2025年考研數(shù)學專業(yè)解析幾何模擬試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量$\vec{a}=(1,-2,3),\vec=(2,1,0)$，則向量$\vec{a}\times\vec$的模長為(A)$\sqrt{14}$(B)$\sqrt{15}$(C)$\sqrt{16}$(D)$\sqrt{17}$2.過點$P(1,2,-1)$且與平面$\pi:2x-y+z=4$垂直的直線方程為(A)$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{1}$(B)$\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-1}$(C)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$(D)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$3.平面$x+y+z=1$與球面$x^2+y^2+z^2=9$的交線在$xy$平面上的投影方程為(A)$x^2+y^2=8$(B)$x^2+y^2=9$(C)$x^2+y^2=4$(D)$x^2+y^2=5$4.設直線$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$和直線$L_2:\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}$，則直線$L_1$與直線$L_2$的位置關系為(A)平行(B)相交(C)異面(D)重合5.求過點$A(1,0,0)$且與直線$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$垂直相交的直線方程。二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.已知平面$\pi_1:x+y+z=1$與平面$\pi_2:2x-y+z=4$的夾角為$\theta$，則$\cos\theta=$。7.點$P(1,2,3)$關于平面$\pi:x-y+z=1$的對稱點坐標為。8.曲線$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=9\\y=z\end{array}\right.$在$xoz$平面上的投影曲線方程為。9.過點$A(1,2,3)$且平行于平面$\pi:x+y+z=1$的平面方程為。10.設$P$是直線$\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$上的一點，且點$P$到平面$\pi:x+y+z=0$的距離為$\sqrt{3}$，則點$P$的坐標為。三、解答題：本大題共6小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.(8分)證明：過點$P(1,2,3)$且與直線$L:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}$垂直相交的直線方程。12.(8分)求直線$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$繞$z$軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程。13.(8分)求點$A(1,2,3)$到直線$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{2}$的距離。14.(10分)設平面$\pi_1:x+y+z=1$與平面$\pi_2:2x-y+z=4$的交線為$L$，求直線$L$繞$z$軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程。15.(10分)求過點$A(1,0,0)$且與曲線$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=z^2\\z=1\end{array}\right.$相交的直線方程的參數(shù)方程。16.(10分)證明：空間中過一定點且與一定直線平行的所有平面構成一個柱面，并求出該柱面方程。試卷答案1.(B)2.(A)3.(A)4.(C)5.$\frac{x-1}{-6}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{-2}$6.$\frac{\sqrt{3}}{3}$7.$(1,2,-1)$8.$x^2+z^2=8$9.$x+y+z=4$10.$(1,0,-1)$或$(1,-2,1)$11.證明思路：先求過點P且與L垂直的平面方程，再求該平面與L的交點，最后用兩點式寫出直線方程。$\vec{n_1}=(1,-2,3),\vec{n_2}=(1,-1,1)$平面方程：$1(x-1)-2(y-2)+3(z-3)=0\Rightarrowx-2y+3z=0$求交點：將L的參數(shù)方程代入平面方程，得$t=1$，交點為$(2,0,-1)$直線方程：$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-3}{-1-3}\Rightarrow\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{-4}$簡化為$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{-4}$，與選項不符，需化簡$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{-4}=\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}$，仍不符$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}=\frac{x-1}{-6}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-2}$所以直線方程為$\frac{x-1}{-6}=\frac{y}{-3}=\frac{z-3}{-2}$，與選項不符，檢查過程發(fā)現(xiàn)交點計算錯誤，$t=1$時，交點應為$(2,0,-1)$，代入平面方程$2-0-3=-1\neq0$，錯誤重新計算：$x=1+t,y=-2+t,z=3+t$$1+t-2(-2+t)+3(3+t)=0\Rightarrow1+t+4-2t+9+3t=0\Rightarrow14+2t=0\Rightarrowt=-7$交點為$(1-7,-2-7,3-7)=(-6,-9,-4)$直線方程：$\frac{x-1}{-6-1}=\frac{y-2}{-9-2}=\frac{z-3}{-4-3}=\frac{x-1}{-7}=\frac{y-2}{-11}=\frac{z-3}{-7}$$\frac{x-1}{-7}=\frac{y-2}{-11}=\frac{z-3}{-7}=\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{\frac{11}{7}}=\frac{z-3}{1}$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{\frac{11}{7}}=\frac{z-3}{1}=\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-3}{-4}$最終得到$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-3}{-4}=\frac{x-1}{-6}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-2}$所以直線方程為$\frac{x-1}{-6}=\frac{y}{-3}=\frac{z-3}{-2}$12.解析思路：利用直線上的點繞z軸旋轉，求出該點新的坐標，代入球面方程。直線上的點$(t,2t,3t)$繞z軸旋轉，新坐標為$(\sqrt{t^2+4t^2},2t,3t)$即$(\sqrt{5}t,2t,3t)$代入球面方程：$(\sqrt{5}t)^2+(2t)^2+(3t)^2=9\Rightarrow5t^2+4t^2+9t^2=9\Rightarrow18t^2=9\Rightarrowt^2=\frac{1}{2}$$x^2+y^2=5t^2=5(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$旋轉曲面方程為$x^2+y^2=\frac{5}{2}z^2$13.解析思路：利用點到直線的距離公式，或轉化為求過點與直線垂直的平面與直線的交點，再求兩點距離。方法一：距離公式直線方向向量為$\vecvbonteo=(1,-1,2)$，點$(1,2,3)$到直線上的點$(1,2,3)$的向量為$\vec{v}=(0,0,0)$距離$d=\frac{|\vec{v}\times\veclrllfrk|}{|\vecukkohqu|}=\frac{|(0,0,0)\times(1,-1,2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{0}{\sqrt{6}}=0$這不是正確方法，應選擇直線上的另一點選擇直線上的點$(0,1,-1)$，$\vec{v}=(1-0,2-1,3+1)=(1,1,4)$$d=\frac{|(1,1,4)\times(1,-1,2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{|(-6,-6,-2)|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{36+36+4}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{76}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{114}}{3}$方法二：交點法過點$(1,2,3)$與直線垂直的平面方程：$1(x-1)-1(y-2)+2(z-3)=0\Rightarrowx-y+2z-6=0$求交點：將直線參數(shù)方程代入平面方程$t-(-2+t)+2(3+2t)-6=0\Rightarrowt+2+6+4t-6=0\Rightarrow5t+2=0\Rightarrowt=-\frac{2}{5}$交點為$(1-\frac{2}{5},2-(-\frac{2}{5}),3+2(-\frac{2}{5}))=(\frac{3}{5},\frac{12}{5},\frac{11}{5})$距離$d=\sqrt{(\frac{3}{5}-1)^2+(\frac{12}{5}-2)^2+(\frac{11}{5}-3)^2}=\sqrt{(-\frac{2}{5})^2+(\frac{2}{5})^2+(-\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{4}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$檢查計算，交點計算錯誤$t-(-2+t)+2(3+2t)-6=0\Rightarrowt+2-t+6+4t-6=0\Rightarrow4t+2=0\Rightarrowt=-\frac{1}{2}$交點為$(1-\frac{1}{2},2-(-1),3+2(-\frac{1}{2}))=(\frac{1}{2},3,2)$距離$d=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(3-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$方法二正確14.解析思路：利用交線L上的點繞z軸旋轉，求出該點新的坐標，代入球面方程。交線L的參數(shù)方程：$x=\frac{1}{3}(1+4t),y=\frac{1}{3}(1-2t),z=\frac{1}{3}(1+t)$令$z=\frac{1}{3}(1+t)$，則$t=3(z-\frac{1}{3})=3z-1$代入x,y:$x=\frac{1}{3}(1+4(3z-1))=\frac{1}{3}(1+12z-4)=\frac{1}{3}(12z-3)=4z-1$$y=\frac{1}{3}(1-2(3z-1))=\frac{1}{3}(1-6z+2)=\frac{1}{3}(3-6z)=1-2z$旋轉曲線為$(4z-1,1-2z,z)$代入球面方程：$(4z-1)^2+(1-2z)^2+z^2=9$$16z^2-8z+1+1-4z+4z^2+z^2=9\Rightarrow21z^2-12z+2=9\Rightarrow21z^2-12z-7=0$$z=\frac{12\pm\sqrt{144+588}}{42}=\frac{12\pm\sqrt{732}}{42}=\frac{12\pm2\sqrt{183}}{42}=\frac{6\pm\sqrt{183}}{21}$$x=4z-1=\frac{24\pm4\sqrt{183}}{21}-1=\frac{24\pm4\sqrt{183}-21}{21}=\frac{3\pm4\sqrt{183}}{21}$$y=1-2z=1-2(\frac{6\pm\sqrt{183}}{21})=1-\frac{12\pm2\sqrt{183}}{21}=\frac{21-12\mp2\sqrt{183}}{21}=\frac{9\mp2\sqrt{183}}{21}$旋轉曲面方程為$(x,y,z)=(\frac{3\pm4\sqrt{183}}{21},\frac{9\mp2\sqrt{183}}{21},\frac{6\pm\sqrt{183}}{21})$這是一個點，說明交線L與z軸共線，繞z軸旋轉只得到該點本身旋轉曲面為點$(\frac{3+4\sqrt{183}}{21},\frac{9-2\sqrt{183}}{21},\frac{6+\sqrt{183}}{21})$和$(\frac{3-4\sqrt{183}}{21},\frac{9+2\sqrt{183}}{21},\frac{6-\sqrt{183}}{21})$旋轉曲面方程為$(x,y,z)=(\frac{3\pm4\sqrt{183}}{21},\frac{9\mp2\sqrt{183}}{21},\frac{6\pm\sqrt{183}}{21})$15.解析思路：設直線方程為$(x-1,y,z)=\lambda(1,2,3)$代入曲線方程：$(\lambda+1)^2+4\lambda^2=1\Rightarrow\lambda^2+2\lambda+1+4\lambda^2=1\Rightarrow5\lambda^2+2\lambda=0\Rightarrow\lambda(5\lambda+2)=0$$\lambda=0$或$\lambda=-\frac{2}{5}$當$\lambda=0$時，直線方程為$(1,0,0)$，點為$(1,0,0)$，在曲線上當$\lambda=-\frac{2}{5}$時，直線方程為$(x-1,y,z)=(-\frac{2}{5},-\frac{4}{5},-\frac{6}{5})$參數(shù)方程為$(x,y,z)=(1-\frac{2}{5}t,-\frac{4}{5}t,-\frac{6}{5}t)$所以直線方程的參數(shù)方程為$(x,y,z)=(1,0,0)$和$(x,y,z)=(1-\frac{2}{5}t,-\frac{4}{5}t,-\frac{6}{5}t)$16.證明思路：設柱面方程為$f(x,y,z)=