2/30專題4.1指數(shù)（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化】 2【題型2根式的化簡求值】 3【題型3指數(shù)冪的運算】 4【題型4指數(shù)冪的化簡、求值】 4【題型5指數(shù)式的給條件求值問題】 5【題型6指數(shù)冪等式及冪的方程問題】 6【題型7指數(shù)冪等式的證明】 7知識點1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1．根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)定義一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*性質(zhì)(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時，a的n次方根用符號表示；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，記為；(3)負(fù)數(shù)沒有偶次方根；(4)0的任何次方根都是0，記作(2)根式的定義與性質(zhì)定義式子叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)性質(zhì)，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪指數(shù)

冪中

的指

數(shù)從

整數(shù)

拓展

到了

有理

數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：0的0次方?jīng)]有意義；非零整數(shù)的0次方都等于1規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義【注】：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法，不可理解為個a相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化】【例1】（24-25高一上·河北·階段練習(xí)）設(shè)a>0，則14a3a的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為（A．a(chǎn)?16 B．a(chǎn)?15【變式1-1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化錯誤的是（

）A．3aa=C．x?12【變式1-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)aa(2)13(3)4b(4)3a【變式1-3】（2025高一·全國·專題練習(xí)）把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0,b>0(1)5a(2)3a(3)?a【題型2根式的化簡求值】【例2】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知a<1，則a?12+3a3A．?1 B．1 C．2a?1 D．1?2a【變式2-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）若1<a<2，則31?a3+A．1 B．?1 C．3?2a D．2a?3【變式2-2】（24-25高一上·江蘇連云港·期中）下列各式正確的是（

）A．3?8=6C．nan=【變式2-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）化簡(1?a)41(a?1)A．4a?1 B．?4a?1 C．4知識點2指數(shù)冪的拓展1．有理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個常用結(jié)論：①當(dāng)a>0時，ab>0；

②當(dāng)a≠0時，a0=1，而當(dāng)a=0時，a0無意義；

③若ar=as(a>0,且a≠1)，則r=s；

④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.2．無理數(shù)指數(shù)冪及實數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).這樣，我們就將指數(shù)冪ax(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù).

(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.整數(shù)指數(shù)冪

的運算性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)

的取值范圍實數(shù)指數(shù)冪

的運算性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)

的取值范圍m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>03．指數(shù)冪運算的一般原則(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【題型3指數(shù)冪的運算】【例3】（24-25高一上·江蘇宿遷·開學(xué)考試）下列各式中，計算正確的是（

）A．m4·mC．?2xy3=?6x【變式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列各式中成立的是（

）A．nm7=C．4x3+【變式3-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若代數(shù)式2x?3+83?xx∈ZA．1 B．2 C．3 D．4【變式3-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若a,b>0，則a?1?b?1A．12a?2+b?2 B．?【題型4指數(shù)冪的化簡、求值】【例4】（24-25高一上·北京平谷·期中）化簡、計算(1)計算：259(2)化簡：2x【變式4-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）（1）計算：94（2）化簡：a【變式4-2】（24-25高一上·天津南開·期中）計算：(1)?1.80(2)若a=27，b=16，求?2ab【變式4-3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）化簡求值：(1)aa(2)(27(3)(27(4)已知x12+【題型5指數(shù)式的給條件求值問題】【例5】（24-25高一上·江蘇南京·期中）已知a12?a?A．35 B．±35 C．215【變式5-1】（24-25高一上·廣西北?！て谥校┤鬭m=3，an=4，則A．24 B．12 C．26 D．【變式5-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知2a=4，求（2）已知a2+a?1=0，求【變式5-3】（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知x?x?1=2(1)x2(2)x+【題型6指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【例6】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）方程32x?1=1A．?2 B．?22 C．2【變式6-1】（2025高一·全國·專題練習(xí)）方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【變式6-2】（2024高一·全國·專題練習(xí)）方程5x?1A．1,4 B．14 C．1,14【變式6-3】（2025高一·全國·專題練習(xí)）方程4x?1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【題型7指數(shù)冪等式的證明】【例7】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=2b【變式7-1】（2025高一·全國·專題