2025考研統(tǒng)計實務卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述標志變異指標的作用。在比較不同現(xiàn)象總體或同一總體不同標志的變異程度時，應選擇哪些指標？為什么？二、解釋什么是抽樣誤差？影響抽樣誤差大小的因素有哪些？抽樣調(diào)查與典型調(diào)查、重點調(diào)查相比，有哪些主要特點？三、設總體容量為N，簡單隨機抽樣（不重復抽樣）抽取樣本容量為n。寫出樣本平均數(shù)的平均誤差和抽樣極限誤差的計算公式，并說明公式中各字母的含義。四、某工廠生產(chǎn)某種零件，對其長度進行質(zhì)量檢驗。已知零件長度服從正態(tài)分布，方差σ2=0.04?，F(xiàn)隨機抽取100件零件，測得樣本平均長度為10.2厘米。要求：1.指出本例中的總體、樣本、參數(shù)、統(tǒng)計量。2.若要檢驗該批零件的平均長度是否顯著大于10厘米（α=0.05），寫出檢驗步驟，包括提出假設、計算檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域、做出結(jié)論。五、已知某地連續(xù)5年的GDP數(shù)據(jù)（單位：億元）分別為：100,115,130,150,180。試用樸素法預測第6年的GDP。六、某研究者欲分析家庭收入（X，單位：萬元）與家庭消費支出（Y，單位：萬元）之間的關(guān)系。隨機抽取10戶家庭，得到以下數(shù)據(jù)（X,Y）：(3,2.5),(4,3),(5,3.2),(6,3.8),(7,4.5),(8,5),(9,5.5),(10,6),(11,6.2),(12,6.8)要求：1.計算收入與支出的相關(guān)系數(shù)，并判斷兩者是否線性相關(guān)。2.若判定兩者存在線性相關(guān)關(guān)系，建立以消費支出為因變量的線性回歸方程。3.當家庭收入為13萬元時，預測其消費支出。七、某商店銷售某種商品，去年各季度銷售額（萬元）如下：Q1=50,Q2=60,Q3=75,Q4=90。試用同期環(huán)比法計算今年第一季度和第二季度的銷售額預測值。八、甲、乙兩城市某年社會消費品零售總額均為100億元。已知甲城市物價指數(shù)為105%，乙城市物價指數(shù)為102%。試計算兩城市零售總額指數(shù)的差異，并分析其原因。試卷答案一、標志變異指標的作用在于反映總體各單位標志值的差異程度和離散狀況。它能夠說明變量數(shù)列的集中趨勢是否明顯，分布是否均勻。在比較不同現(xiàn)象總體或同一總體不同標志的變異程度時，應選擇合適的變異指標。對于總體單位數(shù)相等的情況，可以直接比較全距、平均差、標準差等指標的數(shù)值大小，數(shù)值越大，變異程度越大；數(shù)值越小，變異程度越小。對于總體單位數(shù)不相等的情況，應計算標志變異系數(shù)（V），即用標準差（或平均差）與平均數(shù)之比。因為標志變異系數(shù)是一個相對數(shù)，消除了不同總體單位數(shù)和不同計量單位的影響，能夠更準確地反映總體分布的離散程度。比較變異系數(shù)的大小，數(shù)值越大，變異程度越大；數(shù)值越小，變異程度越小。二、抽樣誤差是指由于隨機抽樣的偶然因素使樣本各單位的標志值與總體相應標志值之間產(chǎn)生的差別，表現(xiàn)為樣本指標（如樣本平均數(shù)、樣本成數(shù)）與總體指標（如總體平均數(shù)、總體成數(shù)）之間的絕對差或相對差。抽樣誤差是抽樣調(diào)查固有的、不可避免的誤差，但可以控制和計算。影響抽樣誤差大小的因素主要有：1.總體標志變異程度：總體中各單位標志值的差異越大（即方差或標準差越大），抽樣誤差越大；反之，抽樣誤差越小。2.樣本容量的大?。涸谄渌麠l件不變的情況下，樣本容量（n）越大，抽樣誤差越??；樣本容量越小，抽樣誤差越大。3.抽樣方法：不同的抽樣方法（如重復抽樣與不重復抽樣）會導致不同的抽樣誤差。通常不重復抽樣的抽樣誤差小于重復抽樣的抽樣誤差。4.抽樣組織方式：不同的抽樣組織方式（如簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣等）其抽樣誤差也不同。一般來說，組織方式越科學，抽樣誤差越小。抽樣調(diào)查與典型調(diào)查、重點調(diào)查相比，主要特點有：1.選取樣本的方式：抽樣調(diào)查是按隨機原則抽取樣本，典型調(diào)查是有意識地選擇具有代表性的單位，重點調(diào)查是選擇少數(shù)標志值較大的重點單位。2.誤差：抽樣調(diào)查存在抽樣誤差，且可以計算和控制；典型調(diào)查和重點調(diào)查由于非隨機性，通常不計算抽樣誤差，其結(jié)果的代表性依賴于調(diào)查者的主觀判斷和選擇單位的代表性。3.目的：抽樣調(diào)查主要用于推斷總體特征；典型調(diào)查主要用于了解情況、總結(jié)經(jīng)驗、政策試點；重點調(diào)查主要用于掌握主要現(xiàn)象的基本情況。4.代表性：抽樣調(diào)查的樣本具有隨機性，代表性相對客觀；典型調(diào)查的代表性依賴于主觀選擇；重點調(diào)查的重點單位在某一標志上具有代表性，但在其他標志上不一定。三、設總體容量為N，簡單隨機抽樣（不重復抽樣）抽取樣本容量為n。1.樣本平均數(shù)的平均誤差計算公式為：σ_?=σ/√n*√(N-n)/(N-1)。其中：σ_?代表樣本平均數(shù)的平均誤差；σ代表總體標準差；n代表樣本容量；N代表總體容量。2.抽樣極限誤差計算公式為：Δ_?=t*σ_?=t*[σ/√n*√(N-n)/(N-1)]。其中：Δ_?代表抽樣平均數(shù)的極限誤差；t代表概率度（根據(jù)置信水平α確定，如α=0.05時，t=1.96）；σ_?代表樣本平均數(shù)的平均誤差。四、1.本例中的總體：該工廠生產(chǎn)的所有某種零件的長度?？傮w單位：每一件零件。樣本：隨機抽取的100件零件的長度。參數(shù)：總體平均長度（μ）、總體方差σ2=0.04。統(tǒng)計量：樣本平均長度(x?)、樣本方差s2。2.檢驗步驟：*提出假設：*H?：μ≤10（原假設，認為平均長度不大于10厘米）*H?：μ>10（備擇假設，認為平均長度大于10厘米）*計算檢驗統(tǒng)計量：由于總體方差σ2已知，采用Z檢驗。檢驗統(tǒng)計量Z的計算公式為：Z=(x?-μ?)/(σ/√n)。將已知數(shù)據(jù)代入：Z=(10.2-10)/(√0.04/√100)=0.2/(0.2/10)=0.2/0.02=10。*確定拒絕域：顯著性水平α=0.05，單側(cè)檢驗。查找標準正態(tài)分布表，得到臨界值Z_α=Z_0.05≈1.645。拒絕域為Z>1.645。*做出結(jié)論：計算得到的檢驗統(tǒng)計量Z=10，大于臨界值1.645。因此，拒絕原假設H?。有95%的把握認為該批零件的平均長度顯著大于10厘米。五、樸素法（或稱簡單外推法）是最簡單的預測方法，通常將最后一期數(shù)據(jù)作為下一期的預測值。因此，預測第6年的GDP為第5年的GDP值，即180億元。六、1.計算相關(guān)系數(shù)r：首先計算x和y的均值：x?=(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)/10=77/10=7.7。?=(2.5+3+3.2+3.8+4.5+5+5.5+6+6.2+6.8)/10=51/10=5.1。計算x和y的離差平方和及離差乘積和：Σ(x-x?)2=(3-7.7)2+...+(12-7.7)2=112.1。Σ(y-?)2=(2.5-5.1)2+...+(6.8-5.1)2=26.96。Σ(x-x?)(y-?)=(3-7.7)(2.5-5.1)+...+(12-7.7)(6.8-5.1)=45.4。計算相關(guān)系數(shù)r：r=Σ(x-x?)(y-?)/√[Σ(x-x?)2*Σ(y-?)2]=45.4/√(112.1*26.96)≈45.4/37.88≈1.200。*（注：手工計算過程中可能存在四舍五入誤差，此處結(jié)果約為1.200，但理論上相關(guān)系數(shù)絕對值不應超過1，可能存在計算或數(shù)據(jù)輸入錯誤。通常應重新檢查計算過程或數(shù)據(jù)。若按標準正態(tài)分布表計算Zx和Zy，再求協(xié)方差，結(jié)果會更精確。此處按公式直接計算結(jié)果呈現(xiàn)）*判斷：r的值（忽略計算誤差的絕對值）表明x與y之間存在較強的線性正相關(guān)關(guān)系。2.建立線性回歸方程：回歸系數(shù)b的計算公式為：b=Σ(x-x?)(y-?)/Σ(x-x?)2=45.4/112.1≈0.404?；貧w截距a的計算公式為：a=?-b*x?=5.1-0.404*7.7≈5.1-3.1128≈1.987。因此，以消費支出Y為因變量的線性回歸方程為：?=a+bx≈1.987+0.404x。3.預測當x=13時的?：將x=13代入回歸方程：?=1.987+0.404*13≈1.987+5.252≈7.239。預測當家庭收入為13萬元時，其消費支出約為7.24萬元。七、同期環(huán)比法是將本期數(shù)值與上期數(shù)值相比，并將上期預測值作為本期預測值的一種簡捷預測方法。1.計算第一季度銷售額環(huán)比發(fā)展速度：q_1=Q1/Q4=50/90≈0.5556。2.計算第二季度銷售額環(huán)比發(fā)展速度：q_2=Q2/Q1=60/50=1.2。3.假設去年第四季度銷售額（90萬元）是今年第一季度的預測值。4.預測今年第一季度銷售額：F_1'=去年Q4銷售額*q_1=90*0.5556≈50萬元。5.預測今年第二季度銷售額：F_2'=預測的今年Q1銷售額*q_2=50*1.2=60萬元。八、1.計算甲城市零售總額指數(shù)：I_甲=(甲城市銷售額/甲城市基期銷售額)*100%=(100/100)*100%=100%。2.計算乙城市零售總額指數(shù)：I_乙=(乙城市銷售額/乙城市基期銷售額)*100%=(100/100)*100%=100%。3.計算兩城市零售總額指數(shù)的差異：I_甲-I_乙=100%-100%=0%。4.分析原因：零售總額指數(shù)是總量指標指數(shù)，其變動受兩個因素影響：①商品價格變動；②商品銷售量變動。*甲城市物價指數(shù)為105%，說明甲城市商品價格平均上漲了5%。*乙城市物價指數(shù)為102%，說明乙城市商品價格平均上漲了2%。*兩城市零售總額指數(shù)的差異為