閩粵贛三省十校2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．高中生在假期參加志愿者活動，既能服務(wù)社會又能鍛煉能力．某同學(xué)計劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個單位參加志愿者活動，則參加圖書館活動的概率為（）A. B.C. D.2．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.C. D.3．與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.4．已知向量，．若，則（）A. B.C. D.5．若直線與互相垂直，則實數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.36．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.7．原點到直線的距離的最大值為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.9．總體由編號為的30個個體組成.利用所給的隨機數(shù)表選取6個個體，選取的方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）A.20 B.26C.17 D.0310．已知點，點關(guān)于原點對稱點為，則（）A. B.C. D.11．過點作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或12．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為___________.14．已知線段AB的長度為3，其兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M滿足．則點M的軌跡方程為______15．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標(biāo)系中各頂點的坐標(biāo)分別為，，，則其“歐拉線”的方程為___________.16．若，，三點共線，則m的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，證明：18．（12分）已知雙曲線及直線（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標(biāo)為，求線段的長19．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}滿足：點（n，bn）在曲線y＝上，a1＝b4，___，數(shù)列{}的前n項和為Tn從①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2這三個條件中任選一個，補充到上面問題的橫線上并作答（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出滿足題意的k值；若不存在，請說明理由20．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，過C的一個焦點且與x軸垂直的直線被C截得的線段長為3（1）求C的方程；（2）若直線：與C交于A，B兩點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，且，求m的值21．（12分）已知圓：與直線：.（1）證明：直線過定點，并求出其坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，直線l與圓C交于A，B兩點，求弦的長度.22．（10分）已知數(shù)列的首項，其前n項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，且，求n.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】對4個單位分別編號，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個單位中任選兩個的試驗有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動的事件有AC，BC，CD，共3個基本事件，所以參加圖書館活動的概率.故選：D2、C【解析】利用等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.3、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.4、A【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示直接計算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以，B，D都不正確；，C不正確，A正確.故選：A5、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數(shù)a的值為.故選：C6、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標(biāo)，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C7、C【解析】求出直線過的定點，當(dāng)時，原點到直線距離最大，則可求出原點到直線距離的最大值；【詳解】因為可化為，所以直線過直線與直線交點，聯(lián)立可得所以直線過定點，當(dāng)時，原點到直線距離最大，最大距離即為，此時最大值為，故選：C.8、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實數(shù)的取值范圍是，故選A.9、D【解析】根據(jù)題目要求選取數(shù)字，在30以內(nèi)的正整數(shù)符合要求，不在30以內(nèi)的不合要求，舍去，與已經(jīng)選取過重復(fù)的舍去，找到第5個個體的編號.【詳解】已知選取方法為從第一行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個數(shù)字，所以選取出來的數(shù)字分別為12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（與前面重復(fù)，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故選出來的第5個個體的編號為03.故選：D10、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式，結(jié)合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C11、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C12、B【解析】因但二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：14、【解析】設(shè)出動點，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點的軌跡的方程是.故答案為：15、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫出垂心、外心的坐標(biāo)，進而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設(shè)知：是直角三角形，則垂心為直角頂點，外心為斜邊的中點，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)三點共線與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；；（2）證明見解析【解析】（1）利用已知條件推出數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項為1，求出通項公式，結(jié)合由，，成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）化簡通項公式，利用裂項消項法，求解數(shù)列的和即可【詳解】證明：（1）由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項為1，因此，，，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），故（2）因為，所以因為，所以【點睛】方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.18、（1）且；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點，求出k的范圍（2）設(shè)交點A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理以及弦長公式求解即可【詳解】（1）聯(lián)立y=2可得∵與有兩個不同的交點，且，且（2）設(shè)，由（1）可知，又中點的橫坐標(biāo)為，，或又由（1）可知，為與有兩個不同交點時，19、（1）條件選擇見解析；an＝2n，bn＝25﹣n.（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）把點（n，bn）代入曲線y＝可得到bn＝25﹣n，進而求出a1，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，選①S4＝20，利用等差數(shù)列的前n項和公式可求出d，從而得到an；若選②S3＝2a3，利用等差數(shù)列的前n項和公式可求出d，從而得到an；若選③3a3﹣a5＝b2，利用等差數(shù)列的通項公式公式可求出d，從而得到an；（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂項相消法求出Tn＝1﹣，不等式無解，即不存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞【小問1詳解】解：∵點（n，bn）在曲線y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若選①S4＝20，則S4＝＝20，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選②S3＝2a3，則S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選③3a3﹣a5＝b2，則3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；【小問2詳解】解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），∴＝＝，∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞，∴，即，此不等式無解，∴不存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞20、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得且，求出，即可得橢圓方程.（2）聯(lián)立直線l和橢圓C并整理為關(guān)于x的一元二次方程，由求出m的范圍，再應(yīng)用韋達定理、弦長公式求，進而可得線段AB的中垂線，同理聯(lián)立曲線C求相交弦長，再由已知條件求m值，注意其范圍.【小問1詳解】由題意知，，則，令，可得，由題設(shè)有，則，所以C的方程為【小問2詳解】聯(lián)立方程得：，由，得設(shè)，，則，，所以，另一方面，，即線段AB的中點為，所以線段AB的中垂線方程為令，聯(lián)立方程得：同理求法，可得：，即因此，解得，故21、（1）