空間向量基本定理1.2第一章空間向量與立體幾何了解空間向量的夾角；掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及計算方法，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運算2．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．3．掌握兩個向量的數(shù)量積在判斷垂直中的應(yīng)用，掌握利用向量數(shù)量積求空間兩點間的距離，提升邏輯推理1.了解空間向量基本定理及其意義，并會用基底表示空間向量，掌握空間向量的正交分解．2．初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方法，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．任務(wù)一空間向量基本定理任務(wù)二證明平行、共面問題任務(wù)三

垂直、夾角問題任務(wù)一空間向量基本定理(閱讀教材P11－12，完成探究問題)問題．類比平面向量基本定理，p是空間任意一個向量，對于空間三個不共面的向量a，b，c，向量p能否可以用向量a，b，c來表示？OPQ問題導(dǎo)思

提示：

同理可知，向量a，b，c可以表示向量p.知識點1：空間向量基本定理

如果三個向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．知識點2：基底如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．知識點3：正交分解(1)單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．提示：(1)不能，因為零向量與任意一個非零向量都為共線向量，與任意兩個非零向量都共面．(2)有影響，不同基底下，同一向量的表達(dá)式不同．(3)一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．微思考(1)基底中能不能有零向量？(2)選取不同的基底對同一向量的表達(dá)式有無影響？(3)基底和基向量是同一概念嗎？有什么區(qū)別？提示：(1)不能，因為零向量與任意一個非零向量都為共線向量，與任意兩個非零向量都共面．(2)有影響，不同基底下，同一向量的表達(dá)式不同．(3)一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．基底的判斷1例1已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{e1,e2,e3}能否作為空間的一個基底．解：假設(shè)

共面．則存在實數(shù)λ，μ使得

，所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，因為e1，e2，e3不共面，所以

此方程組無解，所以

不共面，所以

可以作為空間的一個基底．規(guī)律方法基底的判斷思路1．判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．2．判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的方向向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷．1對點練(2024·北京通州高二期中)如圖，在平行六面體ABCD--A1B1C1D1中，可以作為空間向量的一個基底的是(

)C2對點練若是空間的一個基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構(gòu)成空間的一個基底，則t＝__________．-1解析：已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．用基底表示空間向量2例2已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．用基底表示空間向量2例2變式規(guī)律方法用基底表示任一向量的方法1．線性運算法：用基底表示空間向量，一般要用到向量加法、減法、數(shù)乘的運算法則，尤其是向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法的三角形法則及向量的一些代數(shù)運算，將所求向量逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示．2．待定系數(shù)法：利用待定系數(shù)法解決有關(guān)問題時，先利用未知系數(shù)確定向量的線性表示，再根據(jù)空間向量基本定理建立對應(yīng)系數(shù)之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題求解．注意：若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．1對點練任務(wù)二證明平行、共面問題已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．平行問題3例3規(guī)律方法證明平行、共面問題的思路1．利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行．2．利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行．3對點練任務(wù)三夾角、垂直問題已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．夾角、垂直問題4例4用基向量法解決夾角、垂直、長度問題的步驟第一步：設(shè)出基向量；第二步：用基向量表示出直線的方向向量；第三步：用cosθ＝求夾角，用＝0?a⊥b(a，b為非零向量)證垂直，用|a|＝＝求長度．規(guī)律方法4對點練已知空間四邊形OABC

的各邊及對角線的長都相等，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點．(1)求證：OG⊥BC；(2)求異面直線ON與BM所成角的余弦值．空間向量基本定理基

底基向量單位正交基底正交分解4.最后還原為幾何中的線段長度，兩直線平行、垂直及夾角.基向量法解決長度、平行、垂直及夾角問題的步驟1.設(shè)出基向量．2.用基向量表示出直線的方向向量

課堂小結(jié)課時評價12(多選)下列四個結(jié)論