1/10專題07空間向量與立體幾何必刷題型（10大題型76題）題型01題型01空間中的向量共面問題一、單選題1．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┮阎蛄?，，是空間不共面的三個向量，則下列選項中能構(gòu)成空間向量一組基底是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．33．（24-25高二下·福建廈門·月考）已知向量，，，若、、共面，則等于（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·全國·單元測試）對于空間任一點和不共線的三點，有，則“”是“四點共面”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點為的中點，點滿足，點滿足，若、、、四點共面，則（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱錐的體積為是空間中一點，，則三棱錐的體積是（

）A．5 B．4 C．3 D．2題型02題型02空間向量的線性運算及參數(shù)問題一、單選題1．（24-25高二下·江蘇南京·期末）在三棱錐中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長方體中，為的中點，.記，，，則等于（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·湖北·期中）如圖，在正四棱臺中，.直線與平面EFG交于點，則（

）A． B． C． D．二、填空題4．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在三棱錐中，若是正三角形，為其重心，則化簡的結(jié)果為．5．（24-25高二上·河北邯鄲·月考）已知、、三個空間向量，若與共線，則的值為．6．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知點和點，則靠近點的三等分點的坐標(biāo)為．7．（25-26高二上·全國·單元測試）設(shè)向量不共面，已知，，，若三點共線，則．8．（24-25高二下·福建龍巖·期中）如圖，在三棱錐中，G為的重心，，，，，，若PG交平面DEF于點M，且，則的最小值為．題型03題型03空間向量的數(shù)量積運算及其應(yīng)用（含模長、夾角、投影向量）一、單選題1．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量為（

）A．2 B． C． D．2．（24-25高二下·江蘇鹽城·月考）在正三棱錐中，，點是棱的中點，，則（）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，在三棱柱中，分別是，上的點，且，．設(shè)，，，若，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·湖北·期末）已知八面體由正四棱錐與正四棱錐構(gòu)成（如圖），若，，點分別為的中點，則（

）A．0 B．2 C． D．5．（24-25高二下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知長方體中，，，向量，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（24-25高二下·湖北·期末）如圖，在棱長均為2的平行六面體中，底面是正方形，且，下列選項正確的是（

）A．長為B．異面直線與所成角的余弦值為C．D．7．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為，空間內(nèi)任一點滿足，則下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．最小值為 B．最大值為 C．最小值為 D．最大值為三、填空題8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知為單位向量.，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.9．（24-25高二下·上海閔行·期末）、、是空間向量，其中，與、的夾角都是，且，，．則．10．（24-25高二上·天津·期中）已知向量，，且，夾角為鈍角，則m的取值范圍為；11．（2025高二·全國·專題練習(xí)）在菱形中，，線段，的中點分別為，．現(xiàn)將沿對角線翻折，則異面直線與所成角的取值范圍為．12．（24-25高二上·河北張家口·期末）如圖，正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為為的中點，若，則的取值范圍是．四、解答題13．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，在棱長為1的正方體中，點是側(cè)面上的一個動點（包含邊界）．(1)若，求的最小值；(2)若，求與夾角的最大值．題型04題型04距離問題一、單選題1．（25-26高二上·全國·單元測試）已知，，，，，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2025·河南安陽·一模）如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，為線段上靠近的三等分點，點為的重心，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·甘肅平?jīng)觥て谥校┱睦忮F中，為頂點在底面內(nèi)的正投影，為側(cè)棱的中點，且，則異面直線與的距離為（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，，點是棱的中點，點在棱上運動，則點到直線的距離的最小值為（

）

A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二上·四川成都·月考）已知正方體的棱長為1，點E、O分別是、的中點，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點A到直線BE的距離是 B．點O到平面的距離為C．平面與平面間的距離為 D．點P到直線AB的距離為三、填空題6．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且，則直線到的距離為．四、解答題7．（25-26高二·全國·假期作業(yè)）如圖，在正三棱柱中，，分別為的中點．線段上是否存在點，使得？若存在，求出點到平面的距離；若不存在，說明理由．題型05題型05線線角問題一、單選題1．（24-25高二下·安徽·月考）如圖，已知在長方體中，，點E在棱上，且，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·河南南陽·期末）已知在直三棱柱中，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·湖北·月考）在四面體中，，，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．-4．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B．4 C．2 D．35．（24-25高二下·福建寧德·期中）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是菱形，平面，直線AC與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．在正四棱臺中，，，且該正四棱臺的體積為28，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（24-25高二下·河南商丘·開學(xué)考試）在底面邊長為2的正三棱柱中，異面直線與所成角的余弦值為，則該正三棱柱的體積為．題型06題型06線面角問題一、單選題1．（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱錐中，平面平面，為正三角形，為梯形，，，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為線段的中點，設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·廣西河池·月考）在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，E為棱的中點，則到平面的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．二、解答題4．（2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段PB，PD的中點，是線段PC上的一點．(1)求證：平面平面PAC；(2)若直線AG與平面AEF所成角的正弦值為，求CG的長．5．（2025·河南·二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，點M為棱PD上一點，，O為AC的中點.(1)證明：平面平面MAC.(2)已知，，點N在棱BC上，且，若直線PN與平面MAC所成角的正弦值為，求的值.題型07題型07二面角（平面與平面所成角）問題一、解答題1．（24-25高二上·廣東汕頭·期末）如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點，．

(1)求證：平面平面；(2)若為的中點，求平面與平面的夾角．2．（24-25高二下·河南駐馬店·期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，且，．(1)證明：平面平面；(2)求二面角所成平面角的正弦值．3．（2025·山東煙臺·一模）如圖，點在以為直徑的半圓的圓周上，，且平面，(1)求證：；(2)當(dāng)為何值時，平面與平面夾角的余弦值為？4．（24-25高二下·云南曲靖·月考）如圖1在矩形中，為的中點，將沿折起，使得平面平面，如圖2.(1)求證：平面；(2)若點是線段上的一動點，且，當(dāng)二面角的正弦值為時，求的值.5．（24-25高二上·福建泉州·期中）在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是的中點，點在棱上，且.

(1)若平面平面，證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.題型08題型08折疊問題一、解答題1．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）某校一個數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．2．（24-25高二下·廣西南寧·期末）如圖所示，五邊形是正六邊形的一部分，將沿著對角線翻折到的位置，使平面平面，已知點分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．3．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，矩形ABCD中，，，E為AD的三等分點靠近D點，將沿著BE折起，使得點在底面的射影O落在BD上，Q為線段上的動點．(1)求證：平面平面；(2)若，當(dāng)Q到平面的距離為時，求的值．4．（24-25高二上·貴州·期中）如圖①所示，四邊形是直角梯形，，，且，為線段的中點．現(xiàn)沿著將折起，使點到達點，如圖②所示；連接、，其中為線段的中點．(1)求證：；(2)若二面角的大小為，則在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求點到平面的距離．5．（24-25高二下·海南?？凇て谀┤鐖D1，正方形的邊長為2，如圖2，將正方形沿著對角線翻折，O為原正方形的中心．(1)證明：平面；(2)翻折至四面體的體積最大時．（?。┣螽惷嬷本€與所成角的大小；（ⅱ）求與平面所成的角的正弦值．題型09題型09探索性問題一、解答題1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，平面，，，．

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)在棱上是否存在一點，使得平面平面說明理由．2．（24-25高二下·福建·期中）如圖，四棱錐中，平面，，，，，，是的中點．(1)求證：平面；(2)若，①求平面與平面所成角的余弦值；②在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．3．（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，．(1)求與平面所成角的余弦值；(2)是線段上的動點，若線段上存在點（不包含端點），使得異面直線與成30°角，求線段長的取值范圍．4．（23-24高二上·吉林長春·期中）如圖甲，在矩形中，，為線段的中點，沿直線折起，使得，點為的中點，連接、，如圖乙．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點、使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由：若存在，求出點的位置．5．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，等腰梯形是由三個邊長為2的等邊三角形拼成，現(xiàn)將沿翻折至，使得，如圖2所示.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)試問在內(nèi)是否存在一點，使得平面？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.6．（2025·江西鷹潭·二模）如圖1，等腰梯形是由三個全等的等邊三角形拼成，現(xiàn)將沿BC翻折至，使得，如圖2所示．(1)求證：；(2)在直線上是否存在點，使得直線BM與平面APD所成角的余弦值為？若存在，求出的值：若不存在，說明理由．題型10題型10建系艱難問題一、解答題1．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，二面角的大小為，，為棱的中點.(1)①②③④從上述四個條件中，選出一個能證明的選項，并證明；(2)設(shè)，點為上一點，是否存在點使得二面角的余弦值等于？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由.2．（24-25高二下·河南南陽·期末）如圖，在三棱錐中，為半圓的直徑，是弧上異于的點.點在直線上，平面，其中為的中點.(1