廣東省六校聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故選：D.2.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)圖像的，則D選項(xiàng)正確.故選：D.3.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，即，所以.故選：B.4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因函數(shù)為上的遞增函數(shù)，則，即，則；因函數(shù)為上的遞增函數(shù)，則，即，則，則.故選：.5.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，即，所以公差，故選：A.6.已知函數(shù)在處取得極大值，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題設(shè)，則，可得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，則在和上遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，此時(shí)在處取得極小值，不符；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，則在和上遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，此時(shí)在處取得極大值，符合；綜上，.故選：C.7.已知，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，可得，則有，且，于是，因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，即甲是乙的充分條件；若取，則，而，即甲不是乙的必要條件，故甲是乙的充分不必要條件.故選：A.8.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，若關(guān)于對稱，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為：，設(shè)，則，，即，，，，當(dāng)，即時(shí)，切線方程為：，與有唯一交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，知為一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，，又，；不妨令，代入得：，設(shè)，則，，；則當(dāng)時(shí)，等號成立，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知樣本數(shù)據(jù)，，則（）A.若樣本數(shù)據(jù)的極差為，則樣本數(shù)據(jù)的極差為B.若樣本數(shù)據(jù)的平均值為，則樣本數(shù)據(jù)的平均值為C.若樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，則樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則樣本數(shù)據(jù)的方差為【答案】AC【解析】對于A，設(shè)樣本數(shù)據(jù)中，最大值為，最小值為，則，由于在上單調(diào)遞增，故樣本數(shù)據(jù)中，最大值為，最小值為，故，則樣本數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，由平均數(shù)的性質(zhì)可得樣本數(shù)據(jù)的平均值為，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)眾數(shù)的定義可得，樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故C正確.對于D，根據(jù)方差的性質(zhì)，樣本數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值為【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域是.選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，即最大值，最大值為.所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知某撲克牌置換游戲，規(guī)則為：從一副撲克牌中選出張，張，其中張和張裝在不透明的袋中，剩余的張作為置換牌．現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出一張撲克牌，若取出，則把它放回袋中；若取出，則該撲克牌不再放回，并從置換牌中選擇一張放入袋中．如此操作若干次，直到將袋中的全部置換為，則游戲結(jié)束．記事件“在操作次后，恰好將袋中的全部取完．”為，且，則下列說法正確的是（）A.在操作次后，袋中還有張的概率為B.在操作次后，袋中恰有張的概率為C.D.【答案】BCD【解析】若操作前袋中還有兩張，則經(jīng)過一次操作后，袋中還有張的概率為，還有張的概率為.若操作前袋中還有一張，則經(jīng)過一次操作后，袋中還有張的概率為，還有張的概率為.因此，在操作次后，袋中還有張的概率為，故錯(cuò)誤.在操作次后，袋中還有張的概率為，故正確.記事件“在操作次后，袋中只有一張”為，且.根據(jù)題意，經(jīng)過操作次后，袋中的恰好取完的概率為，則.而經(jīng)過次操作后，袋中還有張的概率為，故經(jīng)過次操作后，袋中還有張的概率.因此，經(jīng)過次操作后，袋中的恰好取完的概率，故正確.對數(shù)列有遞推公式.設(shè)該遞推公式可化簡為，解得.所以，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，其中.因此，，即，則，而，故正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________．【答案】15【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，由得，，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：15.13.已知，且，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，且，則，可得，所以.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意，函數(shù)將函數(shù)在上的圖象向右、向下平移1個(gè)單位可得函數(shù)在時(shí)的圖象，再向右、向下平移1個(gè)單位可得函數(shù)在時(shí)的圖象，繼續(xù)向右、向下平移1個(gè)單位可得函數(shù)在時(shí)的圖象，，如圖可得函數(shù)的圖象，令，即，因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與在區(qū)間上恰有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與在區(qū)間上都有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需函數(shù)的圖象與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與在區(qū)間上有1個(gè)交點(diǎn)再求函數(shù)斜率為的切線，導(dǎo)數(shù)為，令，得，則切點(diǎn)為，代入，可得，所以時(shí)，函數(shù)的圖象與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，這樣函數(shù)的圖象與在區(qū)間上恰有個(gè)交點(diǎn).故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求實(shí)數(shù)；（2）求使成立的的取值集合.【答案】解：（1）由題得，所以函數(shù)的最大值為，所以，即.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】解：（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，所以，即，又因?yàn)?，可得，即，所以，所以?shù)列為以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，所以，可得，則.17.中國抗日戰(zhàn)爭勝利周年閱兵儀式既彰顯了我國強(qiáng)大的軍事實(shí)力，也顯示我國強(qiáng)勁的軍工制造能力．已知某國產(chǎn)軍工零件成箱包裝，每箱個(gè)，每一箱零件工廠在交付前要對其進(jìn)行檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)的方式為：先從這箱零件中任取個(gè)作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有零件作檢驗(yàn)．設(shè)每個(gè)零件為不合格品的概率均為，且各零件是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）求個(gè)零件中恰有個(gè)不合格品的概率；（2）現(xiàn)有一箱零件已經(jīng)檢驗(yàn)了個(gè)，并對不合格品做了更換．已知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若剩余的零件中有不合格品進(jìn)行了交付，則工廠要對每個(gè)不合格品支付元的賠償費(fèi)用．以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有零件作檢驗(yàn)？請說明你的理由．【答案】解：（1）記事件：“個(gè)零件恰有個(gè)不合格品”，則，即個(gè)零件恰有個(gè)不合格品的概率為.（2）設(shè)為余下個(gè)零件中的不合格品的個(gè)數(shù)，則；①若不對該箱余下的零件作檢驗(yàn)，這一箱零件的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和記為，則，；②若對該箱余下的零件作檢驗(yàn)，則這一箱零件所需的檢驗(yàn)費(fèi)用為元；，應(yīng)對這箱余下的所有零件作檢驗(yàn).18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，若，求證：．【答案】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，令，①當(dāng)時(shí)，即，有，即在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，即，方程兩根分別為．當(dāng)時(shí)，因，即，則，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易得，且，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）解：方法一：直接研究函數(shù)單調(diào)性由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，使得，不符合題意.綜上所述，可得；方法二：端點(diǎn)效應(yīng)令求導(dǎo)得，，①當(dāng)時(shí)，，令，則，設(shè)，因，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則即，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，從而，則成立；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即（即）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因，當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，從而，這與已知條件矛盾，故.（3）證明：由題意可得，得，因此，由，可得，令，則，可得，則要證，只需證，即證：當(dāng)時(shí)，.由（1）可知，時(shí)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故得證.19.楊輝三角是由組合數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)表，其第行的第個(gè)數(shù)可以表示為組合數(shù)，該數(shù)表有很多性質(zhì)，如第行的所有數(shù)之和為.現(xiàn)構(gòu)造如圖所示的三角形數(shù)表，中的第行的第個(gè)數(shù)為排列數(shù)，其中，且．（1）求的值.（2）記的第行所有數(shù)的和為．（i）若，使得數(shù)列滿足：，，則稱為級凸數(shù)列.判斷數(shù)列是否為級凸數(shù)列？若是，請求出的