洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)值求解摘要洛倫茲系統(tǒng)作為混沌動力學的經(jīng)典模型，由氣象學家愛德華·洛倫茲于1963年提出，其簡潔的三階非線性微分方程組揭示出確定性系統(tǒng)中的復雜動力學行為，如蝴蝶效應(yīng)與奇異吸引子．本文聚焦于洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)值求解．闡述了洛倫茲方程組的基本形式．其次，介紹了利用歐拉方法、改進的歐拉方法、龍格-庫塔方法求解洛倫茲方程組的步驟，最后借助Matlab軟件，進行數(shù)值計算，結(jié)果表明：在經(jīng)典參數(shù)(a=10，b=，c=28)下，系統(tǒng)呈現(xiàn)出典型的蝴蝶型奇異吸引子結(jié)構(gòu)，其中歐拉方法雖具有算法簡單、易于編程實現(xiàn)的優(yōu)勢，但其一階精度導致數(shù)值誤差累積迅速，在長時間仿真中相圖及時序圖出現(xiàn)明顯失真；改進歐拉法雖將精度提升至二階，但對于洛倫茲系統(tǒng)這類高度非線性系統(tǒng)仍存在顯著誤差；而四階龍格-庫塔法憑借其高階精度特性，能精確捕捉系統(tǒng)動力學特征．參數(shù)敏感性分析表明：隨著參數(shù)a的增大，系統(tǒng)混沌特性逐漸衰減，此時對數(shù)值方法的精度要求顯著提高；初值敏感性實驗證實了系統(tǒng)對初值的極端敏感性．通過調(diào)整步長參數(shù)發(fā)現(xiàn)，當步長為0.05時相空間軌跡出現(xiàn)明顯畸變，而步長縮減至0.001時可清晰呈現(xiàn)吸引子精細結(jié)構(gòu)，其復雜的軌跡交織現(xiàn)象直觀反映了系統(tǒng)的非線性本質(zhì)．關(guān)鍵詞：Lorenz系統(tǒng)；數(shù)值求解；歐拉法；龍格-庫塔法

NumericalsolutionofLorentzsystemAbstract:TheLorenzsystem,asaclassicmodelofchaoticdynamics,wasproposedbymeteorologistEdwardLorenzin1963.Itsconcisethird-ordernonlineardifferentialequationsystemrevealscomplexdynamicalbehaviorsindeterministicsystems,suchasbutterflyeffectsandsingularattractors.ThisarticlefocusesonthenumericalsolutionoftheLorenzsystemandexplainsthebasicformoftheLorenzequationsystem.Secondly,thestepsofusingEulermethod,improvedEulermethod,andRungeKuttamethodtosolvetheLorenzequationsystemareintroduced.Finally,numericalcalculationsarecarriedoutusingMatlabsoftware,andtheresultsshowthatundertheclassicalparameters.Below,thesystempresentsatypicalbutterflyshapedstrangeattractorstructure.AlthoughtheEulermethodhastheadvantagesofsimplealgorithmandeasyprogrammingimplementation,itsfirst-orderaccuracyleadstorapidaccumulationofnumericalerrors,resultinginsignificantdistortionofphasediagramsandtimesequencediagramsinlong-termsimulations;AlthoughimprovingtheEulermethodtosecond-orderaccuracy,therearestillsignificanterrorsforhighlynonlinearsystemssuchasLorentzsystems;Thefourth-orderRungeKuttamethod,withitshigh-orderaccuracycharacteristics,canaccuratelycapturethedynamiccharacteristicsofthesystem.Parametersensitivityanalysisshowsthatastheparameteraincreases,thechaoticcharacteristicsofthesystemgraduallydecay,andtheaccuracyrequirementsfornumericalmethodsaresignificantlyincreased;Theinitialsensitivityexperimentconfirmedtheextremesensitivityofthesystemtoinitialvalues.Byadjustingthestepsizeparameter,itwasfoundthatwhenthestepsizeexceeded0.05,thephasespacetrajectoryshowedsignificantdistortion,whilewhenthestepsizewasreducedto0.001,thefinestructureoftheattractorcouldbeclearlypresented.ThecomplextrajectoryinterweavingphenomenondirectlyreflectsthenonlinearnatureofthesystemKeywords:Lorenzsystem;Numericalsolution;Eulermethod;RungeKuttamethod目錄1引言 12文獻綜述 22．1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 22．2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價 32．3提出問題 33洛倫茲系統(tǒng) 44數(shù)值方法 84．1歐拉方法 104．2改進歐拉法 114．3龍格-庫塔法 115數(shù)值算例 125．1數(shù)值算例一 135．2數(shù)值算例二 145．3數(shù)值算例三 155．4數(shù)值算例四 166結(jié)論 166．1主要發(fā)現(xiàn) 176．2啟示 186．3局限性 186．4努力方向 19參考文獻 201引言洛倫茲系統(tǒng)作為典型的非線性動力系統(tǒng)．該系統(tǒng)由一組非線性常微分方程構(gòu)成，雖然形式簡潔，卻蘊含著極為復雜的動力學行為，如混沌現(xiàn)象．混沌現(xiàn)象的存在使得系統(tǒng)的長期行為對初始條件極為敏感，初始條件的微小差異可能導致系統(tǒng)演化結(jié)果的巨大不同，這一特性也被形象地稱為“蝴蝶效應(yīng)”．由于洛倫茲方程的高度非線性特性，其解析解難以獲得．因此，數(shù)值求解成為研究洛倫茲系統(tǒng)動力學的主要手段．現(xiàn)有的數(shù)值方法(如歐拉法，改進歐拉法，龍格-庫塔法)在精度上存在顯著差異，而且參數(shù)（a，b，c）的微小變化也可能引發(fā)洛倫茲系統(tǒng)相空間結(jié)構(gòu)的根本性改變.因此，對比洛倫茲系統(tǒng)不同算法的數(shù)值求解，并探究參數(shù)擾動對混沌行為的影響可以深入了解系統(tǒng)的動力學行為．2文獻綜述2．1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀有關(guān)洛倫茲系統(tǒng)的研究內(nèi)容有很多，在文獻REF_Ref195435220\r\h[1]中，作者介紹了Lorenz吸引子并觀察初始條件的微小變化對繪制出的圖像產(chǎn)生的影響進行討論，文獻REF_Ref195435357\r\h[2]中，馬夢琪，余文慧等人介紹了Lorenz方程的參數(shù)在混沌區(qū)間和非混沌區(qū)間的隨機切換，最后實驗表面：Lorenz系統(tǒng)在參數(shù)隨機化的情況下仍然可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象．文獻REF_Ref195435380\r\h[3]-REF_Ref195435382\r\h[4]對洛倫茲系統(tǒng)的求解問題，進行構(gòu)造一組變分迭代，再決定系統(tǒng)的初始近似，最后通過迭代方法得到模型的近似解．文獻REF_Ref195435443\r\h[5]-REF_Ref195435446\r\h[8]闡述洛倫茲系統(tǒng)初值問題的幾種常用的數(shù)值解法,討論了某幾種方法的收斂性與穩(wěn)定性，并用Matlab分析Lorenz系統(tǒng)族的演化過程．文獻REF_Ref195435478\r\h[9]詳細介紹了洛倫茲方程數(shù)值解研究中需要知道的一些前提條件，如：步長、局部截斷誤差、收斂性和穩(wěn)定性．文獻REF_Ref195435502\r\h[10]-REF_Ref195435507\r\h[13]，介紹了很多的微分方程數(shù)值解法，其中微分方程部分主要以談?wù)摮踔祮栴}的有限差分方法為主，包括歐拉（Euler）方法、改進歐拉（Euler）法、龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法等數(shù)值解法，并借助Matlab軟件來編寫每種方法的程序，最終完成每種數(shù)值解法對方程的求解，并就某一個常微分方程的求解結(jié)果在穩(wěn)定性、收斂性和精度上進行了對比和分析，給出了每種解法的優(yōu)缺點．在介紹歐拉方法、改進歐拉法、龍格-庫塔方法等數(shù)值解法時，都會很詳細地講解方法的由來，以及解決問題的思想，總結(jié)了數(shù)值解法的一般步驟和具體形式，把一些問題最本質(zhì)的特點反應(yīng)出來．2．2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價洛倫茲系統(tǒng)因高度非線性和初值敏感性，其解析解難以獲取，數(shù)值求解成為研究該系統(tǒng)動力學行為的主要手段。近年來，國內(nèi)外學者針對其數(shù)值方法開展了廣泛研究：國內(nèi)研究側(cè)重于算法效率優(yōu)化與工程應(yīng)用，而國外更注重高精度守恒算法和不確定性量化.盡管已有成果顯著推動了混沌系統(tǒng)的數(shù)值分析，仍存在以下局限：其一，不同算法的精度對比多局限于短期模擬，缺乏長期誤差累積的定量研究；其二，初值敏感性分析多依賴單一參數(shù)擾動，對步長與初值協(xié)同影響系統(tǒng)相空間演化的機制尚未充分揭示.針對上述問題，本文比較數(shù)值算法的精度差異，結(jié)合初值及步長的改動，分析其對洛倫茲系統(tǒng)動力學特性的影響.2．3提出問題鑒于洛倫茲系統(tǒng)具有非線性、混沌等特性，本文聚焦于洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)值求解．利用歐拉法、改進歐拉法、龍格-庫塔法等數(shù)值方法對其進行求解并對比、分析計算結(jié)果．3洛倫茲系統(tǒng)洛倫茲系統(tǒng)的提出源于20世紀60年代氣象學家愛德華·洛倫茲（EdwardLorenz）對天氣預報的研究．當時，洛倫茲使用計算機模擬大氣對流現(xiàn)象時，發(fā)現(xiàn)了一個極為奇特的現(xiàn)象REF_Ref195435380\r\h[3]．他原本使用一組簡化的微分方程來描述大氣的熱對流過程，但在一次模擬中，他為了節(jié)省時間，將中間結(jié)果以近似值重新輸入計算機，卻得到了與之前截然不同的結(jié)果．這個意外的發(fā)現(xiàn)讓他意識到，即使是最微小的變化也可能會導致模型的預測結(jié)果出現(xiàn)巨大的偏差.為了更好地理解正在發(fā)生的事情，洛倫茲對所有這些天氣的方程式進行簡化，他想從這種奇怪的混沌行為中提取出本質(zhì)，之后經(jīng)過分解、截斷，便化為一個三維的常微分方程組：這個方程組現(xiàn)在被稱為洛倫茲方程組．其中x,y和z是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，t是時間，a，b，c是系統(tǒng)的參數(shù).這是一個非線性的動力學系統(tǒng)，它的行為取決于系統(tǒng)的初始條件和參數(shù).在經(jīng)典的洛倫茲系統(tǒng)中，這三個參數(shù)一般取為.雖然這個方程組的形式看起來相對簡單，但是它的解卻表現(xiàn)出了極其復雜的動態(tài)行為.用計算機模擬出上述方程組解的三維圖像，被稱作為洛倫茲吸引子，它是一個奇異的、有著獨特形狀的集合，像一個被扭曲的環(huán)面，被描述為“蝴蝶狀”.它是混沌系統(tǒng)最早和最著名的例子之一.洛倫茲吸引子的存在揭示了混沌系統(tǒng)的一個重要性質(zhì)，那就是吸引性.在某些條件下，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都會被吸引到這個奇異集合上，并在上面進行復雜的動態(tài)行為.這就是說，它不是一個簡單的幾何形狀，而是一個奇異的集合.無論系統(tǒng)的初始狀態(tài)是什么，它的狀態(tài)會在這個奇異集合上來回跳躍，無法預測它會在哪個位置停留更長的時間，或者它會何時從一個位置跳到另一個位置．這種行為就是混沌現(xiàn)象的一個典型特征.也是混沌現(xiàn)象的一個重要特性：即使是非常簡單的系統(tǒng)，也可能產(chǎn)生非常復雜的動態(tài)行為．由此可得混沌理論在理解和預測復雜系統(tǒng)方面具有重要意義.隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，對洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)值模擬和實驗研究也變得更加深入和廣泛．科學家們可以利用高性能計算機對洛倫茲系統(tǒng)進行大規(guī)模的數(shù)值模擬，從而更準確地研究系統(tǒng)的行為和特性．如今，洛倫茲系統(tǒng)已經(jīng)成為非線性科學研究中的一個經(jīng)典模型，它的研究不僅推動了相關(guān)學科的發(fā)展，也為解決實際問題提供了重要的理論基礎(chǔ)和方法．4數(shù)值方法本章節(jié)闡述了歐拉法，改進歐拉法，龍格-庫塔法對洛倫茲方程組求解的公式，這三種數(shù)值方法求解的基本思想是：在時間區(qū)域I=[a,b]上進行離散化，任取n+1個節(jié)點．將連續(xù)微分方程組轉(zhuǎn)化為離散變量的遞推問題.4．1歐拉法歐拉法是求解常微分方程初值問題中最簡單的數(shù)值方法．首先，將時間域[a,b]等距劃分為n+1個節(jié)點，時間步長，節(jié)點為，基于當前點的斜率來近似計算下一個時間步的數(shù)值解，在每個時間步長里，根據(jù)歐拉方法，得到遞推公式：通過不斷迭代，得到一系列的點，這些分別表示時刻的數(shù)值解，這些便構(gòu)成了三維空間中的一條離散軌跡．4．2改進歐拉法改進的歐拉公式主要步驟是先用歐拉公式求得一個預估值，這個值可能精度很差，于是就用梯形公式對它校正一次得，這個結(jié)果稱為校正值．這個方法不僅考慮了起點處的斜率，還考慮了下一個時間點的斜率.并取兩者的平均值來進行更新.具體步驟如下：（1）對于第步,使用顯式歐拉方法進行預測：這里的是預測的下一個時間步的狀態(tài)值．此時，從預測值的角度看，系統(tǒng)仍在三維空間中描述，維數(shù)為3.（2）進行校正：改進的歐拉法通過預測和校正兩個步驟，在一定程度上減小誤差，提高了求解的精確度．4．3龍格-庫塔法四階龍格-庫塔法是一種顯式單步數(shù)值方法，通過四階斜率加權(quán)平均提高精度，與改進歐拉法相比，龍格-庫塔法不僅在初始和終點估計斜率，還在中間的兩個點進行了額外的斜率估計，適用于求解高精度要求的非線性常微分方程．以下是龍格-庫塔方法具體計算公式：其中是最早計算的斜率，反映處的函數(shù)變化趨勢.是中間點處計算的斜率.中間點的斜率能夠更好地反映函數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)的變化情況，避免只關(guān)注起點或終點帶來的偏差.最后是在處計算的斜率，反映了終點處的變化趨勢.接下來具體表現(xiàn)為：在每一步計算中，系統(tǒng)的狀態(tài)始終用三維向量（x,y,z）表示，選擇作為步長是為了可以更好地捕捉時間段內(nèi)的信息，這樣可以提供一個更全面的斜率估計．5數(shù)值算例5．1數(shù)值算例一借助軟件，選取數(shù)值:,步長h=0.01，初值為(1,1,1)，分別采用歐拉法，改進歐拉法，龍格-庫塔法去求解洛倫茲系統(tǒng)，并畫出吸引子相圖和時間歷程圖進行分析．（b）y-z相平面（a）x-z（b）y-z相平面（a）x-z相平面(d)x-y-z相平面（c）x-y(d)x-y-z相平面（c）x-y相平面圖SEQ圖\*ARABIC1當a=10,b=,c=28時采用歐拉法的Lorenz吸引子相圖圖SEQ圖\*ARABIC2當a=10,b=,c=28時采用歐拉法的時序圖（b）y-z相平面（a）（b）y-z相平面（a）x-z相平面（d）x-y-z相平面（c）x-y相平面（d）x-y-z相平面（c）x-y相平面圖SEQ圖\*ARABIC3當a=10,b=,c=28時采用改進歐拉法的Lorenz吸引子相圖圖SEQ圖\*ARABIC4當a=10,b=,c=28時采用改進歐拉法的時序圖（b）y-z相平面（a）（b）y-z相平面（a）x-z相平面（d）x-y-z相平面（c）x-y（d）x-y-z相平面（c）x-y相平面圖SEQ圖\*ARABIC5當a=10,b=,c=28時采用龍格-庫塔法的Lorenz吸引子相圖圖SEQ圖\*ARABIC6當a=10,b=,c=28時采用龍格-庫塔法的時序圖REF_Ref197507338\h圖1至REF_Ref195432408\h圖6分別采用了歐拉法，改進歐拉法，龍格-庫塔法繪制出當a=10,b=,c=28,步長h=0.01，初值為(1,1,1)的相圖與時間歷程圖，而且都呈現(xiàn)出混沌吸引子特征：軌跡復雜且不重復，形成類似雙渦旋的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了系統(tǒng)動態(tài)行為的混沌性與內(nèi)在規(guī)律性，各平面軌跡形態(tài)差異反映了變量間不同的關(guān)聯(lián)特性．其中REF_Ref195432506\h圖1REF_Ref195648068\h圖2采用歐拉法繪制的Lorenz吸引子相圖和x,y,z變量的時序圖，時序圖的圖像劇烈波動且無周期性，展現(xiàn)了混沌系統(tǒng)對初始條件敏感、長期行為不可預測的特性，符合洛倫茲系統(tǒng)混沌狀態(tài)下變量隨時間演化的特征，盡管采用歐拉法存在一定數(shù)值誤差，但整體仍能體現(xiàn)混沌的無序與復雜動態(tài)．REF_Ref195684813\h圖3REF_Ref195432406\h圖4采用改進歐拉法繪制的Lorenz吸引子相圖和x,y,z變量的時序圖，其中x-z相平面呈現(xiàn)經(jīng)典的“蝴蝶翅膀”結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)洛倫茲吸引子的混沌特性.改進歐拉法的高精度會使軌跡更連續(xù)，減少歐拉法可能出現(xiàn)的階梯狀偽影．y-z相平面可能顯示圍繞中心點的旋轉(zhuǎn)軌跡，反映變量y和z的非線性耦合．改進方法會平滑高頻振蕩，避免數(shù)值發(fā)散．x-y相平面展現(xiàn)吸引子的對稱折疊特性．從時序圖可以觀察出改進歐拉法繪制的軌跡比歐拉法的平滑度有所提升．其中改進歐拉法通過預測-校正步驟，比一階歐拉法減少截斷誤差，避免因單步近似導致的鋸齒狀波動．REF_Ref197264593\h圖5REF_Ref195432408\h圖6采用龍格-庫塔法繪制的Lorenz吸引子相圖和x,y,z變量的時序圖，其中x-z相平面清晰呈現(xiàn)洛倫茲吸引子的經(jīng)典雙螺旋結(jié)構(gòu)，兩個“翅膀”交替環(huán)繞中心點，表明系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下的動態(tài)平衡．由于龍格-庫塔法的高精度，軌跡過渡平滑，無鋸齒狀波動，螺旋切換點的幾何對稱性顯著,y-z平面展示y與z變量的非線性耦合關(guān)系，軌跡形成復雜的環(huán)狀和交叉結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)混沌系統(tǒng)的不可預測性．x-y相平面蝴蝶型結(jié)構(gòu)完整，軌跡在x-y平面上對稱分布，中心區(qū)域密集，邊緣逐漸稀疏．從時序圖可以觀察出x(t),y(t),z(t)均呈現(xiàn)完全非周期性變化，無重復模式，符合洛倫茲系統(tǒng)對初值敏感的混沌特性，時序圖中微小的初始擾動會被指數(shù)級放大，導致相鄰軌跡快速分離．其中x(t)與y(t)的振蕩相位差異明顯，而z(t)的變化滯后于x(t)和y(t)．綜上所述，當a=10,b=,c=28時分別使用歐拉法，改進歐拉法及龍格庫塔法求解得到Lorenz吸引子相圖和時間歷程圖,首先采用的歐拉方法原理簡單、計算簡便，易于理解和編程實現(xiàn)，適合初步了解洛倫茲系統(tǒng)數(shù)值求解概念．但其精度低，數(shù)值誤差積累快，長時間模擬時結(jié)果偏差大，導致相圖和時序圖準確性欠佳．其次改進歐拉法精度高于歐拉法，能一定程度減少誤差積累，相對簡單且計算量增加不大．但仍存在誤差，對于高度復雜的洛倫茲系統(tǒng)，精度提升有限，無法滿足高精度研究需求．最后采用的是龍格-庫塔法擁有高精度，能更準確模擬洛倫茲系統(tǒng)，相圖軌跡和時序圖變化更接近真實動力學行為，數(shù)值穩(wěn)定性好，誤差積累慢相對較慢．5．2數(shù)值算例二借助Matlab軟件，選取數(shù)值：a=61.8,b=,c=28．步長h=0.01，初值為(1,1,1)，分別采用歐拉法，改進歐拉法，龍格-庫塔法的數(shù)值解法求解洛倫茲系統(tǒng)，畫出吸引子相圖和時間歷程圖進行分析．（a）x-z相平面（b）（a）x-z相平面（b）y-z相平面（d）x-y-z相平面（d）x-y-z相平面（c）x-y相平面圖SEQ圖\*ARABIC7當a=61.8,b=,c=28時采用歐拉法的Lorenz吸引子相圖圖SEQ圖\*ARABIC8當a=61.8,b=,c=28時采用歐拉法的時序圖（b）y-z相平面（a）（b）y-z相平面（a）x-z相平面（d）x-y-z相平面（d）x-y-z相平面（c）x-y相平面圖SEQ圖\*ARABIC9當a=61.8,b=,c=28時采用改進歐拉法的Lorenz吸引子相圖圖SEQ圖\*ARABIC10當a=61.8,b=,c=28時采用改進歐拉法的時序圖（b）y-z相平面（a）（b）y-z相平面（a）x-z相平面（d）x-y-z相平面（d）x-y-z相平面（c）x-y相平面圖SEQ圖\*ARABIC11當a=61.8,b=,c=28時采用龍格-庫塔法的Lorenz吸引子相圖圖SEQ圖\*ARABIC12當a=61.8,b=,c=28時采用龍格-庫塔法的時序圖REF_Ref195820588\h圖7至REF_Ref195432136\h圖12分別采用了歐拉法，改進歐拉法，龍格-庫塔法繪制a=61.8,，c=28，步長h=0.01，初值為(1,1,1)的相圖與時間歷程圖，各平面軌跡形態(tài)差異反映了變量間不同的關(guān)聯(lián)特性．其中REF_Ref195820588\h圖7REF_Ref195432224\h圖8展示了歐拉法下Lorenz吸引子在不同平面的投影和x,y,z變量的時序圖，圖形結(jié)構(gòu)相對較為粗糙，軌跡的細節(jié)呈現(xiàn)不夠精確，x-z平面軌跡偏離理論衰減曲線，顯示一階方法對剛性系統(tǒng)的適應(yīng)性差．REF_Ref195867150\h圖9REF_Ref195432133\h圖10是改進歐拉法得到的吸引子投影和x,y,z變量的時序圖，相比歐拉法，收斂過程平滑，但從REF_Ref195432133\h圖10可以觀察出達到平衡態(tài)所需時間較長，表明二階方法對穩(wěn)定性的提升有限．說明改進歐拉法在精度上優(yōu)于歐拉法，能更好地捕捉吸引子的特征．REF_Ref197254595\h圖11REF_Ref195432136\h圖12是龍格-庫塔法得到的吸引子投影和x,y,z變量的時序圖．龍格-庫塔法是一種高階數(shù)值方法，相比歐拉法，其截斷誤差更小，能更精確地求解洛倫茲系統(tǒng)的常微分方程．從相圖看，軌跡更接近真實的洛倫茲吸引子形狀，能更準確展現(xiàn)系統(tǒng)的動力學特征，從時序圖看，變量隨時間的變化更精準，波動和趨勢更符合理論預期，數(shù)值穩(wěn)定性更好，長時間模擬時誤差積累相對較少．直觀體現(xiàn)系統(tǒng)對初始條件的敏感性和非周期性．時序圖能準確刻畫變量的復雜變化，展示出系統(tǒng)內(nèi)在的無序性．綜上，數(shù)值算例一和數(shù)值算例二的數(shù)據(jù)分別使用歐拉法，改進歐拉法及龍格庫塔法求解得到,數(shù)值算例二在數(shù)值算例一的基礎(chǔ)上變化了a的參數(shù)，其中歐拉法精度低，誤差積累快，長時間模擬時相圖軌跡和時序圖偏離真實行為．而改進歐拉法精度高于歐拉法，計算量增加有限，能部分抑制誤差積累．但對洛倫茲系統(tǒng)的復雜動態(tài)仍存在較大誤差，無法滿足高精度需求.龍格-庫塔法的誤差積累緩慢，在a=61.8時仍能保持可靠性．但對數(shù)值方法精度要求顯著提升，而龍格-庫塔法憑借高精度，能穩(wěn)定呈現(xiàn)復雜相圖與時序變化，驗證參數(shù)a變化后的系統(tǒng)特性．5．3數(shù)值算例三借助Matlab軟件，選取數(shù)值:a=10,b=,c=28,步長h=0.01對比初值（1,1.2,1）和初值(1.00001,1.2,1)．采用龍格-庫塔法畫出吸引子相圖和時間歷程圖分析改變初值軌跡變化的情況.初值為（1.00001,1.2初值為（1.00001,1.2,1）的x-z相平面初值為（1,1.2,1）的x-z相平面初值為（1.00001初值為（1.00001,1.2,1）的y-z相平面初值為（1,1.2,1）的y-z相平面初值為（1.00001,初值為（1.00001,1.2,1）的x-y相平面初值為初值為（1,1.2,1）的x-y相平面初值為（1.00001,1.2,1）初值為（1.00001,1.2,1）的x-y-z相平面初值為（1,1.2,1）的x-y-z相平面圖SEQ圖\*ARABIC13對比初值（1,1.2,1）和（1.00001,1.2,1）時采用龍格-庫塔法的Lorenz吸引子相圖初值為（1.00001,1.2初值為（1.00001,1.2,1）時x軸隨時間的變化初值（1,1.2,1）時x軸隨時間的變化初值為（1.00001,1.2初值為（1.00001,1.2,1）時y軸隨時間的變化初值（1,1.2,1）時y軸隨時間的變化初值為（1.00001初值為（1.00001,1.2,1）時z軸隨時間的變化初值（1,1.2,1）時z軸隨時間的變化圖SEQ圖\*ARABIC14對比初值（1,1.2,1）和（1.00001,1.2,1）時采用龍格-庫塔法的時序圖從REF_Ref197256125\h圖13中看，初值（1,1.2,1）和初值（1.00001,1.2,1）都呈現(xiàn)出典型的蝴蝶形奇異吸引子結(jié)構(gòu)，這是洛倫茲系統(tǒng)混沌特性的直觀體現(xiàn)．盡管初值僅發(fā)生了微小擾動，從（1,1.2,1）變?yōu)椋?.00001,1.2,1），但軌跡在相圖中的具體路徑與其他初值情況相比有明顯差異，體現(xiàn)了洛倫茲系統(tǒng)對初始條件的高度敏感性．在不同的x-z,y-z,x-y相平面上，吸引子的輪廓和軌跡分布展示了系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的復雜關(guān)聯(lián)．其中吸引子的存在表明系統(tǒng)在長時間演化下，軌跡會被限制在特定的幾何形狀內(nèi)，進行非周期的纏繞運動．然而軌跡的永不相交且在有限區(qū)域內(nèi)持續(xù)纏繞，體現(xiàn)了系統(tǒng)的非周期性和對初始條件的敏感性．微小的初始條件變化，都會使軌跡在相空間中迅速偏離，分反映了“蝴蝶效應(yīng)”從REF_Ref195431925\h圖14的時序圖可以看出，初值（1,1.2,1）和初值（1.00001,1.2,1）的變量x(t),y(t),z(t)呈現(xiàn)出復雜無規(guī)則的波動．波動沒有明顯的周期規(guī)律，表明系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化是高度不確定的，這與相圖中體現(xiàn)的混沌特性相呼應(yīng)．綜上可得，在參數(shù)a=10,b=,c=28下，初值為（1,1.2,1）與（1.00001,1.2,1）時，相圖均呈現(xiàn)出典型的蝴蝶形奇異吸引子結(jié)構(gòu)，但觀察后可得出不同初值會使變量的波動起始狀態(tài)和后續(xù)演化路徑不同，進一步說明初值條件對系統(tǒng)行為的重要影響．即使初值只有微小差異，隨著時間推移，變量的波動幅度和相位也會逐漸產(chǎn)生顯著區(qū)別，強化了洛倫茲系統(tǒng)對初值敏感的特性．5．4數(shù)值算例四借助Matlab軟件，選取:a=10,b=,c=28,初值為(1,1,1)．采用龍格-庫塔法對比步長h=0.05和步長h=0.001畫出吸引子相圖和時間歷程圖分析改變步長軌跡變化的情況．h=0.001的x-zh=0.001的x-z相平面h=0.05的x-z相平面hh=0.05的y-z相平面h=0.001的y-z相平面h=h=0.05的x-y相平面h=0.001的x-y相平面h=0.001的h=0.001的x-y-z相平面h=0.05的x-y-z相平面圖SEQ圖\*ARABIC15對比步長h=0.05和步長h=0.001時的洛倫茲吸引子相圖h=0.001時xh=0.001時x軸隨時間的變化h=0.05時x軸隨時間的變化h=0.001時yh=0.001時y軸隨時間的變化h=0.05時y軸隨時間的變化h=0.001h=0.001時軸隨時間的變化h=0.05時z軸隨時間的變化圖SEQ圖\*ARABIC16對比步長h=0.05和步長h=0.001時采用龍格-庫塔法的時序圖從REF_Ref197257321\h圖15中可以觀察出步長h=0.05和步長h=0.001的x-z相平面都吸引子呈現(xiàn)出蝴蝶形的輪廓，軌跡緊密纏繞，體現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌特性．但在步長h=0.05下，軌跡出現(xiàn)了因步長過大導致粗燥的情況．而步長h=0.001時得到的軌跡細節(jié)豐富，能夠精準地反映系統(tǒng)在x-z方向上的演化關(guān)系，接下來的y-z相平面的吸引子也都呈現(xiàn)出類似的雙渦旋結(jié)構(gòu)，軌跡在相平面內(nèi)非周期性地環(huán)繞，但是步長h=0.05時的軌跡也出現(xiàn)了因步長過大導致的粗糙的情況．最后從x-y相平面的吸引子顯示出變量x與y間的演化關(guān)系，軌跡的交織與纏繞直觀體現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌本質(zhì)．從REF_Ref195431795\h圖16的時序圖可以觀察到步長h=0.05和步長h=0.001的變量軸隨時間呈現(xiàn)出無規(guī)則的劇烈波動，波動幅度在-20到20間變化，無明顯周期性的變化．在步長h=0.05下，波動曲線相對平滑，未出現(xiàn)因步長過大導致的“鋸齒狀”高頻噪聲，y軸隨時間的波動與x軸隨時間的波動類似，反映了系統(tǒng)變量間的耦合性．波動的無規(guī)律性進一步印證了系統(tǒng)的混沌屬性．最后z軸隨時間的波動幅度較大，且無固定周期．然而在步長h=0.001的時序圖中我們可以以極高的精度捕捉了洛倫茲系統(tǒng)變量的混沌波動特征．龍格-庫塔法的高階精度在小步長下發(fā)揮得淋漓盡致，確保了變量隨時間演化的連續(xù)性、準確性和細膩性．綜上，在參數(shù)a=10,b=,c=28下，初值為(1,1,1)時，對比不同的步長h=0.05與h=0.001可得，相圖都呈現(xiàn)洛倫茲吸引子的經(jīng)典蝴蝶形結(jié)構(gòu)，但步長h=0.05的軌跡細節(jié)豐富度略遜于步長h=0.001，并且觀察出步長h=0.001在相圖和時序圖上均展現(xiàn)出更高精度，而步長h=0.05時雖細節(jié)稍遜，但核心特征保留．最后通過改變步長觀察到吸引子呈現(xiàn)軌跡的交織與纏繞直觀體現(xiàn)了系統(tǒng)的非線性與混沌本質(zhì)．能夠捕捉到軌跡的微小變化，進一步揭示了洛倫茲系統(tǒng)的復雜動力學行為．6總結(jié)6．1主要發(fā)現(xiàn)本文聚焦于洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)值求解，在研究過程中，探討了洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)值算法的實現(xiàn)與精度的對比，其中歐拉法的計算簡單，但精度低，穩(wěn)定性差.改進歐拉法精度高于歐拉法，能一定程度減少誤差積累，相對簡單且計算量增加不大．但仍存在誤差，對于高度復雜的洛倫茲系統(tǒng)，精度提升有限，無法滿足高精度研究需求．龍格-庫塔法擁有高精度，能更準確模擬洛倫茲系統(tǒng)，相圖軌跡和時序圖變化更接近真實動力學行為，數(shù)值穩(wěn)定性好，誤差積累慢相對較慢．接下來改變初值觀察三維相空間軌跡呈現(xiàn)的相圖的變化，結(jié)果表明即使初值只有微小差異，隨著時間推移，變量的波動幅度和相位也會逐漸產(chǎn)生顯著區(qū)別.最后通過改變步長觀察到吸引子呈現(xiàn)軌跡的交織與纏繞直觀體現(xiàn)了系統(tǒng)的非線性與混沌本質(zhì)．能夠捕捉到軌跡的微小變化，