3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

人教A版（2019）選擇性必修一學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點）2.了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，體現(xiàn)邏輯推理能力（難點）1新課導(dǎo)入我們知道，平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.一個自然的問題是:平面內(nèi)與兩個定點的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么?下面我們先用信息技術(shù)探究一下.新課學(xué)習(xí)34在直線l上取兩個定點A,B,P是直線l上的動點，在平面內(nèi)，取定點F1,F2,以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.我們知道，當(dāng)點P在線段

AB

上運動時，如果

||PA|－|PB||≤|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點的軌跡是橢圓.如果|F1F2|>|AB|，兩圓不相交，不存在軌跡.新課學(xué)習(xí)34如圖，在|AB|>|F1F2|的條件下，讓點P在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？兩圓交點的軌跡是什么形狀？我們發(fā)現(xiàn)，在|AB|>|F1F2|的條件下，點P在線段

AB

外運動時，當(dāng)點M靠近定點

F1時，|MF2|－|MF1|＝|AB|;當(dāng)點

M靠近定點

F2

時，|MF1|－|MF2|＝|AB|.結(jié)論：點

M

與兩個定點

F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值

|AB|

是個常數(shù)

(|AB|<|F1F2|).

這時，點

M

的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支.新課學(xué)習(xí)34雙曲線的概念一般地，我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.F1F2焦距焦點M雙曲線的焦點：兩個定點F1、F2雙曲線的焦距：兩焦點間的距離新課學(xué)習(xí)類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程？F1F2MxOy(x,y)觀察我們畫出的雙曲線，發(fā)現(xiàn)它也具有對稱性，而且直線F1F2

是它的一條對稱軸，所以我們?nèi)〗?jīng)過兩焦點

F1，F(xiàn)2

的直線為x軸，線段

F1F2

的垂直平分線為

y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

Oxy.設(shè)

M(x,y)是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c＞0)，新課學(xué)習(xí)那么，焦點

F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(－c,0)，(c,0)，又設(shè)

||MF1|－|MF2||＝2a.(a為大于0的常數(shù)，a＜c).類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程？由雙曲線的定義，雙曲線就是下列點的集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}.因為所以新課學(xué)習(xí)類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程？類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程，化簡①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，兩邊同除以

a2(c2－a2)，得由雙曲線的定義知，2c＞2a，即

c＞a，所以

c2－a2＞0，比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，令

b2＝c2－a2，其中

b＞0，代入上式，得新課學(xué)習(xí)34從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標(biāo)

(x，y)都是方程②的解；以方程②的解為坐標(biāo)的點

(x，y)與雙曲線的兩個焦點

F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離之差的絕對值都為

2a，即以方程②的解為坐標(biāo)的點都在雙曲線上.類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程？新課學(xué)習(xí)34雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念我們稱方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點在

x軸上，焦點分別是

F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)的雙曲線，這里

c2＝a2＋b2.新課學(xué)習(xí)類比焦點在y

軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在y

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？F1F2MxOy如圖，雙曲線的焦距為2c，焦點分別是F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，a，b的意義同上，這時雙曲線的方程是這個方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.新課學(xué)習(xí)圖形方程焦點a,b,c之間的關(guān)系F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)c2=a2+b2

a，b大小不定F1F2MxOyF1F2MxOy新課學(xué)習(xí)例1：已知雙曲線的兩個焦點分別為

F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點

P與

F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．因為雙曲線的焦點在

x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由2c＝10，2a＝6，得

c＝5，又

a＝3，因此

b2＝52－32＝16．所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為新課學(xué)習(xí)例2：已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．分析:先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀.由聲速及A，B兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可知A，B兩處與爆炸點的距離的差為定值，所以爆炸點在以A，B為交點的雙曲線上.因為爆炸點離A處比離B處遠，所以爆炸點應(yīng)靠近B處的雙曲線的一支上.新課學(xué)習(xí)例2：已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．F1F2PxOy如圖，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，使

A，B兩點在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合．設(shè)炮彈爆炸點P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|－|PB|＝340×2＝680，又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44400．新課學(xué)習(xí)例2：已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．F1F2PxOy因為|PA|－|PB|＝680＞0，所以點

P的軌跡是雙曲線的右支，因此

x≥340．所以，炮彈爆炸點的軌跡方程為新課學(xué)習(xí)總結(jié)一下：根據(jù)上面的例題，總結(jié)一下雙曲線方程的一個應(yīng)用利用兩個不同的觀測點A，B測得同一點P發(fā)生信號的時間差，可以確定點P所在雙曲線的方程.如果再增設(shè)一個觀測點C，利用B，C(或A，C)兩處測得的點P發(fā)生信號的時間差，就可以確定點P所在另一雙曲線的方程.解這兩個方程組成的方程組，就能確定點P的準(zhǔn)確位置，這是雙曲線的一個重要應(yīng)用.新課學(xué)習(xí)如圖，點A，B兩點的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是

，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀？

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，因為點A的坐標(biāo)為(-5，0)，所以直線AM的斜率同理，直線BM的斜率由已知，有新課學(xué)習(xí)如圖，點A，B兩點的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是

，試求點M的軌跡方程，并