第3章第2節(jié)第4課時利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）教案課題：課時：1授課時間：2025教學(xué)內(nèi)容第3章第2節(jié)第4課時利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

本節(jié)課內(nèi)容來自2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）中的第3章第2節(jié)，主要涉及導(dǎo)數(shù)在研究不等式恒成立問題中的應(yīng)用。具體內(nèi)容包括：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題的基本步驟，通過構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、分析導(dǎo)數(shù)符號、解不等式等步驟，引導(dǎo)學(xué)生掌握解決此類問題的方法。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解導(dǎo)數(shù)在解決不等式恒成立問題中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力；學(xué)會運(yùn)用導(dǎo)數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)建模能力；通過直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算，加深對導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的理解，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在此前的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本概念和性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本方法。此外，學(xué)生對不等式的性質(zhì)和解法也有一定的了解。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高三學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍持有較高的熱情，尤其是對數(shù)學(xué)競賽和高考備考有較強(qiáng)的動力。他們的數(shù)學(xué)能力相對較強(qiáng)，能夠獨立完成一定難度的數(shù)學(xué)題目。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，大部分學(xué)生偏好通過邏輯推理和抽象思維解決問題，但也有部分學(xué)生更傾向于直觀想象和具體操作。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在研究不等式恒成立問題時，學(xué)生可能對如何構(gòu)造合適的函數(shù)模型感到困惑，對導(dǎo)數(shù)與不等式之間的聯(lián)系理解不夠深入。此外，學(xué)生在處理復(fù)雜的不等式時，可能會遇到計算量較大、步驟繁瑣的問題，這需要學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和耐心。同時，部分學(xué)生可能在邏輯推理和抽象思維方面存在不足，需要教師給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和幫助。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生擁有2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）教材，以便跟隨教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與不等式恒成立問題相關(guān)的函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)符號變化圖表，以及解決此類問題的示例視頻。

3.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，提供白板或投影儀展示教學(xué)內(nèi)容，并確保實驗操作臺（如有）的整潔和安全。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對不等式恒成立問題的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到過需要證明不等式恒成立的問題嗎？”

展示一些實際生活中的不等式問題，如經(jīng)濟(jì)中的利潤最大化問題、物理學(xué)中的運(yùn)動軌跡問題等，讓學(xué)生初步感受不等式恒成立問題的實際應(yīng)用。

簡短介紹不等式恒成立問題的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.不等式恒成立問題基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解不等式恒成立問題的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解不等式恒成立問題的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹如何通過導(dǎo)數(shù)來研究不等式恒成立問題，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與不等式之間的關(guān)系。

3.不等式恒成立問題案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解不等式恒成立問題的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的不等式恒成立問題案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學(xué)生全面了解不等式恒成立問題的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際應(yīng)用的影響，以及如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和不等式知識解決實際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與不等式恒成立問題相關(guān)的案例進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該案例的解決策略，包括如何構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、分析導(dǎo)數(shù)符號等步驟。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對不等式恒成立問題的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括案例的解決策略、遇到的困難和最終解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)不等式恒成立問題的意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括不等式恒成立問題的基本概念、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)不等式恒成立問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實際應(yīng)用中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用相關(guān)知識和技能。

7.布置課后作業(yè)（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生獨立解決問題的能力。

過程：

布置一道與不等式恒成立問題相關(guān)的課后作業(yè)，要求學(xué)生獨立完成，并提交解題過程和答案。

提醒學(xué)生注意作業(yè)中的重點和難點，鼓勵他們主動思考，提高解題效率。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.知識掌握：

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠掌握以下知識點：

-理解不等式恒成立問題的概念，知道其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

-掌握利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的基本方法，包括構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、分析導(dǎo)數(shù)符號等步驟。

-熟悉如何通過導(dǎo)數(shù)來研究不等式的單調(diào)性、極值等問題，并能將其應(yīng)用于解決實際問題。

2.能力提升：

-數(shù)學(xué)抽象能力：學(xué)生能夠通過構(gòu)造函數(shù)、分析導(dǎo)數(shù)符號等步驟，提高對數(shù)學(xué)問題的抽象思維能力。

-邏輯推理能力：學(xué)生在解決不等式恒成立問題時，需要運(yùn)用邏輯推理來推導(dǎo)結(jié)論，從而提升邏輯推理能力。

-數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題，提高數(shù)學(xué)建模能力。

-分析與解決問題的能力：學(xué)生在分析案例、小組討論和課堂展示中，能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題，提高分析與解決問題的能力。

3.學(xué)習(xí)興趣與動機(jī)：

-通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對不等式恒成立問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要性。

-學(xué)生在小組討論和課堂展示中，積極參與，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的求知欲和自主學(xué)習(xí)動機(jī)。

4.學(xué)習(xí)習(xí)慣與態(tài)度：

-學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中，養(yǎng)成了認(rèn)真聽講、積極思考、主動提問的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

-學(xué)生在面對挑戰(zhàn)時，展現(xiàn)出積極應(yīng)對的態(tài)度，勇于嘗試新方法，不斷改進(jìn)自己的解題思路。

5.綜合運(yùn)用能力：

-學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識應(yīng)用于解決實際問題，如經(jīng)濟(jì)、物理、工程等領(lǐng)域的問題。

-學(xué)生在解決實際問題時，能夠靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)工具，提高綜合運(yùn)用能力。

6.情感態(tài)度與價值觀：

-學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中，體驗到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，培養(yǎng)了對數(shù)學(xué)的尊重和敬畏之心。

-學(xué)生在解決實際問題的過程中，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價值和意義，增強(qiáng)了社會責(zé)任感和使命感。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《數(shù)學(xué)分析中的不等式問題》等相關(guān)的數(shù)學(xué)分析書籍，這些書籍可以提供更多關(guān)于不等式恒成立問題的深入探討和應(yīng)用案例。

-視頻資源：推薦觀看一些關(guān)于導(dǎo)數(shù)和不等式應(yīng)用的在線教育視頻，如“利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題”的系列講座或教學(xué)視頻，幫助學(xué)生從不同角度理解相關(guān)概念。

2.拓展要求：

-鼓勵學(xué)生在課后時間閱讀上述材料，通過自主學(xué)習(xí)加深對不等式恒成立問題的理解。

-學(xué)生可以嘗試解決書中或視頻中的例題，通過實際操作來鞏固所學(xué)知識。

-教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自的閱讀心得和解決問題的思路。

-對于學(xué)生在拓展學(xué)習(xí)中遇到的疑問，教師應(yīng)提供必要的指導(dǎo)和幫助，如解答疑問、推薦相關(guān)的學(xué)習(xí)資源等。

-鼓勵學(xué)生嘗試將所學(xué)知識應(yīng)用于解決實際問題，如模擬現(xiàn)實生活中的經(jīng)濟(jì)問題、物理問題等，提高知識的應(yīng)用能力。

-學(xué)生可以撰寫一篇關(guān)于不等式恒成立問題的研究論文或報告，總結(jié)自己的學(xué)習(xí)成果，并嘗試提出自己的見解和創(chuàng)新點。板書設(shè)計①本文重點知識點：

-不等式恒成立問題的定義

-構(gòu)造函數(shù)的方法

-導(dǎo)數(shù)的概念及其性質(zhì)

-導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系

-求導(dǎo)步驟和導(dǎo)數(shù)符號分析

②重點詞、句：

-“不等式恒成立問題”的數(shù)學(xué)表達(dá)式

-“導(dǎo)數(shù)”的定義：“函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)是該點切線的斜率。”

-“單調(diào)性”和“極值”的概念

-“導(dǎo)數(shù)符號”的含義：“正號表示函數(shù)單調(diào)遞增，負(fù)號表示函數(shù)單調(diào)遞減?！?/p>

③步驟和方法：

-①構(gòu)造函數(shù)：根據(jù)不等式條件，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。

-②求導(dǎo)：對構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。

-③分析導(dǎo)數(shù)符號：研究導(dǎo)數(shù)的符號變化，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值。

-④解不等式：根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式的解集。

-⑤驗證：將解集代入原不等式，驗證其是否恒成立。教學(xué)反思與總結(jié)嗯，今天這節(jié)課，我覺得整體上還是不錯的。學(xué)生們對于不等式恒成立問題的理解有了明顯的提升，大家能夠通過導(dǎo)數(shù)來分析不等式的性質(zhì)，這個我覺得是挺有成就感的。

在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)了一些小問題。比如，在講解導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系時，有些學(xué)生可能還是不太能跟上。這可能是因為他們對導(dǎo)數(shù)的概念理解還不夠深入，所以在應(yīng)用的時候就會有些困難。所以我感覺，在今后的教學(xué)中，我需要花更多的時間去幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)。

另外，我覺得小組討論這個環(huán)節(jié)挺有效的。大家在一起討論，不僅能夠互相啟發(fā)，還能提高解決問題的能力。不過，也有一些小組討論得比較熱烈，有的小組則相對安靜，這可能是因為學(xué)生的參與度不同。所以我會在下一次課上，嘗試更加公平地分配討論任務(wù)，確保每個學(xué)生都有機(jī)會參與到討論中來。

至于教學(xué)效果嘛，我覺得學(xué)生們對不等式恒成立問題的理解有了實質(zhì)性的提高。他們能夠獨立構(gòu)造函數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)，解決實際問題。在情感態(tài)度方面，我看到大家對待數(shù)學(xué)問題的態(tài)度更加認(rèn)真了，這種積極的學(xué)習(xí)態(tài)度讓我感到很欣慰。

當(dāng)然，也存在一些不足。比如，有些學(xué)生在課堂上的參與度不夠，可能是因為他們對這個話題不感興趣或者覺得難度太大。針對這個問題，我打算在下一次課前做一些調(diào)研，了解學(xué)生的興趣點和學(xué)習(xí)難點，然后針對性地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和方法。課堂在課堂上，我采用了多種評價方式來了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

首先，通過提問，我能夠?qū)崟r監(jiān)控學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和理解程度。我會提出一些開放性的問題，讓學(xué)生思考并回答，以此來檢驗他們對知識點的掌握情況。例如，在講解完導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系后，我會問：“誰能告訴我，當(dāng)導(dǎo)數(shù)為零時，函數(shù)會發(fā)生什么變化？”這樣的問題可以幫助我了解學(xué)生對極值點的理解。

其次，通過觀察，我能夠評估學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)態(tài)度。在小組討論環(huán)節(jié)，我會注意觀察學(xué)生是否積極參與、是否能夠提出自己的觀點、是否能夠傾聽他人的意見。這樣的觀察對于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格和互動能力非常有幫助。

最后，通過小測試或隨堂練習(xí)，我可以量化學(xué)生對知識點的掌