2026年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練1一.選擇題(共10小題)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證②對任意的a,b,cEG,有(a·b)·C=a·(bc);A.G={0,1,2}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B.自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C.實數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D.G={a+√2b|a,b∈Z}2.(2025·廣東模擬)用C(A)表示非空集合A中元素個數(shù)，定義若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}且A*B=1,則實數(shù)a的所有取值為()A.0BC.0,2√23.(2025·甘肅校級模擬)對于正整數(shù)集合A={a?,a?,…,an}(n∈N*,n≥3),個元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集”,則下列說法正確的是()B.{1,2,3,4,5,6,7}4.(2025·邵陽模擬)對于集合A中的任意兩個元素x,y,若實數(shù)d(x,y)同時滿足以下三個條件：③Vz∈A,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z).則稱d(x,y)為集合A上的距離，記為dA,則下列說法錯誤的是()(4)若d為dR,則ed-1也為dR(為自然對數(shù)的底數(shù)).A.(1)(4)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(2)(3)5.(2025·東城區(qū)一模)已知集合A={(x,y)|y=√x2-1},B={(x,y)|y=alx+al}.如果A∩B有且只有兩個元素，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(-∞,1)B.(1,+C.[0,1]D.(0,1)U(1,+∞)6.(2025·安徽模擬)若集合A={x|(x-3)(x-20)<0},B={x|x為質(zhì)數(shù)},則A∩B中元素的個數(shù)為()A.47.(2025·贛州模擬)設(shè)集合A={-1,0,1},B={(x1,x2,x3,x4,x5)|xiEA,i=1,2,3,4,5},A.60B.100C.1208.(2025·沙坪壩區(qū)校級模擬)已知集合AUBUC={b1,b2,b3,b4,bs},且B∩C={b1,b2,b3},則集合A,B,C所有可能的情況種數(shù)為()A.216B.200C.279.(2024·邢臺模擬)已知集合A={2,-2},B={x|x2-ax+4=0},若AUB=A,則實數(shù)a滿足()A.{a|-4<a<4}B.{a|-2<a<2}C.{-4,4}D.{a|-4≤a≤4}10.(2024·寧波二模)已知點集A={(x,y)|x∈Z,yeZ},S={(a,b)∈A|I≤a≤5,1≤b≤5}.設(shè)非空點集T≌A,若對S中任意一點P,在T中存在一點Q(Q與P不重合),使得線段PQ上除了點P,Q外沒有A中的點，則T中的元素個數(shù)最小值是()A.1B.2二.多選題(共6小題)(多選)11.(2025·新鄉(xiāng)三模)已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：②若x,y∈M,則x+y∈M.下列說法中正確的有()C.若x,y∈M,則xy∈MD.若x,y∈M,則x-y∈M(多選)12.(2025·廣東模擬)定對于集合N中的任意兩個元素m,n,定義,e(m,n)=min{d(m,n),1}.(m,n)具有對稱性.下列判斷正確的是()B.若d(m,n)≥1,則e(m,n)不具有對稱性C.對于任意m,n,p∈N且1<m<n<p,e(m,p)=e(m,n)+e(n,p)恒成立D.集合N*中不存在三個互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)=3(多選)13.(2025·郫都區(qū)校級模擬)對于集合S,若存在集合S的兩兩不同的子集A1,A?,.…,Ak,k≥1滿足AiSA2….Ak,則稱其為集合S的一條“鏈”,稱k為這條“鏈”的長度.當(dāng)集合S的元素個數(shù)|S=n時，下列說法正確的是()C.當(dāng)ISI=4時，該集合的任意兩條長為4的“鏈”中一定具有相同集合(多選)14.(2025·望城區(qū)校級模擬)若平面點集，滿足：任意點(x,y)∈M,存在正實數(shù)t,都有(tx,ty)∈M,則稱該點集為“t階集”,則下列說法正確的是()是“t階集”,則t=1B.若M={(x,y)|y=2x}是“t階集”,則t為任意正實數(shù)C.若M={(x,y)|x2≤4y}是“t階集”,則0<≤1(多選)15.(2025·鄭州模擬)群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，群的定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“”是G上的一個代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對任意的a,b∈G,有a·b∈G;②對任意的a,b,法正確的有()A.G={-1,1,-i,i}(i為虛數(shù)單位)關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B.有理數(shù)集Q關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C.G={a+√2b|a,b∈Z}關(guān)于數(shù)的除法構(gòu)成群D.正實數(shù)集R+關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群(多選)16.(2025·小店區(qū)校級模擬)已知n∈N*,記A|為集合A中元素的個數(shù)，min(A)為集合A中的最小元素.若非空數(shù)集AC{1,2,.…,n},且滿足IA|≤min(A),則稱集合A為“n階完美集”.記an為全部n階完美集的個數(shù)，下列說法中正確的是()A.a4=7B.將n階完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是n+1階完美集D.若A為(n+2)階完美集，|A|>1且n+2∈A,滿足條件的集合A的個數(shù)為an+1-n-1三.填空題(共5小題)17.(2025·浦東新區(qū)校級模擬)設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個相乘所得均為5的倍數(shù)，則A的元素個數(shù)最多為18.(2025·浦東新區(qū)校級模擬)已知q>0,對任意正整數(shù)n,令Jn={x+y|若存在n,使得Jn=[an,bn]U[cn,dn]U[xn,yn],且bn<cn<dn<xn<yn,則q的取值范圍是19.(2025·泰安四模)對于任意的非空非空數(shù)集B中所有元素的乘積，特別地，如果B={x},π(B)=x.若M={a1,a2,a3,a4,a5},其中ai(i=1,2,3,4,5)是正整數(shù).則集合W(M)中元素個數(shù)的最小值為20.(2025·金山區(qū)校級三模)已知A={z1∈CIlz1-2il=1},集合B={z2|22=x(2+2i)+y(2-2i),x∈[0,1],y∈[0,1]},(其中i為虛數(shù)單位),若E={zlz=z1+z2,z1∈A,z2∈B},F={z∈CIlzl=a,a>0},且滿21.(2025·豐臺區(qū)校級模擬)設(shè)有限集合U={a?,a2,a3,…,am},其中m≥4,mEN*,非空集合MCU,M=CuM,若存在集合M,使得M,M中的所有元素之和相等，則稱集合U是“可拆等和集”,則下列說法正確的有①集合U={1,2,4,…,22025}不是“可拆等和集”②若集合U={-1,2,5,k}是“可拆等和集”,則k的取值共有6個③存在公比為正整數(shù)，且公比不為1的等比數(shù)列{an},使得集合U是“可拆等和集”④若m=4k+3,kEN*,數(shù)列{an}是等差數(shù)列且公差d=a1,則集合U是“可拆等和集”四.解答題(共4小題)兩個集合：①和集A+B={a+b|a∈A,b∈B};②鄰差集D(A)={ak+1-aklk=1,2,.…,|A|-1},其中a1,a2,...,aAI為集合A中元素按照從小到大排列.(1)已知集合A={1,3,5},B={2,4},求ID(A+B)|,ID(A)UD(B)|的值；(2)已知集合A={2"|n=1,2,…,100},B={(1)判斷2+√3,3-√3,0,7+4√3中的哪些元素屬于B;(2)證明：若x∈B,yEB,則xy∈B;(3)證明：若x=m+√3n∈B,則m2-3n2=1.24.(2025·臨沂校級模擬)設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個子集，S、T至少各有兩個元素.對于給定的集合S,若存在滿足如下條件的集合T:①對于任意a、b∈S,若a≠b,都有abET;②對于任意a、b∈T,(1)若集合S1={1,3,9},寫出S1的“K集”Ti(不需要證明);(2)若S2={x1,x2,…,xn}存在“K集”,其中xi<x?<…<xn.當(dāng)x1=1時，求n的最大值；(3)若三元集S?存在“K集”T3,且T3中恰含有4個元素，求證：1∈S?.25.(2025-贛州模擬)對于一個四元整數(shù)集A={a,b,c,d},如果它能劃分成兩個不相交的二元子集{a,(1)寫出集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的一個“有趣的”四元子集：(2)證明：集合{1,2,3,4,5,6,7,8}不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：(3)證明：對任意正整數(shù)n(n≥2),集合{1,2,3,…,4n}不能劃分成n個兩兩不相交的“有趣的”四元子集.一.選擇題(共10小題)題號123456789DDDCDCDBDB二.多選題(共6小題)題號一.選擇題(共10小題)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“”是G上的一個代②對任意的a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(A.G={0,1,2}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B.自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C.實數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D.G={a+√2b|a,b∈Z}關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群【考點】元素與集合關(guān)系的判斷.【專題】新定義；集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類.【分析】反例判斷A,B,C是否滿足④,對于D,對所有的a,b∈G,設(shè)a=x+√2y,b=s+√2t,(x,y,s,t∈Z),求出a+b,依次看是否滿足要求.B:由0∈N且Va∈N,都有0+a=a+0=a,但1∈N,不存在b∈N,使1+b=b+1=0,不正確；①G滿足加法結(jié)合律，即Va,b,c∈G,有(a+b)+c=a+(b+c);③Va∈G,設(shè)a=x+√2y,x,y∈Z,3b=-x-√2y∈G,使a+b=b+a=e,【點評】本題考查了集合的新定義，屬于中檔題.2.(2025·廣東模擬)用C(A)表示非空集合A中元素個數(shù)，定義若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}且A*B=1,則實數(shù)a的所有取值為()A.0【考點】元素與集合關(guān)系的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.【專題】計算題；集合.【答案】D【分析】根據(jù)A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,可知集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，進(jìn)而可得x2+ax=0或x2+ax+2=0,求解即可得a的所有可能值.【解答】解：由于(x2+ax)(x2+ax+2)=0等價于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②,又由A={1,2},且A*B=1,∴集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實根，②無實數(shù)根，2°集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實根，②有兩個相等且異于①的實數(shù)根，解得a=±2√2,【點評】此題是中檔題.考查元素與集合關(guān)系的判斷，以及學(xué)生的閱讀能力和對新定義的理解與應(yīng)用.3.(2025·甘肅校級模擬)對于正整數(shù)集合A={a?,a?,…,an}(n個元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集”,則下列說法正確的是()B.{1,2,3,4,5,6,7}【考點】元素與集合關(guān)系的判斷.【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類.元素之和減去任意一個元素一定為偶數(shù)，根據(jù)此特性分類討即可.【解答】解：對于選項A,當(dāng)集合為時，去掉元素,則不可拆分成符合題意的可分集，故不是“可分集”,故A錯誤.對于選項B,對于集合，去掉1后，其余各數(shù)的和為27,是奇數(shù)，不可能分解成兩個整數(shù)集合的并集，故無法分成兩個交集為空且元素之和相等的集合，所以{1,2,3,4,5,6,7}不是“可分集”,故B錯設(shè)集合A={a?,a?,…,an}(n∈N*,n≥3)所有元素之和為M.由題意可知集合A中除去任意一個元素后所得集合可以分拆成兩個元素和相等各元素都是正整數(shù)的集合，因此，M-ai(i=1,2,3,..,n)均為偶數(shù)，因此M,ai(i=1,2,3,…,n)同為奇數(shù)或同為偶數(shù).(I)當(dāng)M為奇數(shù)時，則ai(i=1,2,3,.…,n)也均為奇數(shù)，由于M=a1+a?+...+an,所以n為奇數(shù).綜上所述，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù).元素個數(shù)的特征，屬于難題.4.(2025·邵陽模擬)對于集合A中的任意兩個元素x,y,若實數(shù)d(x,y)同時滿足以下三個條件：③Vz∈A,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)則稱d(x,y)為集合A上的距離，記為dA,則下列說法錯誤的是()(1)d(x,y)=|x-y為dR;(2)d(x,y)=|sinx-siny|為dR;(4)若d為dR,則ed-1也為dR(為自然對數(shù)的底數(shù)).A.(1)(4)B.(1)(3)C.(【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用；充要條件的判斷.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；創(chuàng)新能力.【答案】C【分析】由dA的定義對選項一一判斷即可得出答案.【解答】解：對于(1),d(x,y)=|x-y|=0,即x=y,②d(x,y)=|x-y=ly-x|=d(y,x),③Vx,y,z∈R,|x-yl=|(x-z)+(z-y)≤x-zl+lz-y|,故(1)正確；對于(2),d(x,y)=|sinx-siny,此時若x=0,y=π,則x≠y,故(2)錯誤；對于(3),d(x,y)=|Inx-Inyl,②d(x,y)=|nx-Iny|=IIny-Inx|=d(y,x),成立；③d(x,y)=lInx-Inyl=|(Inx-Inz)+(Inz-Iny)≤lInx-Inzl+|Inz-Iny=d(x,z)+d(y,z),故成立，故(3)正確；對于(4),設(shè)Vx,yER,d(x,y)=lx-y,則ed(xy)-1=ekx-y+1,①若d(x,y)=0,則x-y|=0,即x=y,ed-1=ekx-yl-1=e?1≠0,故(4)錯誤.【點評】本題主要考查集合新定義，屬于難題.5.(2025·東城區(qū)一模)已知集合A={(x,y)|y=√x2-1},B={(x,y)|y=alx+al}.有兩個元素，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[0,1]D.(0,1)U(1,+∞)【考點】集合交集關(guān)系的應(yīng)用.【專題】集合思想；定義法；集合；邏輯思維.【答案】D【分析】先分析出曲線y=√x2-1表示的是雙曲線x2-y2=在x軸上及上方的所有點，再分情況討論當(dāng)a取不同值時，y=a|x+a|表示的不同曲線，及與曲線y=√x2-1的交點個數(shù)情況即可得到結(jié)果.【解答】解：因為A∩B有且只有兩個元素，對于曲線y=√x2-1變形可得x2-y2=1(y≥0),表示的是雙曲線x2-y2=在x軸上及上方的所有點，與x2-y2=1(y≥0)交于(1,0),(-1,0)兩點，符合題意；與x2-y2=1(y≥0)僅有(-1,0)一個交點，如下圖所示，所以a=1不符合題意；②當(dāng)0<a<1時，y=a|x+a|與x軸的交點為(-a,0),-aE(-1,0),且y=a(x+a)的斜率a∈(0,1),y=-a(x+a)的斜率-aE(-1,0),而雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線為y=±x,斜率分別為1和-1,所以y=a|x+a|與x2-y2=1(y≥0)的左右兩支各有一個交點，如下圖所示，所以0<a<1符合題意；③當(dāng)a>1時，y=a|x+a|與x軸的交點為(-a,0),-a<-1,且y=a(x+a)的斜率a>1,y=-a(x+a)的斜率-a<-1,而雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線為y=±x,斜率分別為1和-1,所以y=a|x+a|與x2-y2=1(y≥0)的右支沒有交點，與左支有兩個交點，如下圖所示，所以a>1符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(0,1)U(1,+0).【點評】本題考查集合的綜合應(yīng)用，屬于難題.6.(2025·安徽模擬)若集合A={x|(x-3)(x-20)<0},B={x|x為質(zhì)數(shù)},則A∩B中元素的個數(shù)為()A.4【考點】求集合的交集.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解.【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解.【解答】解：集合A={x|(x-3)(x-20)<0}={x|3<x<20},B={x|x為質(zhì)數(shù)},則A∩B={5,7,11,13,17,19},故A∩B中元素的個數(shù)為6.【點評】本題考查一元二次不等式的解集與集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.7.(2025·贛州模擬)設(shè)集合A={-1,0,1},B={(x1,x2,x3,x4,x5)么集合B中滿足1≤xil+|x2l+【考點】集合中元素個數(shù)的最值；元素與集合關(guān)系的判斷.【專題】整體思想；綜合法；集合；排列組合；運(yùn)算求解.即指x?,x2,x?,x4,x5中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3,故滿足條件的元素的個數(shù)為C1×2+C弓×22+C3×23=10+40+80=130(個),【點評】本題以集合為載體，主要考查了組合數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.8.(2025·沙坪壩區(qū)校級模擬)已知集合AUBUC={b1,b2,b3,b4,b5},且B∩C={b1,b,b3},則集合A,B,C所有可能的情況種數(shù)為()【考點】求集合的交集.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解.【分析】設(shè)初始狀態(tài)為b1,b2,b?EB,b1,b2,bEC,A=?,將b1,b2,b3,b4,b5放入三個集合，得出b?,b?,b?,b4,b5每一個元素的放法數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理，即可得答案.【解答】解：集合AUBUC={b1,b2,b3,b4,b5},且B∩C={b1,b2,b3},設(shè)初始狀態(tài)為b?,b2,b?∈B,bi,b2,b?∈C,A=?,現(xiàn)將b1,b2,b3,b4,b5放入三個集合，b?有兩種放法，放在集合A或不放集合A;對于b4,分兩種情況：放在集合A或不放集合A;當(dāng)b4放在集合A,可以不放集合B與集合C中，也可以放在其中一個集合，但不能同時放在集合C,B中，共3種放法；當(dāng)b4不放在集合A,必須放在集合B或集合C中，共2種放法；故對于b?,共有5種放法；b?同b4,共有5種放法；【點評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于中檔題.A.{al-4<a<4}B.{a|-2<a<2}C.{-4,4}D.{al【考點】并集及其運(yùn)算.【專題】集合.【分析】根據(jù)A與B的并集為A,得到B為A的子集，分B為空集與不為空集兩種情況考慮，分別求【解答】解：由AUB=A得，BSA,則B=?或B≠?,①若B={-2},表明x2-ax+4=0有兩個相等的實根-2,則(-2)2-a×(-2)+4=0,則a②若B={2},表明x2-ax+4=0有兩個相等的實根2,則22-a×2+4=0,解得a=4,滿足△=a2-16=0;③若B={-2,2},表明x2-ax+4=0有兩個的實根-2和2,A中的點，則T中的元素個數(shù)最小值是()要求即可.當(dāng)a=1或3時，取Q(2,6);當(dāng)a=2或4時，取Q(3,6);有公因子2(或由于P、Q橫坐標(biāo)之差為±1,故PQ內(nèi)部無整點；當(dāng)a=5,b∈{1,3,5}時，取Q(3,6),此時橫坐標(biāo)之差為2,縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素；當(dāng)a=5,b∈{2,4}時，取Q(2,6),此時橫坐標(biāo)之差為3,縱坐標(biāo)之差為-4,-2,二者互素；綜上，T中的元素個數(shù)最小值是2.【點評】本題考查集合新定義，考查集合的表示方法，屬于中檔題.二.多選題(共6小題)(多選)11.(2025·新鄉(xiāng)三模)已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若x,y∈M,下列說法中正確的有()【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系.【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】BC【分析】對于AD,利用反證法可判斷其正誤；對于B,可先判斷1∈M,再結(jié)合性質(zhì)可判斷其正誤；對于C,可先判斷當(dāng)y∈M時，再根據(jù)性質(zhì)可判斷其正誤.B.M是非空集合，若x∈M,,1+1=2∈M,1+2=3∈M,所以2025∈M,B正確；C.因為1∈M,y∈M,所,所,C正確；【點評】本題考查了元素與集合的關(guān)系，是中檔題.(多選)12.(2025·廣東模擬)定對于集合N中的任意兩個元素m,n,定(m,n)具有對稱性.下列判斷正確的是()B.若d(m,n)≥1,則e(m,n)不具有對稱性D.集合N*中不存在三個互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)=3【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；集合；邏輯思維；新定義類.【分析】根據(jù)新定義，逐項計算判斷即可.【解答】解：因為(所以e(1,2)=e(1,3)=1,A因為d(m,n)=d(n,m),所以e(m,n)=e(n,m),B錯誤；設(shè)a,b,c是集合N中三個互不相等的元素，不妨假設(shè)1≤a<b<c,因為e(a,b)≤1,e(b,c)≤1,e(c,a)≤1,所以e(a,b)+e(b,c)+e(c,a則e(a,b)=e(c,a)=1,e(b,c)<1,e(a,b)+e(b,c)所以集合N中不存在三個互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)=3,D正確.【點評】本題考查新定義，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).(多選)13.(2025·郫都區(qū)校級模擬)對于集合S,若存在集合S的兩兩不同的子集A1,A?,.…,Ak,k≥1時，下列說法正確的是()C.當(dāng)ISI=4時，該集合的任意兩條長為4的“鏈”中一定具有相同集合【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】計算題；集合思想；集合；運(yùn)算求解.【答案】AD【分析】通過集合的子集鏈概念，去推斷子集包含關(guān)系、鏈的長度及計數(shù).【解答】解：A選項，設(shè)S={a1,a2,…,an},兩兩不同的子集A1,A2,…,Ak,k≥1,滿足AiSA2C…CAk,故Ak+1中的元素要至少比Ak多一個元素，且Ak+1中元素比Ak中元素多1,所以A1=?,A2={ai},A3={ai,aj},…,Ak=S,B選項，不妨設(shè)Am={1},Aw={2},顯然兩個集合不存在包含關(guān)系，故不能都出現(xiàn)在同一個“鏈”中，B錯誤；C選項，當(dāng)IS|=4時，不妨設(shè){1}≤{1,2}≤{1,2,3}≤{1,2,3,4},上面兩個均為兩條長為4的“鏈”,不具有相同集合，C錯誤；A3={ai,aj}有(n-1)種選擇，以此類推，Ar={ai,aj,…,an}中共有(r-1)個元素，有(n-r+2)種選擇，【點評】本題考查元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.(多選)14.(2025·望城區(qū)校級模擬)若平面點集，滿足：任意點(x,y)∈M,存在正實數(shù)t,都有(tx,ty)∈M,則稱該點集為“t階集”,則下列說法正確的是()B.若M={(x,y)ly=2x}是“t階集”,則t為任意正實數(shù)C.若M={(x,y)|x2≤4y}是“t階集”,則0<≤1【考點】元素與集合關(guān)系的判斷；命題的真假判斷與應(yīng)用.【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】ABC【分析】根據(jù)“t階集”的定義，逐項進(jìn)行判定即可.【解答】解：對于A,階集”,貝,所以t=1,對于B,若M={(x,y)|y=2x}是“t階集”,則ty=2tx,則t為任意正實數(shù)，故B正確；對于C,若M={(x,y)|x2≤4y}是“t階集”,則(tx)2≤4ty,由t>0得出tx2≤4y,當(dāng)0<≤1時，tx2≤x2≤4y,所以tx2≤4y,當(dāng)t>1時，取x=1,y=0.25,滿足x2≤4y,但是tx2=t>1=4y,所以為使x2≤4y成立時，tx2≤4y,正實數(shù)t的取值范圍是0<≤1,故C是正確；對于D,若M={(x,y)|y≥√x}是“t階集”,則ty≥√tx,【點評】本題是新定義題型，通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，是中檔題.(多選)15.(2025·鄭州模擬)群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，群的定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“”是G上的一個代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對任意的a,b∈G,有a·b∈G;②對任意的a,b,任意的a∈G,存在b∈G,使a-b=ba=e,稱a與b互為逆元.則稱G關(guān)于“”新構(gòu)成一個群.則下列說法正確的有()A.G={-1,1,-i,i}(i為虛數(shù)單位)關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B.有理數(shù)集Q關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C.G={a+√2b|a,b∈Z}關(guān)于數(shù)的除法構(gòu)成群D.正實數(shù)集R+關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群【考點】元素與集合關(guān)系的判斷.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解；新定義類.【分析】依據(jù)群的定義，對每個選項中的集合和相應(yīng)運(yùn)算進(jìn)行逐一分析，判斷是否滿足群的四個條件，進(jìn)而確定該集合關(guān)于給定運(yùn)算是否構(gòu)成群.【解答】解：對A:∵G={-1,1,-i,i},又任意兩個元素的乘積結(jié)果都屬于集合G,存在e=1∈G,對于Va∈G,當(dāng)a=-1時，1×(-1)=(-1)×1=-1.集合G也滿足逆元，關(guān)于數(shù)的乘法能夠構(gòu)成群，故A正確.∵對于任意兩個有理數(shù)，它們的和仍為有理數(shù)；有理數(shù)的加法也滿足結(jié)合律.存在e=0∈Q,對于Va∈Q,有0+a=a+0=a.對于任意的a∈Q,存在b=-a∈Q,使得a+(-a)=(-a)+a=0.∴有理數(shù)集Q關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，故B正確.有∈G(c∈G),∴不滿足封閉性，故C錯誤.∵任意兩個正實數(shù)的乘積仍然是正實數(shù)；實數(shù)的乘法滿足結(jié)合律.滿足a·b=b·a=e.故D正確.【點評】本題考查新定義問題，屬于難題.(多選)16.(2025·小店區(qū)校級模擬)已知n∈N*,記IA|為集合A中元素的個數(shù)，min(A)為集合A中的最小元素.若非空數(shù)集AS{1,2,.…,n},且滿足IA|≤min(A),則稱集合A為“n階完美集”.記an為全部n階完美集的個數(shù)，下列說法中正確的是()B.將n階完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是n+1階完美集【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類.結(jié)論的正確性.【解答】解：由題意nEN*,記A為集合A中元素的個數(shù)，min(A)為集合A中的最小元素.若非空數(shù)可得當(dāng)非空數(shù)集A是{1,2,3,4},子集中含1個元素的子集時，|A|=1,根據(jù)“n階完美集”的定義，{1,2,3,4}中大于等于1的數(shù)有1、2、3、4共4個，當(dāng)非空數(shù)集A是{1,2,3,4},子集中含2個元素的子集時，IA|=2,{1,2,3,4}中大于等于2的數(shù)有2、3、4共3個，所以此時A可以是{2,3}、{2,4}、{3,4},當(dāng)非空數(shù)集A是|1,2,3,4},子集中含3個元素的子集時，|A|=3,{1,2,3,4}中大于等于3的數(shù)有3、4共2個，不滿足“n階完美集”的定義，所以{1,2,3,4}中3個元素的子集不滿足.同理，{1,2,3,4}中含4個元素的子集也不滿足.綜上，4階完美集有{1}、{2}、{3}、{4}、{2,3}、{2,4}、{3,4},所以a4=7,故A正確；若將“n階完美集”A中元素全部加1,A中元素個數(shù)不變，但min(A所以滿足條件的集合A要排除掉“n+1階完美集”中只含有1個元素的情形(排除n+1個單元素集合),因此滿足條件的集合，A的個數(shù)均為an+1-(n+1)=an+1-n-1,故C錯誤，D正確.【點評】本題考查了集合新定義問題，是難題.三.填空題(共5小題)17.(2025-浦東新區(qū)校級模擬)設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個相乘所得均為5的倍數(shù)，則A的元素個數(shù)最多為137·【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】三位數(shù)中的5的倍數(shù)分個位是0和個位是5討論即可.【解答】解：由題意集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個相乘所得均為5可得集合中且至多只有一個不是5的倍數(shù)，其余均是5的倍數(shù).首先討論三位數(shù)中的5的倍數(shù)，①當(dāng)個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有A3=72個；②當(dāng)個位為5時，則百位有C個數(shù)字可選，十位有C個數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理這樣的5的倍數(shù)共有CC=64個，最后再加上單獨的不是5的倍數(shù)的數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為72+64+1=137個.故答案為：137.【點評】本題考查了集合元素個數(shù)問題，是中檔題.18.(2025·浦東新區(qū)校級模擬)已知q>0,對任意正整數(shù)n,令Jn={存在n,使得Jn=[an,bn]U[cn,dn]U[xn,yn],且bn<cn<dn<xn<yn,則q的取值范圍是(1,2)【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】集合思想；綜合法；定義法；集合；邏輯思維；運(yùn)算求解；新定義類.【答案】(1,2).【分析】分析x,y的各種情況下x+y的取值范圍，然后考慮所得三個取值范圍互相分離的條件，得出存在正整數(shù)n符合題意的條件下的實數(shù)a的取值范圍.【解答】解：Jn由以下四種情況的x+y組成：當(dāng)x,y∈[q2n,q2n+1時，此時x+y∈[所以an=2qn,bn=2qn+1,Cn=qn+q2n,dn=qn+1+q2n+1,xn=2q2n,yn=2q2n+1,兩邊同時除以2q",得q>1,所以2-q>0且所以1<q<2,此時當(dāng)n→+∞時，q"→+∞,故必存在正整數(shù)n,同時滿足①②,所以q的取值范圍是區(qū)間(1,2).故答案為：(1,2).【點評】本題屬于集合新定義，考查了分類討論思想、集合思想，屬于中檔題.19.(2025·泰安四模)對于任意的非空數(shù)集A,定義W(A)=(Ⅱ(B)|BSA,B≠?非空數(shù)集B中所有元素的乘積，特別地，如果B={x},π(B)=x.若M={a1,a2,a3,a4,a5},其中ai(i=1,2,3,4,5)是正整數(shù).則集合W(M)中元素個數(shù)的最小值為11【考點】集合中元素個數(shù)的最值.【專題】計算題；整體思想；分析法；集合；運(yùn)算求解；新定義類.【答案】11.【分析】根據(jù)已知新定義，當(dāng)集合M中的數(shù)字構(gòu)成等比數(shù)列時，W(M)中元素個數(shù)最小，然后求最值即可.【解答】解：不妨設(shè)ai<a2<a3<a4<a5,顯然所以集合W(M)中元素個數(shù)的最小值為11.故答案為：11.【點評】本題考查集合中元素個數(shù)的最值，屬于中檔題.20.(2025·金山區(qū)校級三模)已知A={z1∈Cllz1-2i1],y∈[0,1]},(其中i為虛數(shù)單位),若E={zlz=z1+z2,zi∈A,z2∈B},F={z∈CIlz|=a,a>0},且滿【考點】求集合的交集；復(fù)數(shù)的模.【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】[√2-1,2√5+1].【分析】集合A表示以(0,2)為圓心，半徑為1的圓，集合B表示以(0,0),(2,2),(2,-2),(4,0)為頂點的正方形區(qū)域，集合E表示將圓A沿著正方形B的區(qū)域平移所得到的區(qū)域，集合F表示復(fù)平面內(nèi)以原點為圓心，a為半徑的圓.由ENF≠?,得a的取值范圍是集合E中所有復(fù)數(shù)模的取值范圍.【解答】解：集合A表示以(0,2)為圓心，半徑為1的圓，集合B表示以(0,0),(2,2),(2,-2),(4,0)為頂點的正方形區(qū)域，集合E表示將圓A沿著正方形B的區(qū)域平移所得到的區(qū)域，集合F表示復(fù)平面內(nèi)以原點為圓心，a為半徑的圓.∵ENF≠?,a的取值范圍是集合E中所有復(fù)數(shù)模的取值范圍，如圖，過原點作邊界線垂線，垂足對應(yīng)復(fù)數(shù)的模取最小值√2-1連接原點和點(2,4)并延長交圓(x-2)2+(y-4)2=1于一點，該點對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模取最大值2√5+1,故實數(shù)a的取值范圍是[√2-1,2√5+1].故答案為：[√2-1,2√5+1].【點評】本題考查集合的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.21.(2025·豐臺區(qū)校級模擬)設(shè)有限集合U={a1,a2,a3,…,am},其中m≥4,mEN*,非空集合M≌U,M=CuM,若存在集合M,使得M,M中的所有元素之和相等，則稱集合U是“可拆等和集”,則下列說法正確的有①②④·①集合U={1,2,4,…,22025}不是“可拆等和集”②若集合U={-1,2,5,k}是“可拆等和集”,則k的取值共有6個③存在公比為正整數(shù)，且公比不為1的等比數(shù)列{an},使得集合U是“可拆等和集”④若m=4k+3,kEN*,數(shù)列{an}是等差數(shù)列且公差d=a1,則集合U是“可拆等和集”【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系.【答案】①②④.即可判斷①項；列舉法即可判斷②項；將U中所有元素同時除以a1=2后可得U?={1,q,q2,…,qm-1},然后根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式計算，然后根據(jù)qm-1分類，即可判斷③項；根據(jù)等差數(shù)列的性從中剔除ak+1+a3k+3之后，從剩余的數(shù)據(jù)中選出【解答】解：對于①項，1,2,4,…,22025構(gòu)成了以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，且1+2+4+…+22024=22025-1<22025,中所有元素之和也小于22025,不滿足要求；當(dāng)M含有22025以及22025之外的其余元素時，也不滿足要求.如果M={5},則由“可拆等和集”此時因集合U={-1,2,5,k}已含有元素2,故舍去；綜上可知：k可取6個值，分別為-8,-2,-4,6,4,8,②正確；對于③項，將U中所有元素同時除以a1=2后可得U?={1,q,q2,…,qm-1},由等比數(shù)列前n項和公式可得1又因為q≥2,所以q-1≥1,故當(dāng)M1含有qm-1以及qm?1之外的其余元素時，也不滿足要求，顯然同時乘以a1=2后還是不滿足.對于④項，易知集合U中的元素個數(shù)為4k+3,kEN*,共有(剩余元素為a2k+2),從中剔除ak+1+a3k+3之后從這2k組相同的數(shù)據(jù)中任意選出k組，將對應(yīng)的元素分到集合M中；不妨將ak+1,a2k+2這兩個元素也分到集合M中，滿足M,M中的元素之和相等，④正確.故選：①②④.【點評】本題借助集合考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.四.解答題(共4小題)22.(2025·武昌區(qū)模擬)用符號A|表示集合A中元素的個數(shù).對于實數(shù)集合A和B,且IA|≥2,|B≥2,定義兩個集合：①和集A+B={a+bla∈A,b∈B};②鄰差集D(A)={ak+1-aklk=1,2,…,|A|-1},其中a1,a2,..,aAI為集合A中元素按照從小到大排列.(3)若A與B都是由m(m≥3,mEN*)個實數(shù)構(gòu)成的集合，證明：A|+B|=2m-1UD(B)|=1.【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)和集和鄰差集定義直接求解即可；(2)考慮21+4=2?+2?(*),分別討論t≥51和≤50的情況，由集合中元素的性質(zhì)與和集的定義可得結(jié)(3)根據(jù)A|與和集的定義易證得充分性；設(shè)集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bm},其中ai<a2<...<am,bi<b?<…<bm,可確定A+B中所有的元素，可證得a2-a?=b2-b1;推廣可得a?+bk=a1+bk+1由此可得必要性.【解答】解：(1)∵A={1,3,5},B={2,4},∴A+B={3,5,7,9},∴D(A+B)={2},D(A)={2},D(B)={2},∴D(A+B)|=1,[D(A)U(2)考慮21+4=2?+4t(*),不妨設(shè)j<t,則i>s,①當(dāng)t≥51時，4t-(4+2i)≥4′-4t-1-2i=3·4t-1-21≥3×45?-2100>0,此時(*)式不成立；②當(dāng)≤50時，若i>2t,則2i-(2?+4)≥2i-2i-1-4=2i-1-4≥22-22=0,此時(*)式不成立；此時(*)式也不成立；若i=2t,則取s=2j,此時(*)式成立，(3)充分性的證明：當(dāng)D(A)UD(B)|=1時，不妨設(shè)D(A)=D(B)=yyeukqk,其中ai<a2<..<am,bi<b?<..<bm{an},A+B={ai+b1,a1+bi+d,…,a1+b1+2(mA+B里面的元素也是公差為d的等差數(shù)列，∴A+B|=2m-1;其中ai<a?<...<am,bi<b?<...<bm,則a?+bi<a2+bi<...<am+bi<am+b?<...<am+bm,這里共2m-1個不同元素，這里共2m-1個不同元素，也為和集A+B中的所有元素，一般地，由a?+bi<a?+b?<...<a?+bk<a2+bk<...<am+bk<am+bk+1<..<am+bm,可得a2+bk=a?+bk+1,即a2-a?=bk+1-bk(1≤k≤m-1),同理可得：b2-b1=ak+1-ak(1≤k≤m-1),得證.【點評】本題考查元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用，屬于難題.(1)判斷2+√3,3-√3,0,7+4√3中的哪些元素屬于B;(2)證明：若x∈B,yEB,則xy∈B;(3)證明：若x=m+√3n∈B,則m2-3n2=1.【考點】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.【專題】應(yīng)用題；綜合法；集合；運(yùn)算求解.【答案】(1)2+√3∈B,7+4√3∈B;(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)所給定義判斷元素的倒數(shù)是否屬于A即可；(2)先證明若x∈A,y∈A,則xy∈A,即可得到A從而得證；(3)依題意可得∈A從而求出m2-3n2=±1,再說明m2-3n2≠-1即可.【解答】解：(1)因,所以2+√3∈B;因為0沒有倒數(shù)，所以0∈B;因所以7+4√3∈B;綜上可得2+√3∈B,7+4√3∈B;(2)證明：若x∈A,y∈A,則xy∈A;設(shè)x=s+√3t,y=p+√3q,S,t,p,q為整數(shù)，由于sp+3tq,sq+tp都是整數(shù)，所(3)證明：因為x=m+√3n∈B,則m2+1=9k2+6k+2=3(3k2+2k)+2不是3的倍數(shù)；若m=3k+2,則m2+1=9K2+12k+5=3(3k2+4k+1)+2不是3的倍數(shù)；(2)若S?={x1,x2,…,xn}存在“K集”,其中xi<x?<…<xn.當(dāng)x1=1時，求n的最大值；(2)根據(jù)定義，通過x1=1,得到S?={1,x?,x2,…,x2-1},即可求解.【解答】解：(1)根據(jù)題意，若S?={1,3,9},則有1×3=3∈T,1×9=9∈T,3×9=27∈T,即3,9,27∈T,若t<3,即,則,∴不成立；若t>3,則1,∴t=3或9或27,矛盾.(2)S?={x?,x?,…,xn}≌N*,x?,x?,…,Xn∈N*,其中xi<x?<…<xn,當(dāng)x1=1,可得S?={1,x?,x2,…,x2-1},所以2n-4≤n-1,即n≤3.所以n的最大值為3.設(shè)集合S?={a1,a2,a3},故a?a?=a2∈T,即a?,a2,a(1)寫出集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的一個“有趣的”四元子集：(2)證明：集合{1,2,3,4,5,6,7,8}不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：元子集.【答案】(1){1,2,3,5}(符合要求即可);(2)證明見解析.(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)四元整數(shù)集定義寫出即可；(3)假設(shè){1,2,…,4n}可以劃分為n個兩兩不相交的“有趣的”四元子集S1,S2,…,Sn,再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可.【解答】解：(1){1,2,3,5}(符合要求即可);(2)證明：假設(shè)可以劃分，∴a,b,c,d中至多兩個偶數(shù).則對于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一種符合要求的劃分{a1,b1,C1,d1}和{a2,b,c2,dz},每個四元子集中均有兩個偶數(shù).若兩個集合分別為{2,4,cl,d1}和{6,8,c2,d2},則c2d2=47或49,不存在c2,d2使得{6,8,c2,d2}符合要求；若兩個集合分別為{2,6,c1,d1}和{4,8,c2,d2},則cid1=11或13,不存在c1,d1使得{2,6,c1,d1}符合要求；若兩個集合分別為{2,8,c1,d1}和{4,6,c2,d2},則c2d2=23或25,不存在c2,d2使得{4,6,c2,d2}符合要求；綜上所述，{1,2,3,4,5,6,7,8}不能劃分為兩個不相交的“有趣的”四元子集，(3)假設(shè){1,2,…,4n}可以劃分為n個兩兩不相交的“有趣的”四元子集S1,S2,…,Sn.∵每個子集中至多兩個偶數(shù)，又1,2,…,4n中恰有2n個偶數(shù)，∴對于1≤i≤n,可設(shè)Si={ai,bi,Ci,di},其中ai,再由奇偶性，只能是aibi-cidi=±1.且{a1,b1,a2,b2,…,an,bn}={2,4,…4n},{c1,d1,c2,d2,∴2·4…4n=a1·b1·a2·b?…an·bn<(c1+1)(d1+1)(c?+1)(d?+1)…(cn+1)(dn+1)=2.4…4n,【點評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于難題.【知識點的認(rèn)識】一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集.元素一般用小寫字母a,A(1)確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的.即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合.(2)互異性：集合中的元素必須是互異的.對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的.這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素.(3)無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān).這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系.【命題方向】典例1:已知集合A={x|x=m2-n2,meZ,n∈Z}.求證：(2)偶數(shù)4k-2(k∈Z)不屬于A.分析：(1)根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；(2)用反證法，假設(shè)屬于A,再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論.解答：解：(1)∵3=22-12,3∈A;∴(m-n)(m+n)為4的倍數(shù)，與4k-2不是4的倍數(shù)矛盾.∴(m-n)(m+n)為奇數(shù)，與4k-2是偶數(shù)矛盾.綜上4k-2∈A.點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷.分類討論的思想.題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù).典例2:已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求實數(shù)a的值.分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a=3,求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可.解答：解：因為3∈A,所以a+2=3或2a2+a=3...(2分)此時A={3,3},不合條件舍去，...(7分)當(dāng)2a2+a=3時，a=1(舍去)可,...(10分),成立…(12分)點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力.【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.2.判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集.元素一般用小寫字母a,b,c表示，集合一般用大寫字母A,B,C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或【解題方法點撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍.驗證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件.符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合.【命題方向】驗證元素是否是集合的元素(2)偶數(shù)4k-2(k∈Z)不屬于A.分析：(1)根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；(2