考研數(shù)學(xué)三2025年概率論真題試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)事件A與B互斥，P(A)>0，P(B)>0，則下列說法正確的是（）。（A）P(A|B)=0（B）P(B|A)=0（C）P(A+B)=P(A)P(B)（D）P(A|B)=P(A)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=a(k+1)/10,k=1,2,3，則a的值為（）。（A）1/10（B）1/9（C）1/8（D）1/73.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={c(x^2),0<x<2;0,其他}，則常數(shù)c的值為（）。（A）1/4（B）1/8（C）1/16（D）1/24.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E[(X+Y)^2]等于（）。（A）2λ（B）λ^2+2λ（C）λ^2+4λ（D）λ^2+2λ^25.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)=2，X的方差DX=1，Y的方差DY=5，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY等于（）。（A）2/√5（B）1/√5（C）2（D）1/5二、填空題：本大題共4小題，每小題2分，共8分。6.設(shè)事件A，B，C相互獨(dú)立，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(C)=0.4，則P(A+B+C)的值為_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x≤0;(1-p)e^{-px},x>0}(p>0)，則X的分布律為P(X=k)=_______，k=0,1,2,...8.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)={x+y,0<x<1,0<y<1;0,其他}，則E(XY)的值為_______。9.從一批產(chǎn)品中不放回地抽取3件，設(shè)X為其中次品件數(shù)，若該批產(chǎn)品中有2件次品，則P(X=2)=_______。三、解答題：本大題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（本小題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0<x<1;0,其他}。令Y=1-X。求：（1）Y的密度函數(shù)f_Y(y)；（2）P(X<Y)。11.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)。令Z=X^2+Y^2。求：（1）Z的分布函數(shù)F_Z(z)；（2）Z的密度函數(shù)f_Z(z)（若存在）。12.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律如下表所示（表中a為待求常數(shù)）：Y\X|0|1|2---|-----|-----|-----0|0.1|a|0.11|0.2|0.2|0.1（1）求常數(shù)a的值；（2）求隨機(jī)變量X的邊緣分布律；（3）判斷X與Y是否相互獨(dú)立，并說明理由。13.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均服從N(μ,σ^2)。令U=X+Y，V=X-Y。求：（1）U與V的協(xié)方差cov(U,V)；（2）U與V是否相互獨(dú)立？并說明理由。14.（本小題滿分12分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={1/θ,0<x<θ;0,其他}，其中θ>0為未知參數(shù)。又X1,X2,...,Xn是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。（1）求參數(shù)θ的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量。15.（本小題滿分12分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;p)={p,x=0;1-p,x=1}，其中p(0<p<1)為未知參數(shù)。又X1,X2,...,Xn是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。記N為樣本中取值為1的個(gè)數(shù)。求參數(shù)p的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。試卷答案一、選擇題1.（A）2.（B）3.（C）4.（C）5.（B）二、填空題6.0.9327.(1-p)^k*p,k=0,1,2,...8.1/49.1/3三、解答題10.解：（1）Y=1-X。當(dāng)0<x<1時(shí)，y=1-x屬于(0,1)。由變換公式，Y的密度函數(shù)f_Y(y)=f_X(1-y)*|-1|=2(1-y)，當(dāng)0<y<1；否則f_Y(y)=0。故f_Y(y)={2(1-y),0<y<1;0,其他}。（2）P(X<Y)=P(1-Y<X<Y)=P(1-Y<1-X<Y)=P(0<X<1-Y)。當(dāng)0<y<1時(shí)，P(0<X<1-y)=∫_0^(1-y)2xdx=[x^2]_0^(1-y)=(1-y)^2。故P(X<Y)=∫_0^1(1-y)^2dy=[-y^3/3+y^2/2]_0^1=-1/3+1/2=1/6。當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，P(X<Y)=0。所以P(X<Y)={1/6,0<y<1;0,其他}。11.解：（1）Z=X^2+Y^2。由于X與Y相互獨(dú)立且同服從N(0,1)，則X^2與Y^2相互獨(dú)立，且均服從χ^2(1)分布。由χ^2分布的可加性，X^2+Y^2~χ^2(2)。查χ^2分布表或由定義，χ^2(2)分布即為指數(shù)分布，參數(shù)為1/2。其分布函數(shù)F_Z(z)={1-e^{-z/2},z>0;0,z≤0}。（2）由（1）知Z~Exp(1/2)。其密度函數(shù)f_Z(z)={1/2*e^{-z/2},z>0;0,z≤0}。12.解：（1）由邊緣分布律性質(zhì)，P(X=0)=0.1+a+0.1=0.2+a。P(X=1)=a+0.2=0.2+a。P(X=2)=0.1+0.1=0.2。邊緣分布律為：X|0|1|2P|0.2+a|0.2+a|0.2又P(Y=0)+P(Y=1)=0.1+a+0.1+0.2+0.2=0.5+a。邊緣分布律性質(zhì)要求P(Y=0)+P(Y=1)=1，故0.5+a=1，得a=0.5。（2）X的邊緣分布律由表中第一列和第一行邊緣和得到：X|0|1|2P|0.2|0.5|0.3（3）若X與Y獨(dú)立，則P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)。表中P(X=1,Y=1)=0.2，而P(X=1)P(Y=1)=0.5*(0.5+0.2)=0.35≠0.2。故X與Y不獨(dú)立。13.解：（1）U=X+Y，V=X-Y。E(X)=μ,E(Y)=μ,E(X^2)=DX+μ^2=σ^2+μ^2,E(Y^2)=DY+μ^2=σ^2+μ^2。cov(U,V)=cov(X+Y,X-Y)=cov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)-cov(Y,Y)=DX-0+0-DY=σ^2-σ^2=0。（2）因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X^2與Y^2相互獨(dú)立，X與Y^2相互獨(dú)立，Y與X^2相互獨(dú)立。從而X(X^2)與Y(X^2)相互獨(dú)立。由U=X+Y和V=X-Y可知，X(X^2)與Y(X^2)是U和V的線性組合的一部分（具體看U=X+Y，V=X-Y可以看作是X與(X+Y)和(X-Y)的線性組合，其中X與Y獨(dú)立，X與(X-Y)獨(dú)立，Y與(X-Y)獨(dú)立）。若兩個(gè)隨機(jī)變量協(xié)方差為0，且它們來(lái)自獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合，通常認(rèn)為它們獨(dú)立（尤其當(dāng)涉及正態(tài)分布時(shí)）。這里X與Y是正態(tài)分布，所以X與X^2，Y與Y^2也大致可視為正態(tài)分布（雖然X^2,Y^2本身非正態(tài)）。即使不嚴(yán)格按正態(tài)分布處理，由于X與Y獨(dú)立，且U和V是X和Y的線性組合，可以推斷U和V也相互獨(dú)立。因此U與V相互獨(dú)立。14.解：（1）矩估計(jì)：E(X)=∫_0^θx*(1/θ)dx=[x^2/2θ]_0^θ=θ^2/2θ=θ/2。樣本均值樣本矩為1/n*Σ(xi)=1/n*Σxi。令樣本均值等于總體均值，即θ/2=(1/n)Σxi。θ的矩估計(jì)量為θ_hat=2*(1/n)Σxi=2*(樣本均值)=2*(樣本的算術(shù)平均)。（2）最大似然估計(jì)：似然函數(shù)L(θ)=Π_(i=1)^nf(x_i;θ)=Π_(i=1)^n(1/θ)=(1/θ)^n。當(dāng)0<x_i<θ對(duì)所有i成立時(shí)，該似然函數(shù)達(dá)到最大。要使0<x_i<θ對(duì)所有的樣本點(diǎn)x_i成立，θ必須大于所有樣本點(diǎn)中的最大值。因此，最大化似然函數(shù)的θ值是所有樣本點(diǎn)中的最大值。θ的似然估計(jì)量為θ_hat=max(X1,X2,...,Xn)。15.解：（1）矩估計(jì)：E(X)=0*(1-p)+1*p=p。樣本均值樣本矩為1/n*Σ(xi)。令樣本均值等于總體均值，即p=(1/n)Σxi。p的矩估計(jì)量為p_hat=(1/n)Σxi=(樣本中取值為1的個(gè)數(shù))/n=N/n。（2）最大似然估計(jì)：設(shè)樣本觀測(cè)值