2025年專升本理工科專業(yè)電磁場(chǎng)理論試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.真空中，一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流I，在距離導(dǎo)線2a處，放置一矩形線圈，線圈與導(dǎo)線共面，其長(zhǎng)邊平行于導(dǎo)線，且靠近導(dǎo)線的長(zhǎng)邊距離導(dǎo)線a，遠(yuǎn)離導(dǎo)線的長(zhǎng)邊距離導(dǎo)線3a。若導(dǎo)線電流方向垂直紙面向外，則矩形線圈所圍平面內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿逆時(shí)針?lè)较虻沫h(huán)流為（）。A.μ?I/2πB.μ?I/πC.-μ?I/2πD.-μ?I/π2.真空中，一個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球帶有電荷Q，其電勢(shì)為U?（以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)）。若將其電荷量緩慢減少到Q/2，則球表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度大小將（）。A.不變B.減為原來(lái)的一半C.減為原來(lái)的1/√2D.無(wú)法確定3.一平行板電容器，極板面積為S，間距為d，極板間充滿介電常數(shù)為ε、相對(duì)磁導(dǎo)率為μr的均勻介質(zhì)。當(dāng)兩極板間電壓為U時(shí)，電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為（）。A.ε?U2S/(2d)B.εU2S/(2d)C.ε?μrU2S/(2d)D.εμrU2S/(2d)4.真空中，一電偶極子p放在均勻電場(chǎng)E中，其電偶極矩p與E的夾角為θ。若電偶極子所受的力矩大小為τ?，則E的大小為（）。A.τ?/pB.τ?/(psinθ)C.τ?/(pcosθ)D.p/τ?5.下列哪個(gè)物理量是標(biāo)量？（）A.位移B.速度C.磁感應(yīng)強(qiáng)度D.電勢(shì)二、填空題（每小題4分，共20分。將答案填在題中的橫線上）6.真空中，一條通過(guò)原點(diǎn)的直線電荷，電荷線密度λ沿x軸正方向，則x軸上x=a處（a>0）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=____________。7.一電場(chǎng)強(qiáng)度為E的均勻電場(chǎng)中，放置一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正立方體，其表面法線方向與E的方向一致。則穿過(guò)此立方體的電通量ΦE=____________。8.真空中，一電偶極子p在均勻電場(chǎng)E中，其軸線與E垂直，則該電偶極子所受的合力F=____________。9.根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，一閉合回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε的大小等于____________對(duì)時(shí)間的變化率的負(fù)值。10.麥克斯韋方程組中，描述磁場(chǎng)變化與電場(chǎng)產(chǎn)生關(guān)系的方程是____________（請(qǐng)寫出方程的完整形式）。三、計(jì)算題（共5小題，共55分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、方程式和重要演算步驟。只寫出最后答案的不能得分。）11.（10分）真空中，一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體，沿其軸線通有均勻分布的電流I。求：（1）圓柱體內(nèi)（r<R）距離軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。唬?）圓柱體表面（r=R）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。12.（10分）真空中，一個(gè)半徑為R的均勻帶電球體，總電荷量為Q，其介電常數(shù)為ε。求：（1）球體內(nèi)（r<R）距離球心r處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；（2）球體外（r>R）距離球心r處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小。13.（10分）一平行板電容器，極板面積為S，間距為d，極板間充滿介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。若將電容器與一電壓為U的電源連接，穩(wěn)定后斷開(kāi)電源，然后將介電質(zhì)緩慢抽出，直到極板間為真空。求：（1）抽出全部介電質(zhì)過(guò)程中，電容器極板上的電荷量如何變化？（請(qǐng)說(shuō)明是增加還是減少，并解釋原因）；（2）抽出全部介電質(zhì)前后，電容器儲(chǔ)存的能量之比是多少？14.（15分）真空中，一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流I，旁邊放置一個(gè)與其共面的矩形線圈，線圈邊長(zhǎng)分別為a和b，且靠近導(dǎo)線的兩個(gè)頂點(diǎn)與導(dǎo)線的距離分別為d和d+a。若導(dǎo)線電流方向垂直紙面向外，求：（1）矩形線圈所受的磁力矩M；（2）若線圈是可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的，它將如何轉(zhuǎn)動(dòng)？15.（10分）根據(jù)麥克斯韋方程組推導(dǎo)真空中電磁波的波動(dòng)方程。假設(shè)電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B都只是時(shí)間和空間的函數(shù)，且滿足無(wú)源條件（ρ=0，J=0）。請(qǐng)導(dǎo)出電場(chǎng)強(qiáng)度E滿足的偏微分方程。試卷答案1.A2.C3.D4.C5.D6.μ?λ/(2πa)7.Ea28.09.磁通量10.?×E=-?B/?t11.(1)B=μ?Iρ/(2πR2)*r，其中ρ=I/(πR2)為體電荷密度解析思路：利用安培環(huán)路定律∮B·dl=μ?I_enc。在半徑為r的圓環(huán)路徑上，內(nèi)部包圍的電流I_enc=ρπr2=Ir2/R2。代入安培環(huán)路定律，B*2πr=μ?Ir2/R2，解得B=μ?Iρ/(2πR2)*r。(2)B=μ?I/(2πR)解析思路：利用安培環(huán)路定律∮B·dl=μ?I_enc。在半徑為R的圓環(huán)路徑上，內(nèi)部包圍的電流I_enc=I。代入安培環(huán)路定律，B*2πR=μ?I，解得B=μ?I/(2πR)。12.(1)E=Qρ/(4πεr2)=Q/(4πεR3)*r，其中ρ=Q/(πR3)為體電荷密度解析思路：利用高斯定律∮E·dA=Q_enc/ε。在半徑為r的球面高斯面上，內(nèi)部包圍的電荷Q_enc=ρ(4/3)πr3=Qr3/R3。代入高斯定律，E*4πr2=Qr3/(εR3ε)，解得E=Q/(4πεR3)*r。注意r<R。(2)E=Q/(4πεr2)解析思路：利用高斯定律∮E·dA=Q_enc/ε。在半徑為r的球面高斯面上，內(nèi)部包圍的電荷Q_enc=Q。代入高斯定律，E*4πr2=Q/(ε)，解得E=Q/(4πεr2)。注意r>R。13.(1)電荷量減少解析思路：電容器極板電荷量Q=CE。斷開(kāi)電源后，極板電壓U保持不變。當(dāng)介電質(zhì)從ε被替換為真空（ε'=ε?），電容C減小（C'=ε'S/d=ε?S/d=C/ε）。由于電壓U不變，Q'=C'E=C'(U)=(C/ε)U=(Q/ε)U，所以Q'<Q。因此，抽出全部介電質(zhì)過(guò)程中，電容器極板上的電荷量減少。(2)比值為ε/ε?解析思路：電容器儲(chǔ)存的能量W=1/2CV2。斷開(kāi)電源后，電壓U不變。抽出全部介電質(zhì)前后，電容關(guān)系為C'=ε?S/d=C/ε。因此，能量之比為W'/W=(1/2C'U2)/(1/2CU2)=C'/C=(C/ε)/C=1/ε=ε?/ε。14.(1)M=μ?Iab2/(2π(d2+a(d+a)))解析思路：矩形線圈受的磁力矩M=N*I*A*E×n?，其中N為匝數(shù)（此處為1），I為電流，A為線圈面積，E為有效磁感應(yīng)強(qiáng)度，n?為單位正法線向量。有效磁感應(yīng)強(qiáng)度E是由于左側(cè)電流在右側(cè)產(chǎn)生的B，B=μ?I/(2πd)（方向垂直紙面向里）。線圈面積A=ab。線圈正法線n?方向垂直紙面向里（與B同向）。因此，M=I*ab*(μ?I/(2πd))*(n?×n?)=0。但這是指線圈平面與B平行的情況。更準(zhǔn)確的方法是考慮兩個(gè)邊受的力。長(zhǎng)邊bc（長(zhǎng)度為b，距離為d）受的力大小F?=I*b*B=μ?I2b/(2πd)，方向向左。長(zhǎng)邊ad（長(zhǎng)度為b，距離為d+a）受的力大小F?=I*b*B=μ?I2b/(2π(d+a))，方向向右。這兩個(gè)力大小不等，方向相反，構(gòu)成力偶。力臂為a。力偶矩M=(F?-F?)*a/2=[μ?I2b/(2πd)-μ?I2b/(2π(d+a))]*a/2=μ?Iab2/[(4πd(d+a))].（另一種常見(jiàn)解法：考慮對(duì)過(guò)中心且平行于長(zhǎng)邊的軸的力矩，左側(cè)邊受力F_L=μ?Ia/(2πd)，力臂L=a/2，力矩方向順時(shí)針；右側(cè)邊受力F_R=μ?Ia/(2π(d+a))，力臂L=a/2，力矩方向逆時(shí)針?？偭豈=F_L*a/2-F_R*a/2=[μ?Ia/(2πd)-μ?Ia/(2π(d+a))]*a/2=μ?Ia2b/[(4πd(d+a))]。兩種解法結(jié)果可能因選取參考軸或等效方法不同而形式不同，但物理意義一致。此處采用第一種形式）。(2)線圈將逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（從上方看），趨向于其法線方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向一致。解析思路：根據(jù)磁力矩的方向，可知線圈會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，使其正法線方向（即磁場(chǎng)方向）與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向（垂直紙面向里）一致。因此，線圈將逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。15.?2E/?t2=1/μ?ε??2E/?x2解析思路：從麥克斯韋方程組?B/?t=-?×E和?×B=μ?ε??E/?t出發(fā)。對(duì)第一個(gè)方程兩邊取旋度，得到?×(?B/?t)=-?×(?×E)=-?2E（由于E的無(wú)散性?·E=0，所以?×(?×E)=?(?·E)-?2E=-?2E）。將第二個(gè)方程代入，得到?×(?B/?t)=?×(μ?ε??E/?t)=μ?ε??(?×E)/?t。結(jié)合這兩個(gè)結(jié)果，得到?2E=-μ?ε??(?×E)/?t。將第一個(gè)方程代入，得到?2E=-μ?ε??(-?B/?t)/?t=μ?ε??2B/?t2。在真空中，由于?·B=0，?×B=μ?ε??E/?t可推導(dǎo)出?2B/?t2=1/μ?ε??2B/?x2（假設(shè)波動(dòng)沿x方向傳播，且E和B只是x和t的函數(shù)）。代入上式，得到?2E=μ?ε?*(1/μ?ε?)*?2B/?t2=?