1/10專題08直線與方程重點(diǎn)題型全歸納目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、直線與線段有交點(diǎn)問題 1類型二、斜率公式的應(yīng)用（三點(diǎn)共線） 5類型三、斜率公式的幾何意義 6類型四、兩條直線平行與垂直 9類型五、直線的截距式方程 12類型六、直線過定點(diǎn)問題 15類型七、直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 18類型八、直線中點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線、線到線的距離公式 21壓軸專練 29類型一、直線與線段有交點(diǎn)問題傾斜角與斜率的關(guān)系直線的情況平行于軸由左向右上升垂直于軸由左向右下降的大小的取值范圍不存在的增減性—隨的增大而增大—隨的增大而減增大一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段（含端點(diǎn)）總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意作圖，利用斜率的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，由圖可知，由，，，則，，所以.故選：B.2．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線l與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線、的斜率后即可求直線/的斜率的范圍.【詳解】如圖所示：，而，故直線的取值范圍為.故選：A.3．（24-25高二上·廣東陽江·月考）已知點(diǎn).若直線與線段相交，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求直線恒過的定點(diǎn)，再應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率，根據(jù)斜率范圍求參即可.【詳解】直線恒過定點(diǎn)，又，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點(diǎn)，，解得.故選：A.4．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知直線：，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則的傾斜角范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線的斜率的取值范圍，即可得出直線的傾斜角的取值范圍．【詳解】直線的方程可化為，由，可得，所以，直線過定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，將代入方程：可得：不成立，不在直線上，所以，即，因?yàn)樗曰蚬手本€的傾斜角的取值范圍是．故選：D．二、填空題5．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接點(diǎn)，的線段沒有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與線段無交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示，直線與線段沒有公共點(diǎn)，若為直線的傾斜角，

直線可從直線逆時針旋轉(zhuǎn)到直線的位置，注意包含直線傾斜角為的情況，，，直線的區(qū)域包含傾斜角為的情況，斜率或，從而或，又，結(jié)合正切曲線可得．故答案為：類型二、斜率公式的應(yīng)用（三點(diǎn)共線）解決三點(diǎn)共線的步驟第一步：先判斷兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若其中有兩個點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，那么第三點(diǎn)的橫坐標(biāo)與其相等時，三點(diǎn)共線；若橫坐標(biāo)均不相等，則繼續(xù)第二步；第二步：計(jì)算三點(diǎn)中任意兩個點(diǎn)確定的直線的斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線．一、單選題1．（24-25高二下·廣東深圳·開學(xué)考試）若三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由三點(diǎn)共線得到，再由兩點(diǎn)表示出直線的斜率求解即可；【詳解】由題意可得，即，解得.故選：C.2．（24-25高二上·浙江臺州·期末）臺州學(xué)子黃雨婷奪得巴黎奧運(yùn)會10米氣步槍比賽1金1銀兩塊獎牌后，10米氣步槍射擊項(xiàng)目引起了大家的關(guān)注.在10米氣步槍比賽中，瞄準(zhǔn)目標(biāo)并不是直接用眼睛對準(zhǔn)靶心，而是通過覘孔式瞄具來實(shí)現(xiàn).這種瞄具有前后兩個覘孔（覘孔的中心分別記為點(diǎn)），運(yùn)動員需要確保靶紙上的黑色圓心（記為點(diǎn)）與這兩個覘孔的中心對齊，以達(dá)到三圓同心的狀態(tài).若某次射擊達(dá)到三圓同心，且點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意三點(diǎn)共線，結(jié)合兩點(diǎn)式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可.【詳解】由題意三點(diǎn)共線，設(shè)，因?yàn)?，，所以，解得，所?故選：B二、填空題3．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則．【答案】【分析】由求解即可.【詳解】解：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，又因?yàn)椋?，整理得：，即，又因?yàn)?，解?故答案為：類型三、斜率公式的幾何意義利用直線的斜率的幾何意義求最值（或取值范圍）兩點(diǎn)注意1、直線的斜率反映了直線的傾斜程度，且（，是直線上橫坐標(biāo)不等的兩點(diǎn)）；2、在求形如的式子的最值時，可以將看作動點(diǎn)與定點(diǎn)所確定的直線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出最值（或取值范圍），即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理．一、填空題1．若，則的取值范圍為.【答案】【分析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，設(shè)，結(jié)合斜率公式，即可求解.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，圖中陰影部分，設(shè)，即，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)取點(diǎn)時，可得，即的最大值為；當(dāng)取點(diǎn)時，可得，即的最小值為，即的取值范圍是.故答案為：.2．（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程，當(dāng)時，則的取值范圍是．【答案】【分析】將的范圍轉(zhuǎn)化為線段上的點(diǎn)與構(gòu)成的直線的斜率的范圍，然后求斜率即可.【詳解】方程，令，則，令，則，設(shè)點(diǎn)，，所以可以表示線段上的點(diǎn)與構(gòu)成的直線的斜率，，，所以的取值范圍為.故答案為：.3．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】8【分析】根據(jù)斜率的兩點(diǎn)式確定目標(biāo)式的幾何意義，再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)式的最大值.【詳解】由的幾何意義是圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率．如圖所示，直線的傾斜角始終為銳角，結(jié)合正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)直線過點(diǎn)時斜率最大，將代入，得最大值為8．故答案為：8類型四、兩條直線平行與垂直1、對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.2、對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．3、一般式方程下的平行與垂直（1）平行與垂直的系數(shù)關(guān)系已知直線的方程分別是（不同時為0），（不同時為0）①若②若（2）平行與垂直的直線系方程①平行直線系：與直線垂直的直線方程可設(shè)為②垂直直線系：與直線垂直的直線方程可設(shè)為一、單選題1．（24-25高二下·河南南陽·期末）已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得.故選：B.2．（24-25高二下·廣西南寧·期末）若，直線，直線，則“”的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得的充要條件，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則或.當(dāng)，，，兩直線平行，滿足題意；當(dāng)，，，滿足題意.則的充要條件為或.則“”的充分不必要條件可以是，也可以是.故選：A3．（24-25高二上·福建龍巖·期末）若直線：與直線：平行，則實(shí)數(shù)為（

）A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1【答案】B【分析】由直線平行的判定，列出等式求解并驗(yàn)證即可；【詳解】由題意可得：，解得：，當(dāng)時，直線：與直線：平行，當(dāng)時，直線：即，與直線：，重合，舍去，故，故選：B4．（24-25高二上·湖南衡陽·期末）已知，直線，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得.【詳解】由可得，化簡得，解得或（舍去）又，得，故選：B二、解答題5．（24-25高二上·廣東江門·期中）已知直線和點(diǎn).(1)求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程：【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得出所求直線的方程；（2）設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得出所求直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€和點(diǎn)，因?yàn)樗笾本€與直線平行，設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線的方程，可得，解得，故所求直線的方程為.（2）因?yàn)樗笾本€與直線垂直，設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線的方程，可得，解得，故所求直線的方程為.類型五、直線的截距式方程1、截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)（1）問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可；（2）選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直；（3）要注意截距式方程的逆向應(yīng)用．2、點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、一般式的選擇（1）若給出直線經(jīng)過一個點(diǎn)，經(jīng)?？紤]用點(diǎn)斜式寫直線方程，需要注意的是平行于軸的直線的斜率為0，垂直于軸的直線的斜率不存在．（2）若已知直線的斜率，通常用斜截式．（3）若給出兩個點(diǎn)，常考慮利用兩點(diǎn)式，但要注意兩點(diǎn)連線是否與坐標(biāo)軸平行或重合．（4）若給出的條件與面積相關(guān)，一般選用截距式，也可以選用點(diǎn)斜式或斜截式，注意直線方程各種形式的互化．一、單選題1．（24-25高二上·浙江·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線，則直線過（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限【答案】D【分析】求出直線l在x軸和y軸上的截距，即可判斷直線所過象限，從而得解【詳解】解：直線在x軸上截距為2，y軸上截距為－3，所以直線l過一、三、四象限．故選：D.2．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直線在軸上的截距是軸上截距的倍，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，分和兩種情況討論即可，求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】依題意可得，當(dāng)時，直線為，此時橫縱截距都等于，滿足題意；當(dāng)時，將直線的方程化為截距式方程可得，直線在軸上的截距為，在軸上截距，則，得或（舍去）.綜上所述，的值為或．故選：C.3．（24-25高二下·湖南·月考）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨設(shè)直線分別交、軸于點(diǎn)、，則，，可得出直線的截距式方程為，結(jié)合已知條件可得出，利用基本不等式可求得面積的最小值.【詳解】不妨設(shè)直線分別交、軸于點(diǎn)、，則，，所以，直線的截距式方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，由基本不等式可得，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的面積的最小值為.故選：C.二、填空題4．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）已知直線l過點(diǎn)，且與兩條坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個等腰直角三角形，則直線l的方程為．【答案】【分析】設(shè)出截距式方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解．【詳解】由題意設(shè)直線方程為，且，又直線過點(diǎn)，則，，所以直線方程為，即．故答案為：．5．（24-25高二上·上海·月考）過點(diǎn)，且在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為．【答案】和【分析】根據(jù)截距是否為0，由待定系數(shù)法即可求解.【詳解】當(dāng)在x軸、y軸上的截距為0時，設(shè)直線方程為，代入，可得，故，此時直線方程為，當(dāng)截距均不為0時，設(shè)直線方程為，將代入可得，解得，故直線方程為，即，綜上可得滿足條件的直線方程有：和，故答案為：和類型六、直線過定點(diǎn)問題直線方程過定點(diǎn)問題常用的三種方法（1）直接法：將方程化為點(diǎn)斜式，其中為參數(shù)，求得直線恒過定點(diǎn)．（2）分離參數(shù)法（方程法）：將方程變形，把作為參數(shù)的系數(shù)，即有參數(shù)的放在一起，沒參數(shù)的放在一起，因?yàn)榇耸阶訉θ我獾膮?shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得的值，即直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）賦值法（特殊法）：因?yàn)閰?shù)取任意實(shí)數(shù)，所以給參數(shù)任取兩次值，得到關(guān)于的二元一次方程組，解方程組可得的值，即為直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．一、單選題1．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）不論為何實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：直線方程可化為，解方程組即可求解；法二：直線方程可化為，解方程組即可求解.【詳解】法一：直線方程可化為，令，解得，即定點(diǎn)坐標(biāo)為.法二：直線方程可化為，則，解得，即定點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.2．（25-26高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知直線恒過點(diǎn)P，則過點(diǎn)P并與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)恒過定點(diǎn)化簡直線方程求出，再根據(jù)垂直關(guān)系求出所求直線的斜率，列點(diǎn)斜式方程化簡即可.【詳解】由，得，直線恒過點(diǎn)．因?yàn)榈男甭蕿椋运笾本€的斜率為，其方程為，即，故選：A．3．已知直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)與的交點(diǎn)為，則面積的最大值為(

)A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】先求定點(diǎn)，然后判斷兩個直線的位置關(guān)系，然后計(jì)算面積，利用基本不等式判斷即可.【詳解】由題可知，,直線，所以,，所以，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C二、填空題4．（24-25高二上·福建泉州·月考）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，此時的直線方程為.【答案】【分析】確定直線過定點(diǎn)，再結(jié)合結(jié)合直線垂直的斜率公式，即可求解.【詳解】可得：，令可得：，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，兩點(diǎn)間的距離即為最大值，又,所以，所以直線方程為，即.故答案為：5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知直線，當(dāng)變化時，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.【答案】【分析】求出直線所過定點(diǎn)，分析出距離的最值，結(jié)合斜率存在，得到取值范圍.【詳解】由題意知直線過定點(diǎn)，且不與軸垂直，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，，點(diǎn)到直線的距離最小為0，當(dāng)過點(diǎn)的直線垂直于x軸時，點(diǎn)到該直線的距離最大，最大值為3，如圖：由于的斜率存在，故點(diǎn)到直線的距離小于3，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.故答案為：類型七、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程設(shè)兩條不平行的直線方程分別為（不同時為0），（不同時為0），則我們將直線方程（其中為參數(shù)，且）稱為經(jīng)過直線與交點(diǎn)的直線系方程．當(dāng)時，此方程即為直線的方程；當(dāng)時，此方程即為直線的方程．一、單選題1．若既是的中點(diǎn)，又是直線與直線的交點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)條件求，再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，求直線方程，根據(jù)垂直關(guān)系，即可求中垂線方程.【詳解】由條件可知，，，且，兩式相加得，即，得，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)滿足直線，即直線方程為，，與直線垂直的直線方程的斜率為，所以中垂線方程為，整理為.故選：A二、填空題2．（23-24高二上·湖北武漢·月考）過兩直線和的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線相交設(shè)所求直線為，結(jié)合直線過原點(diǎn)求參數(shù)，即可得方程.【詳解】令所求直線為，又直線過原點(diǎn)，則，所以所求直線為.故答案為：3．（23-24高二上·上海·期末）已知直線，，，三條直線圍成，則當(dāng)面積取得最大時的值為.【答案】1【分析】首先判斷直線和的定點(diǎn)，判斷的形狀，再求直線與直線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離表示邊長，再求解三角形的面積，并利用基本不等式求最值.【詳解】直線，即，恒過定點(diǎn)，直線，即，也恒過定點(diǎn)，所以直線與相交于定點(diǎn)，由，解得，可知直線與直線相交于點(diǎn)，又因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以是為直角的直角三角形，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離，點(diǎn)到,的距離，所以的面積，時，的面積不可能取到最大值；時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．因此，當(dāng)時，的面積有最大值．故答案為：1三、解答題4．已知直線，直線過與的交點(diǎn)且過點(diǎn)，求的方程．【答案】【分析】點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可得答案.【詳解】由題意可設(shè)的方程為．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，所以的方程為，即．類型八、直線中點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線、線到線的距離公式1、平面上兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)，間的距離公式為：.【注意】公式中和位置沒有先后之分，也可以表示為：．（1）已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或方程組求解．（2）利用兩點(diǎn)間距離公式可以判斷三角形的形狀．從三邊長入手，如果有邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形．2、點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離（1）求點(diǎn)到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．（2）若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．（3）點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)求的連線的最短距離，某些距離的最值問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題來求解．（4）因?yàn)榻瞧椒志€上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，因此可用點(diǎn)到直線的距離公式解決有關(guān)角平分線的問題．平行線間距離公式的應(yīng)用兩條平行直線，，它們之間的距離為：【注意】在使用公式時，兩直線方程為一般式，且和的系數(shù)對應(yīng)相等．（1）兩條平行直線間的距離公式是由在一條直線上任取一點(diǎn)到另一條直線的距離推導(dǎo)出來的，所以求平行直線間的距離的方法有兩種，一種是直接利用推導(dǎo)出的公式求解，另一種是在其中一條直線上取一個特殊的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到直線的距離求解．（2）如果兩條平行直線的方程用斜截式方程表示為，，那么兩條平行直線間的距離．一、單選題1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）到直線的距離為1的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出答案.【詳解】設(shè)所求直線方程為．由題意知，解得或，即所求直線方程為或．故選：D．2．（25-26高二上·全國·單元測試）已知，兩點(diǎn)到直線l：的距離相等，則a的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】法一：由點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)值；法二：兩點(diǎn)到直線的距離相等，則直線與兩定點(diǎn)所在直線平行，或直線過以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，列方程求參數(shù)值.【詳解】法一：因?yàn)辄c(diǎn)，到直線l：的距離相等，所以，即，化簡得，解得或；法二：若，由，，得直線AB的斜率為，又直線l的斜率為，故；若在兩側(cè)，線段AB的中點(diǎn)，代入直線l：，得，則．經(jīng)檢驗(yàn)，或均符合題意.故選：C3．（25-26高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知直線和的交點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立直線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，對的取值分情況討論，并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)而求得點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【詳解】聯(lián)立，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時，，當(dāng)時，，恒有，于是，綜上，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.故選：C.4．函數(shù)的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】由，則可以看作是x軸上的動點(diǎn)分別與兩點(diǎn)，的距離之和，結(jié)合圖形分析即可求解.【詳解】由題可得的定義域?yàn)?，又，所以可以看作是x軸上的動點(diǎn)分別與兩點(diǎn)，的距離之和，如圖，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為，則當(dāng)與，三點(diǎn)共線時，距離之和最小，則．故選：B5．（25-26高二上·全國·單元測試）若動點(diǎn)，分別在直線與上移動，則的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)動點(diǎn)滿足的關(guān)系式，結(jié)合中點(diǎn)公式可得中點(diǎn)滿足的方程，利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，又，分別在直線與上，∴聯(lián)立得，兩式相加得，∴，即，即的中點(diǎn)在直線上移動，∴到原點(diǎn)距離的最小值即原點(diǎn)到直線的距離．故選：A.二、填空題6．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離等于2，則直線l的方程為．【答案】或【分析】本題利用定點(diǎn)到定直線的距離為求直線方程，只需待定系數(shù)法列出等式進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合原點(diǎn)到直線l的距離等于2；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線l的方程為，即，由，得，即直線l的方程為．綜上，直線l的方程為或．7．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知的三個頂點(diǎn)，，，則的形狀為．【答案】等腰直角【分析】解法一：先利用兩點(diǎn)距離距離公式求出，，，再根據(jù)邊長關(guān)系得，且，即可得是等腰直角三角形．解法二：結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式及判斷，利用兩點(diǎn)距離公式求得，即可得是等腰直角三角形．解法三：利用向量坐標(biāo)運(yùn)算判斷和，即可得是等腰直角三角形．【詳解】方法一：如圖，因?yàn)?，，，所以，且，所以是等腰直角三角形．解法二：因?yàn)?，，所以，所以．又，，所以，所以是等腰直角三角形．解法三：，，則，且，所以且，所以是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角8．（25-26高二上·全國·期中）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線在x軸上的截距為．【答案】或13【分析】由兩直線平行可得n，再利用平行直線間的距離公式計(jì)算可得m，即可得到答案．【詳解】由題意，，因?yàn)椋?，解得，所以：，即，由兩平行直線間的距離公式得，解得或．在中，令，得，故直線在x軸上的截距為或13.故答案為：或13.9．兩平行線，分別過點(diǎn)與．設(shè)與之間距離是，求的取值范圍為．【答案】【分析】由過定點(diǎn)的兩條平行直線可得，極限思想可得出其最小要大于重合時的距離，最大時為與直線垂直時.【詳解】由極限思想可得，兩直線的距離，而當(dāng)平行線，與直線垂直時，兩平行線的距離最大，即，所以，．故答案為：10．（24-25高二下·上?！て谥校┮阎本€經(jīng)過點(diǎn)，且與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，直線的方程為．【答案】或，【分析】表達(dá)出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，所以直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，所以，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，此時直線的方程為或，故答案為：或，11．已知，，則的最小值為.【答案】【分析】利用平面上兩點(diǎn)間線段最短和兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義即可求解.【詳解】.記點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)，因?yàn)?，，所以的幾何意義為：表示正方形內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)四點(diǎn)的距離之和.因?yàn)榈膸缀我饬x為：正方形內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和.所以當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含點(diǎn)和點(diǎn)）上時，點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和最小，即取得最小值，為.因?yàn)榈膸缀我饬x為：正方形內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和.所以當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含點(diǎn)和點(diǎn)）上時，點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和最小，即取得最小值，為.綜上可得：當(dāng)點(diǎn)是線段與的交點(diǎn)時，和同時取得最小值，均為.所以的最小值為.故答案為：.三、解答題12．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線，，其中實(shí)數(shù)，滿足．(1)證明直線與相交；(2)證明直線與的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為定值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）借助反證法證明即可得；（2）聯(lián)立兩直線可解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再借助兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得證.【詳解】（1）假設(shè)直線與不相交，則直線與平行或重合，有，又，得，此時無實(shí)數(shù)解，從而，即直線與相交；（2）設(shè)直線與的交點(diǎn)為點(diǎn)，解方程組，得，則點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)為，則，即直線與的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為定值1．一、單選題1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三點(diǎn)，，在同一條直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，利用列式計(jì)算即得.【詳解】由，，三點(diǎn)共線，得，即，解得．故選：B2．（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┮阎本€的方程是，則對任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先求直線所過定點(diǎn)，再判斷選項(xiàng).【詳解】，，得，定點(diǎn)在第一象限，則直線一定經(jīng)過第一象限故選：A3．（24-25高二下·湖南株洲·開學(xué)考試）已知直線與直線，則“”是“”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】當(dāng)時，可得出，當(dāng)時，得到或，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，，此時，所以可以推出，若，由，解得或，當(dāng)，，，顯然有，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4．（24-25高二上·廣東惠州·期中）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，再結(jié)合圖形求出斜率的取值范圍即可.【詳解】解：因?yàn)镻，，所以，因?yàn)橹本€與線段AB（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則或故直線的斜率的范圍為.故選：D.5．（24-25高二上·陜西西安·月考）過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】

設(shè)直線的傾斜角為，，當(dāng)直線的斜率不存在時，，符合，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)，，，則，，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.6．（23-24高二上·江蘇鹽城·月考）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為.已知，且直線的斜率為0.9，則（

）

A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8【答案】A【分析】不妨設(shè)，根據(jù)以及斜率公式，建立方程，可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，不妨設(shè)，則．由題意，知，即．解得．故選：A．7．（24-25高二上·山東臨沂·期中）點(diǎn)到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線的方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】B【分析】求出直線所過的定點(diǎn)，再確定最大值條件即可求解.【詳解】將直線變形得，由，解得，因此直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為，又直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：B8．（24-25高二上·山西大同·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩平行直線距離公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，是直線上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，則兩直線平行，的最小值是平行直線之間的距離的平方，可得最小值為.故選：D9．（25-26高二上·全國·單元測試）已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接AB，取AB的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，則與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法1，由題可得與平行，則與之間的距離為與之間距離的，據(jù)此可得答案；方法2，注意到A，B的選取對直線方程無影響，為此取，可得方程，據(jù)此可得答案.【詳解】方法1，直線的方程可化為，又，故直線與平行．如圖，過A作于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則為所求直線與的距離．因?yàn)椋?，所以?/p>

方法2，由方法1，直線與平行，則A，B的選取對直線方程無影響，不妨設(shè)，因?yàn)闉锳B上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則，設(shè)，則.設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，則，故直線與之間的距離．故選：B10．已知、，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記點(diǎn)、、、，，可得出，數(shù)形結(jié)合可得出所求代數(shù)式的最小值.【詳解】記點(diǎn)、、、，，如下圖所示：易知四邊形是邊長為的正方形，所以，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段、的交點(diǎn)時，等號成立，故的最小值為.故選：C.二、多選題11．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）直線經(jīng)過點(diǎn)，在軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，分別求得直線過點(diǎn)以及點(diǎn)的斜率，再結(jié)合圖像，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的斜率為，如圖，過定點(diǎn)的直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線在軸上的截距為3，此時；過定點(diǎn)的直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線在軸的截距為，此時，滿足條件的直線的斜率范圍是．故選：BD三、填空題12．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知兩直線，，則，則.【答案】或【分析】根據(jù)一般式方程兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，且所以，解得?故答案為：或13．（24-25高二上·重慶·月考）過直線的定點(diǎn)，且與直線垂直的直線的一般式方程為.【答案】【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法求出方程.【詳解】直線，即，由得點(diǎn)，設(shè)與直線垂直的直線方程為，則，解得，所以所求直線方程為.故答案為：14．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直線與直線之間的距離為，則實(shí)數(shù)的值為；【答案】或【分析】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式列式求出值.【詳解】直線，即與直線之間的距離為，則，解得或，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為或.故答案為：或15．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┲本€過且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的方程為.【答案】或【分析】可用截距式設(shè)直線方程，代入點(diǎn)即可得到答案（注意討論截距等于0的情況）.【詳解】設(shè)直線的截距為a，情況一：截距非零（)此時直線方程為截距式：，代入點(diǎn)：因此直線方程為：；情況二：截距為零（)此時直線過原點(diǎn)，設(shè)方程為：，代入點(diǎn)：，因此直線方程為.故答案為：或.16．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知，，，不能構(gòu)成三角形，則．【答案】/【分析】根據(jù)已知分析出三點(diǎn)共線且斜率存在，應(yīng)用斜率兩點(diǎn)式列方程得，整理變形即可得.【詳解】三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形的情況，即三點(diǎn)共線，因?yàn)樾甭蚀嬖?，所以，即，?因?yàn)?，所以，?故答案為：17．（24-25高二上·上?！ぴ驴迹┲本€過點(diǎn)，且原點(diǎn)與距離為5，則直線的方程為.【答案】【分析】對直線的斜率分類討論，利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為,則原點(diǎn)到其距離為4，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)為，則直線的方程為，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，直線到點(diǎn)的距離為：，依題意，，即，，，解得，因此直線的方程為，即.故答案為：.18．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)到直線的距離不大于，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算.【詳解】點(diǎn)到直線的距離，整理可得，解得．故答案為：.19．（24-25高二上·福建龍巖·期中）已知，若過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)（與A，不重合），則的值為.【答案】1【分析】根據(jù)題意直線方程可得，，分析可知，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閯又本€過定點(diǎn)，動直線過定點(diǎn)，且，可知，即，所以.故答案為：1.20．（23-24高二上·重慶·期中）已知在直線上，則的最小值為．【答案】3【分析】根據(jù)，即表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在直線上，所以的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，.所以的最小值為3.故答案為：.21．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）對任意的實(shí)數(shù)，原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)直線系方程先求解出直線所過的定點(diǎn)，然后考慮直線經(jīng)過點(diǎn)、與定點(diǎn)的連線垂直直線，由此確定出的取值范圍.【詳解】直線的方程可化為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過時，此時，即，故，當(dāng)直線與垂直時，此時取最大值，下面證明：當(dāng)與直線垂直時，記直線為，當(dāng)不與直線垂直且直線不經(jīng)過時，記直線為，過作交于點(diǎn)，如下圖所示，由圖可知：為直角三角形且為斜邊，所以，所以取最