非線性分析弧長(zhǎng)法的讀書(shū)報(bào)告

L弧長(zhǎng)法的原理

弧長(zhǎng)法屬于雙重目標(biāo)控制方法，即在求解過(guò)程中同時(shí)控制荷載因子和位移增

量的步長(zhǎng)。其基本的控制方程為：

{△曷,{△]}+△萬(wàn)6{p}T{p}=A/2（1）

式中：

AA為荷載因子增量數(shù)值

。為荷載比例系數(shù)，用于控制弧長(zhǎng)法中荷載因子增量所占的比重

△/為固定的半徑

在求解過(guò)程中，荷載因于增量AA在迭代中是變化的，卜列非線性靜力平衡

的迭代求解公式中存在〃個(gè)未知數(shù)，即

[K例）臨意}=*{P}-加例）}/=0,1,2（2）

這樣，在弧長(zhǎng)法中一共存在〃+1個(gè)未知數(shù)，根據(jù)約束方程：

{A.{Ab}+A*2{P.{P}=A/2

即為附加的控制方程，問(wèn)題才能得到解答，此時(shí)，可以根據(jù)“值的取值分為兩種

弧長(zhǎng)法，其中，〃工（）時(shí)的弧長(zhǎng)法稱為球而弧長(zhǎng)法，〃=（）時(shí)的弧長(zhǎng)法稱為柱面弧

長(zhǎng)法。

1.1球面弧長(zhǎng)法

如下圖所示，根據(jù)圖中所示來(lái)說(shuō)明弧長(zhǎng)法的求解策略:

在第J步荷載增量第，次迭代分析中，結(jié)構(gòu)的位移增量（5可3可由式（2）來(lái)

計(jì)算，即

—=[K⑹）『（北｛P｝-｛尸⑹）｝）

=[K⑹）「（矽P｝+必｛尸｝-｛尸（叩）｝）（3）

=TK⑹）『（｛〃?，）｝-四小P｝）

=-[K⑹）廣似⑹）｝+砌MK⑹）「｛P｝

由于剛度矩陣不對(duì)稱以及帶寬被改變，通常情況下直接聯(lián)立求解式（1）和

式（3）中〃+1個(gè)變量相當(dāng)困難。通常，將式⑶中小分解為兩個(gè)部分，即

｛數(shù)4｝=｛砂｝"+比"龍〃旖[4）

式中，｛數(shù)”兒=TK（R）『｛以e）｝[5）

說(shuō)明｛數(shù)，上的第一項(xiàng)｛數(shù)，兒為采用荷載控制的標(biāo)準(zhǔn)切線剛度迭代求解的

結(jié)果；

｛必"｝!=[K（6/A7P（6）

說(shuō)明｛數(shù)，兒的第二項(xiàng)｛萬(wàn)為考慮荷載（8下按當(dāng)前結(jié)構(gòu)剛度[K（葉）]計(jì)

算出來(lái)的位移增量。

至此，式（4）中仍有網(wǎng)x為未知量，現(xiàn)在只有借助控制方程（1）來(lái)求解。第，

次迭代結(jié)束后相應(yīng)于迭代初始點(diǎn)（上圖中/-1點(diǎn)）的位移增量｛△以J為

｛△“｝=｛的』+網(wǎng)討）⑺

將(7)式代入控制方程(1)式，并考慮迭代前后弧長(zhǎng)保持不變，故得到:

△『=0&}/{AN}+(AZ)2*{P『{P}={MG7{A%}+(A%"4{P}T{P}(8)

式中：

△力與△心分別為第i次迭代前后荷載因子相對(duì)于迭代初始點(diǎn)(上圖中J-1

點(diǎn))的增量，它們有如下關(guān)系：

△及1=八4+a3(9)

將(4)代入(9)中，可得：

B?a3+C=0(JQ)

式中：

4={網(wǎng)〃?{謝"/{〃}『{/"

8=2?{陽(yáng)，}/({△&}+{㈱乩)+2?M”{p}，{p}

C=({A?}+⑶g}')T({A&}+)g}L)+(A2/)2版{p4{p}-A/2

由此，可通過(guò)解上述一元二次方程得到何在因子的增量解J從而進(jìn)一步確

定當(dāng)前的荷載水平和位移向量，即

%1=追+八％尸”+農(nóng)篇(11)

{弘}=閡}+{△想J={蘇}+四乙}(12)

1.2柱面弧長(zhǎng)法

經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，荷載比例系數(shù)”對(duì)于最終分析結(jié)果的影響是有限的，尤

其是結(jié)構(gòu)非線性成都較高時(shí)，這種影響甚微。令獷=0,從而減少程序中的

未知數(shù)和提高求解效率。于是把從原先所謂的“球面弧長(zhǎng)法”簡(jiǎn)化為“柱面

弧長(zhǎng)法”，結(jié)構(gòu)的控制方程則簡(jiǎn)化成：

{△W{A*}=A/2(13)

同理可得：（10）中關(guān)于網(wǎng)"的一元二次方程式中的系數(shù)可以簡(jiǎn)化成:

人=｛的〃兒?｛附匕

5=2?｛陽(yáng)〃｝/（｛△&｝+儲(chǔ)8｝力）

C=（｛A/｝+｛數(shù),兒）/（。6/｝+｛超8七）一■

由.1.式求解出兩個(gè)根，從而得到兩個(gè)位移增量，即：

向北=｛/｝+?%+（宓兒觀%（14）

命比=,蘇｝+故+⑻％.｛朋.（15）

為了保證迭代方向盡量保持一致，可以根據(jù)兩次迭代結(jié)束時(shí)的位移增量

｛“，｝和｛△?｝的夾角最小準(zhǔn)則來(lái)判斷到底哪個(gè)更合適。

兩個(gè)向量之間的夾角可以按照卜式確定：

cosa—｛△叩｝'｛△4｝_｛△?［（即，+您匕+%'匕）

2

—M一■A/（16）

將一元二次方程求出的兩個(gè)解分別代入上式求出各自的夾角，夾角小的

的荷載因子增量為所求的值?？砂凑帐剑?1）和（12）更新結(jié)構(gòu)的荷載水平

和位移向量。

1.3弧長(zhǎng)法的簡(jiǎn)化形式

上述弧長(zhǎng)法的求解過(guò)程，需要求解一元二次方程，計(jì)算量大，因此，為簡(jiǎn)化

計(jì)算，提出了另一種控制方程，用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，把弧長(zhǎng)不變

的條件改為向量X與向量始終保持正交，即滿足下列捽制方程：

叱?△“2=（）（z=l,2,3,...,n）（17）

寫(xiě)成矩陣形式為

｛△四｝「?囪J+%P『｛P｝=0

與前面的解法相同，可求解上述一元二次方程得

旎二｛“，｝7?3戶｝，

―｛△—｛—十一”｛P｝/｛P｝

相比之下，用上式求解方力容易多了，其余步驟完全同上述相關(guān)內(nèi)容。

1.4弧長(zhǎng)法的求解步驟

（1）對(duì)于第1個(gè)增量步（j=l）第1次迭代（i=i）分析,選定參考荷載｛P｝,即

確定了初始弧長(zhǎng)增量4。

（2）輸入期望迭代次數(shù)〃。；如果采用球面弧長(zhǎng)法，則輸入荷載參與比例系

數(shù)―。

（3）存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)初始切線剛度。

（4）在第/次增量步分析中，迭代流程如下。

①求解出｛△/｝。

②記錄迭代次數(shù)加=1,對(duì)結(jié)構(gòu)剛度矩陣進(jìn)行三角分解或計(jì)算“當(dāng)前剛度系

數(shù)”以判別矩陣是否正定。

③更新結(jié)構(gòu)的變形向量（碎上計(jì)算結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力箱梁仍（四）｝和非平衡力向

量修（e）｝。

④如果采用切線剛度迭代技術(shù)，則要根據(jù)當(dāng)前結(jié)構(gòu)的變形向量更新結(jié)構(gòu)剛

度矩陣；如果采用初始剛度迭代技術(shù)，則只需在每次增量分析中的初始

迭代中根據(jù)上一次增量結(jié)束時(shí)的結(jié)構(gòu)位移向量來(lái)更新結(jié)構(gòu)剛度即可，在

增量步中不用更新。

⑤計(jì)算和｛矽"若采用初始剛度迭代技術(shù)，｛矽以在整個(gè)增量步

迭代中為定值，不必重復(fù)計(jì)算。

⑥求解荷載因子增量法|。

⑦按式（4）計(jì)算｛明外，由式（11）、（12）更新當(dāng)前的荷載水平/和位

移向量（戲JO

⑧收斂性判別。如果滿足收斂準(zhǔn)則，則終止當(dāng)前增量步下的迭代進(jìn)城.，記

錄迭代次數(shù)進(jìn)入步驟⑨；如果不滿足收斂準(zhǔn)則，則需要繼續(xù)

迭代，記錄迭代次數(shù),“<=〃，+］，令iui+1，重復(fù)步驟④?⑧

⑨判別當(dāng)前荷載水平是否達(dá)到期望值或超過(guò)一定的增量步數(shù)。如是，則分

析結(jié)束，輸出數(shù)據(jù)；如不是，則令/U/+I,更新結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，

計(jì)算當(dāng)前增量步中的弧長(zhǎng)增量△，，返回步驟①。

2.弧長(zhǎng)法的適用范圍

弧長(zhǎng)法適用性很強(qiáng)，收斂性和穩(wěn)定性明顯好亍其他處理負(fù)剛度問(wèn)題的方法，

它既可以用于加工軟化結(jié)構(gòu)，也可以適用于加工硬化結(jié)構(gòu)，在非線性程度較高的

體系應(yīng)優(yōu)先考慮采用該方法。但是該方法的計(jì)算量很大，對(duì)一般非線性問(wèn)題，還

是建議選擇其他簡(jiǎn)單的方法。

3.弧長(zhǎng)法的評(píng)述

（1）弧長(zhǎng)法屬于雙重目標(biāo)控制方法，即在求解過(guò)程中同時(shí)控制荷載因子和位移

增量的步長(zhǎng)，從理論上來(lái)說(shuō)，任何方法都應(yīng)在極值點(diǎn)附近存在剛度奇異的問(wèn)題，

但是控制位移法和弧長(zhǎng)法中，迭代點(diǎn)正好落在極值點(diǎn)附近的概率很小，在現(xiàn)實(shí)中

很難遇見(jiàn)，除非遇到非線性程度很高的結(jié)構(gòu)體系。在分析混凝土開(kāi)裂的加工軟化

問(wèn)題時(shí)，偶爾也會(huì)在運(yùn)用弧長(zhǎng)法時(shí)出現(xiàn)一些問(wèn)題，如在應(yīng)用球面孤長(zhǎng)法時(shí)得不到

方程式的實(shí)數(shù)解，或應(yīng)用柱面弧長(zhǎng)法時(shí)在臨界點(diǎn)附近發(fā)散，找不到交點(diǎn)。

（2）弧長(zhǎng)法屬于自動(dòng)步長(zhǎng)法，只要給出一些控制參數(shù)，步長(zhǎng)由程序自動(dòng)計(jì)算，

此方法為當(dāng)前的主流計(jì)算方法。

（3）弧長(zhǎng)法中的荷載二曾量預(yù)測(cè)因子只是初步控制當(dāng)前荷載增量步的迭代過(guò)程，

不能完全準(zhǔn)確估計(jì)結(jié)構(gòu)迭代結(jié)束時(shí)的荷載水平，結(jié)構(gòu)最終的荷載水平是迭代結(jié)束

后