(1)答案見解析(2)5【解題思路】（1）結(jié)合不等式的解集，利用三個二次關(guān)系列式求得b=?3ac=2a+20<a≤4，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為（2）將所求不等式化簡為(x+1)x?4a+5a≤0，結(jié)合【解答過程】（1）因為不等式1≤f(x)≤2的解集為{x∣1≤x≤2}，且a>0，所以ax2+bx+c≥1故?ba=3不等式ax2+(b?1)x+3<0整理得x?1當(dāng)a=13時，不等式化為(x?3)2當(dāng)13<a≤4時，1a<3，原不等式的解為當(dāng)0<a<13時，1a>3，原不等式的解為（2）不等式ax2+(b?5)x?2c?1≤0整理得(x+1)x?因為0<a≤4，所以4a+5a>?1，所以不等式的解集為因為不等式ax所以5≤4a+5a<6，解得52<a≤55．（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知a,b,c∈R，關(guān)于x的一元二次不等式?x2+bx+6>0(1)求b，c的值；(2)若a為非負(fù)實數(shù)，解關(guān)于x的不等式ax【答案】(1)c=3，b=1(2)答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式的解以及根與系數(shù)關(guān)系求得b,c.（2）對a進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.【解答過程】（1）因為不等式?x2+bx+6>0所以?2和c是方程?x根據(jù)韋達(dá)定理，可得?2+c=?b?1=b解得c=3，b=1.（2）由（1）知b=1，c=3，則不等式為ax2?(3a+1)x+3<0當(dāng)a=0時，不等式化為?x+3<0，解得x>3.當(dāng)0<a<13時，1a當(dāng)a=13時，不等式化為(1當(dāng)a>13時，1a綜上所得，當(dāng)a=0時，解集為{x|x>3}；當(dāng)0<a<13時，解集為當(dāng)a=1當(dāng)a>13時，解集為題型9題型9一元二次不等式恒成立問題1．（24-25高一上·海南?？凇るA段練習(xí)）不等式ax2+2ax+1>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)aA．(0,1) B．[0,1] C．[0,1) D．(?【答案】C【解題思路】當(dāng)a=0時符合題意，當(dāng)a≠0時，根據(jù)一元二次不等式在R上恒成立可得a的取值范圍.【解答過程】當(dāng)a=0時，1>0恒成立，符合題意.當(dāng)a≠0時，a>0Δ=2a綜上得，a的取值范圍是[0,1).故選：C.2．（24-25高一上·江蘇南通·期中）?x∈?1,+∞,x2A．?∞,?1 B．?∞,0 C．【答案】D【解題思路】轉(zhuǎn)化問題為k≤x2+x+1x+1對于【解答過程】由x2+1?k則問題轉(zhuǎn)化為k≤x2+x+1又x2當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1，即所以k≤1，即實數(shù)k的取值范圍為?∞故選：D.3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知關(guān)于x的不等式x2?a+4x+2a+5≥0在?∞,2上恒成立，則【答案】?2【解題思路】條件可轉(zhuǎn)化為a≥?2?x?12?x在?∞【解答過程】由不等式x2?a+4得2?xa≥?x2所以a≥?x2又2?x+12?x當(dāng)且僅當(dāng)2?x=12?x，即所以a≥?2，故a的最小值為?2.故答案為：?2.4．（24-25高一上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知關(guān)于x的不等式2ax(1)若不等式2ax2+ax?(2)在（1）的條件下，解關(guān)于x的不等式x2【答案】(1)a|?3<a≤0；(2){x|a<x<1?a}.【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，按a=0或a<0分類討論，列式求出a的取值范圍.（2）根據(jù)（1）中的取值范圍可得到不等式對應(yīng)方程的根的大小，進(jìn)而求出不等式的解集.【解答過程】（1）關(guān)于x的不等式2ax則當(dāng)a=0時，原不等式為?3當(dāng)a≠0時，2a<0Δ=a所以a的取值范圍為a|?3<a≤0.（2）不等式x2?x?a由（1）知，?3<a≤0，則1?a>0≥a，解得a<x<1?a，所以原不等式的解集為{x|a<x<1?a}.5．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)y=mx(1)解關(guān)于x的不等式y(tǒng)<m?x?5(m∈R(2)若對于任意1≤x≤3，y<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若對于任意?2≤m≤2，y<0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)?∞(3)?1,2.【解題思路】（1）就m的不同的取值范圍分類討論后可得不等式的解集；（2）利用參變分離結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)的取值范圍；（3）構(gòu)建關(guān)于m的一次函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得關(guān)于x的不等式，從而可求x的范圍.【解答過程】（1）由mx2?mx?6+m<m?x?5，化簡得m當(dāng)m=0時，x?1<0，解得x<1.當(dāng)m>0時，不等式mx+1x?1<0解得當(dāng)?1<m<0時，不等式mx+1x?1<0解得x<1或當(dāng)m=?1時，不等式mx+1x?1<0解得x<1或當(dāng)m<?1時，對于不等式mx+1x?1<0，解得x>1或綜上所述：當(dāng)m<?1時，關(guān)于x的不等式解為?∞當(dāng)m=?1時，關(guān)于x的不等式解為?∞當(dāng)?1<m<0時，關(guān)于x的不等式解為?∞當(dāng)m=0時，關(guān)于x的不等式解為?∞當(dāng)m>0時，關(guān)于x的不等式解為?1（2）要使fx=mx即mx2?x+1因為當(dāng)x∈1,3時，x2?x+1∈1,7，所以有當(dāng)x∈1,3時，令gx=所以m<6x2?x+1在即m<67，故實數(shù)m的取值范圍為（3）設(shè)f則gm是關(guān)于m的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為x所以gm在?2,2所以gm<0等價于g2故實數(shù)x的取值范圍為?1,2.題型10題型10一元二次不等式有解問題1．（24-25高一上·福建莆田·階段練習(xí)）若?x∈x|1≤x≤3，使得x2?2ax+a+2≤0成立，則實數(shù)aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≥【答案】B【解題思路】分析可知原題