2025年高中一年級數(shù)學下學期三角函數(shù)專項測試考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知角α的終邊經(jīng)過點P(-3,4)，則sinα的值為（）A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/52.若cos(α+π/3)=1/2，且α是第四象限角，則sinα的值為（）A.-√3/2B.√3/2C.-1/2D.1/23.“sinα=1/2”是“α=5π/6”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)y=sin(2x-π/4)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.π/45.函數(shù)y=cos(x+π/3)在區(qū)間[-π/2,π/2]上的最小值是（）A.-1/2B.-√3/2C.0D.1/26.“α=π/4”是“sin2α+cos2α=1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.若f(x)=sin(x-π/6)，則f(π/3)的值等于（）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/28.已知0<α<π/2，sinα=3/5，則cos(α-π/6)的值等于（）A.4√15/10B.4√5/10C.3√15/10D.3√5/109.函數(shù)y=sin(π-x)+cos(π-x)的最小正周期是（）A.2πB.πC.π/2D.4π10.函數(shù)y=2sin(x+π/4)-1的圖像關(guān)于（）對稱A.x軸B.y軸C.原點D.直線x=π/4二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.化簡sin(α+π)cosα-cos(α+π)sinα的結(jié)果是________。12.函數(shù)y=cos(2x+π/3)的單調(diào)遞減區(qū)間是________。13.已知cosα=-1/3，且α是第三象限角，則tanα的值等于________。14.若sinα+cosα=√2/3，則sin(α+π/4)的值等于________。15.要得到函數(shù)y=sin(3x+π/6)的圖像，只需把函數(shù)y=sin3x的圖像________個單位長度向________平移。三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分12分）化簡下列三角函數(shù)式：(1)(sinα+cosα)2-sin(α+π/2)(2)(sin3α-cos3α)(sin3α+cos3α)17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=2sin(x-π/4)+1。(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值、最小值。(2)求方程f(x)=√3在區(qū)間[0,2π]上的解集。18.（本小題滿分12分）已知α是銳角，且tanα=2。(1)求sinαcosα的值。(2)求sinα+cosα的值。19.（本小題滿分12分）求函數(shù)y=sin(2x-π/3)+cos(2x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。20.（本小題滿分13分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知c=√3，b=2，cosB=1/3。(1)求邊a的長度。(2)求sinC的值。21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx)，其中ω>0，φ是銳角。(1)若f(x)的最小正周期為π，求ω的值。(2)在(1)的條件下，若f(π/4)=√2/2，求φ的值，并寫出函數(shù)f(x)的解析式。(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.D4.A5.A6.C7.B8.B9.B10.C二、填空題11.cosα12.[kπ-5π/12,kπ+π/12](k∈Z)13.-2√214.-1/315.π/6，向左三、解答題16.解：(1)原式=sin2α+2sinαcosα+cos2α-cosα=1+2sinαcosα-cosα=1+sinαcosα-cosα(2)原式=sin23α-cos23α=-(cos23α-sin23α)=-cos(2×3α)=-cos6α17.解：(1)函數(shù)f(x)=2sin(x-π/4)+1的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。當sin(x-π/4)=1時，函數(shù)取得最大值，此時f(x)=2×1+1=3。當sin(x-π/4)=-1時，函數(shù)取得最小值，此時f(x)=2×(-1)+1=-1。所以函數(shù)f(x)的最大值是3，最小值是-1。(2)由f(x)=√3，得2sin(x-π/4)+1=√3，即sin(x-π/4)=(√3-1)/2。因為0≤x≤2π，所以-π/4≤x-π/4≤7π/4。在區(qū)間[-π/4,7π/4]內(nèi)，sin(x-π/4)=(√3-1)/2的解為x-π/4=π/3或x-π/4=2π-π/3。解得x=π/3+π/4=7π/12，或x=2π-π/3+π/4=23π/12。所以方程f(x)=√3在區(qū)間[0,2π]上的解集為{7π/12,23π/12}。18.解：(1)因為tanα=2，所以sinα/cosα=2，即sinα=2cosα。sin2α+cos2α=1，所以(2cosα)2+cos2α=1。4cos2α+cos2α=1，即5cos2α=1。因為α是銳角，所以cosα>0，cosα=√5/5。sinα=2cosα=2√5/5。所以sinαcosα=(2√5/5)×(√5/5)=2/5。(2)(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2×(2/5)+1=4/5+2=9/5。因為α是銳角，sinα>0，cosα>0，所以sinα+cosα>0。所以sinα+cosα=√(9/5)=3√5/5。19.解：y=sin(2x-π/3)+cos(2x)=(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x+(√2/2)cos2x+(√2/2)sin2x=[(√2+√3)/2]sin2x+[(√2-√3)/2]cos2x=√[((√2+√3)/2)2+((√2-√3)/2)2]sin(2x+φ)其中cosφ=[(√2-√3)/2]/√[((√2+√3)/2)2+((√2-√3)/2)2]=(√2-√3)/√[5+2√6-2√6]=(√2-√3)/√5。sinφ=[(√2+√3)/2]/√[((√2+√3)/2)2+((√2-√3)/2)2]=(√2+√3)/√5>0。所以φ是銳角。所以y=√[((√2+√3)/2)2+((√2-√3)/2)2]sin(2x+φ)=√5sin(2x+φ)。函數(shù)的振幅為√5，最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。當sin(2x+φ)=1時，函數(shù)取得最大值√5。當sin(2x+φ)=-1時，函數(shù)取得最小值-√5。在區(qū)間[0,π]上，0≤2x≤2π，所以φ≤2x+φ≤2π+φ。要使sin(2x+φ)=1，需2x+φ=π/2+2kπ(k∈Z)。因為φ是銳角，所以當k=0時，φ≤π/2+φ≤π+φ，解得0≤π/2≤2π，顯然無解。當k=-1時，φ≤π/2+φ≤-π+φ，解得-π≤0≤-π+φ，即0≤φ≤π。所以sin(2x+φ)=1的解為2x=π/2-φ+2kπ，x=(π/4-φ/2+kπ)。在區(qū)間[0,π]內(nèi)，令k=0，得x=π/4-φ/2，需要0≤π/4-φ/2≤π，即φ≤π/2。令k=1，得x=π/4-φ/2+π，需要0≤π/4-φ/2+π≤π，即φ≤3π/4。綜上，φ∈(0,π/2]，此時sin(2x+φ)=1，函數(shù)取得最大值√5。要使sin(2x+φ)=-1，需2x+φ=3π/2+2kπ(k∈Z)。當k=0時，φ≤3π/2+φ≤π+φ，解得-3π/2≤0≤-π+φ，即π≤φ≤3π/2。當k=-1時，φ≤3π/2+φ≤-π+φ，解得-3π≤0≤-π+φ，顯然無解。綜上，φ∈[π,3π/2)，此時sin(2x+φ)=-1，函數(shù)取得最小值-√5。所以函數(shù)y=sin(2x-π/3)+cos(2x)在區(qū)間[0,π]上的最大值是√5，最小值是-√5。20.解：(1)由cosB=1/3，得sinB=√(1-cos2B)=√(1-1/9)=2√2/3。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以a=(b/sinB)sinA=(2×sinA)/(2√2/3)=(3√2/2)sinA。由余弦定理，b2=a2+c2-2ac*cosB。4=[(3√2/2)sinA]2+(√3)2-2[(3√2/2)sinA](√3)(1/3)。4=(9/2)sin2A+3-3√2sinA。9/2sin2A+3√2sinA-1=0。9sin2A+6√2sinA-2=0。(3sinA+1)(3sinA-2)=0。sinA=-1/3或sinA=2/3。因為0<A<π，所以sinA>0，sinA=2/3。a=(3√2/2)sinA=(3√2/2)×(2/3)=√2。(2)由正弦定理，b/sinB=c/sinC。2/(2√2/3)=√3/sinC。sinC=(√3×2√2/3)/2=√6/3。因為a<b<c，且cosB=1/3>0，所以B為銳角。所以sinC=√6/3>0。當角C為銳角時，cosC=√(1-sin2C)=√(1-(√6/3)2)=√(1-2/3)=√1/3=√3/3。所以sinC=√6/3，cosC=√3/3。21.解：(1)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx)=√2sin(ωx+π/4+φ)。函數(shù)f(x)的最小正周期為π，所以T=2π/|ω|=π。解得|ω|=2，因為ω>0，所以ω=2。(2)由(1)知ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x)。f(π/4)=sin(2×π/4+φ)+cos(2×π/4)=sin(π/2+φ)+cos(π/2)=sin(π/2+φ)+0=1。所以sin(π/2+φ)=1。因為φ是銳角，所以π/2<π/2+φ<3π/2。所以π/2+φ=π/2+2kπ(k∈Z)，解得φ=2kπ(k∈Z)。又因為φ是銳角，所以φ=0。所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2x)+cos(2x)。(3)由(2)知f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)。函數(shù)y=√2sin(2x+π/4)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。令-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ(k∈Z)。解得-3π