2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模初步實踐試題（二）一、單項選擇題（每題3分，共30分）數(shù)學(xué)建模過程中，用于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵步驟是（）A.數(shù)據(jù)收集B.模型假設(shè)C.問題分析D.模型檢驗在研究校園共享單車停放點優(yōu)化問題時，下列哪項不屬于建模的必要假設(shè)（）A.忽略極端天氣對用車需求的影響B(tài).假設(shè)學(xué)生用車時間服從均勻分布C.固定單車總數(shù)量不變D.精確統(tǒng)計每個停放點的歷史使用數(shù)據(jù)某同學(xué)用線性回歸模型預(yù)測校園圖書館周末人流量，其決定系數(shù)R2=0.85，表明（）A.85%的變量可以通過模型解釋B.預(yù)測值與實際值的誤差為15%C.模型的顯著性水平為0.85D.自變量與因變量呈正相關(guān)下列問題中適合用層次分析法解決的是（）A.預(yù)測未來3年學(xué)校招生人數(shù)B.評選校園十大科技發(fā)明作品C.模擬流感在班級內(nèi)的傳播路徑D.計算教學(xué)樓電梯最佳運行效率在數(shù)學(xué)建模中，蒙特卡洛方法的核心思想是（）A.通過迭代優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)B.利用隨機抽樣模擬概率過程C.對數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化處理D.將復(fù)雜問題分解為子問題某食堂為優(yōu)化配餐方案，收集了100名學(xué)生的午餐消費數(shù)據(jù)，其中"套餐類型"屬于（）A.定量數(shù)據(jù)B.定類數(shù)據(jù)C.定序數(shù)據(jù)D.時間序列數(shù)據(jù)用Excel進行數(shù)據(jù)可視化時，最適合展示校園各區(qū)域垃圾桶分布密度的圖表類型是（）A.折線圖B.餅圖C.散點圖D.熱力圖在建立傳染病傳播模型時，若假設(shè)"每個患者每天傳染2人，傳染期為3天"，則病例數(shù)增長模型應(yīng)為（）A.指數(shù)增長模型B.Logistic增長模型C.SI模型D.SIR模型數(shù)學(xué)建模論文中，模型檢驗部分不需要包含的內(nèi)容是（）A.改變關(guān)鍵參數(shù)后的結(jié)果對比B.與實際數(shù)據(jù)的誤差分析C.模型的適用范圍說明D.編程代碼的詳細(xì)注釋下列關(guān)于數(shù)學(xué)建模的說法正確的是（）A.模型越復(fù)雜越接近實際問題B.優(yōu)秀模型必須通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)證明C.同一問題只能建立一種數(shù)學(xué)模型D.建模結(jié)果需要結(jié)合實際背景解釋二、填空題（每空2分，共20分）數(shù)學(xué)建模的基本流程包括：選題→→模型構(gòu)建→→模型改進。某班級50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，平均值168cm，標(biāo)準(zhǔn)差5cm，理論上身高在158-178cm之間的學(xué)生約有______人。在研究"教室照明節(jié)能方案"時，若將照明亮度分為"明亮/適中/較暗"三個等級，這種數(shù)據(jù)類型屬于______數(shù)據(jù)。用Python繪制函數(shù)圖像時，需導(dǎo)入的基礎(chǔ)可視化庫是______。校園快遞柜選址問題中，若要使所有宿舍到快遞柜的平均距離最小，應(yīng)采用______模型求解。某同學(xué)用Z-score標(biāo)準(zhǔn)化處理考試成績，若原始成績85分，班級平均分75分，標(biāo)準(zhǔn)差10分，則標(biāo)準(zhǔn)化后得分為______。建立數(shù)學(xué)模型時，對"校園池塘水質(zhì)變化"問題進行簡化，可忽略______（列舉2個次要因素）。三、簡答題（每題10分，共20分）簡述用數(shù)學(xué)建模方法解決"校園垃圾分類推廣效果評估"問題的主要步驟，并說明每個步驟的具體任務(wù)。某中學(xué)計劃在操場周邊種植樹木，需考慮遮陽效果、種植成本和維護難度三個因素。請設(shè)計一個包含5個評價指標(biāo)的層次結(jié)構(gòu)模型，并說明各指標(biāo)的量化方法。四、建模應(yīng)用題（共40分）校園自習(xí)室座位預(yù)約系統(tǒng)優(yōu)化問題背景：某校圖書館自習(xí)室現(xiàn)有座位200個，實行線上預(yù)約制。近期學(xué)生反映"預(yù)約難"和"座位利用率低"的矛盾突出，表現(xiàn)為：高峰期（考前2周）預(yù)約成功率不足30%，大量學(xué)生早起搶座非高峰期座位空置率達(dá)40%，存在"占座不使用"現(xiàn)象系統(tǒng)顯示的"可用座位"與實際情況不符數(shù)據(jù)資料：近3個月自習(xí)室使用記錄（部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1）學(xué)生問卷調(diào)查顯示：75%的學(xué)生單次自習(xí)時長集中在1-3小時60%的學(xué)生希望預(yù)約系統(tǒng)允許臨時取消45%的學(xué)生認(rèn)為"座位鎖定15分鐘未到"應(yīng)自動釋放任務(wù)要求：（1）建立數(shù)學(xué)模型分析當(dāng)前座位預(yù)約系統(tǒng)存在的主要問題（15分）（2）設(shè)計改進方案，包括：合理的預(yù)約時段劃分（建議分為3-5個時段）座位釋放機制的數(shù)學(xué)規(guī)則高峰期座位分配的優(yōu)化策略（15分）（3）用Python或Excel工具對改進方案進行模擬驗證，要求：至少展示2組對比數(shù)據(jù)（如預(yù)約成功率、座位周轉(zhuǎn)率）分析模型的局限性及改進方向（10分）表1：自習(xí)室使用情況抽樣數(shù)據(jù)（單位：個/小時）|時間段|周一至周五|周六|周日||----------|------------|------|------||8:00-10:00|180|150|120||10:00-12:00|190|170|160||14:00-16:00|170|160|150||16:00-18:00|150|140|130||19:00-22:00|195|185|175|五、開放性建模題（共30分）校園雨水花園設(shè)計問題背景：為響應(yīng)"海綿校園"建設(shè)，學(xué)校計劃在教學(xué)樓之間的空地（長50米，寬30米）修建雨水花園，用于：收集地表徑流，減少內(nèi)澇風(fēng)險凈化雨水，用于綠化灌溉改善校園生態(tài)環(huán)境基礎(chǔ)數(shù)據(jù)：當(dāng)?shù)亟涤晏卣鳎耗杲涤炅?200mm，最大小時降雨量50mm土壤滲透系數(shù)：0.02m/h（黏土），0.15m/h（沙土）植物選型：鳶尾（耐淹）、紫薇（耐旱）、麥冬（適應(yīng)性強）任務(wù)：（1）建立雨水花園的水量平衡模型，需考慮：降雨量、蒸發(fā)量、滲透量的關(guān)系不同土壤配比（黏土:沙土=1:1,1:2,2:1）對滲透效果的影響雨水收集量與灌溉需求的匹配關(guān)系（10分）（2）設(shè)計花園平面布局，要求：劃分至少3個功能區(qū)域（如沉淀池、植被區(qū)、蓄水溝）用坐標(biāo)法描述關(guān)鍵區(qū)域的尺寸和位置計算不同區(qū)域的面積占比（10分）（3）撰寫500字的設(shè)計方案摘要，包含：模型的核心假設(shè)與參數(shù)預(yù)期效益（量化指標(biāo)）施工注意事項（10分）六、實踐操作題（共20分）使用Python完成以下任務(wù)：讀取"校園一卡通消費數(shù)據(jù).csv"，篩選出2025年3月的餐飲消費記錄統(tǒng)計各食堂的日均消費人次和客單價（人均消費金額）繪制工作日與周末的消費高峰時段對比圖建立簡單的線性回歸模型，預(yù)測4月份第一周的總餐飲收入（注：數(shù)據(jù)文件結(jié)構(gòu)包含：消費日期、消費時間、食堂編號、消費金額、學(xué)號）提交要求：提交Python代碼（需添加必要注釋）輸出結(jié)果需包含：各食堂的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表可視化圖表（建議用matplotlib或seaborn庫）預(yù)測模型的R2值和4月份第一周收入預(yù)測值參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要說明）一、單項選擇題1.C2.D3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.D10.A二、填空題模型假設(shè)模型求解42（提示：正態(tài)分布中μ±2σ區(qū)間概率約95.4%）定序matplotlib重心模型（或P-中心模型）1.0水溫變化、水生生物活動（合理即可）三、簡答題（要點）步驟包括：問題界定：明確評估指標(biāo)（如垃圾分類準(zhǔn)確率、參與率）數(shù)據(jù)收集：設(shè)計問卷、觀察記錄、訪談法模型構(gòu)建：層次分析法（評估指標(biāo)體系）或統(tǒng)計模型（影響因素分析）模型檢驗：對比推廣前后的垃圾減量數(shù)據(jù)層次結(jié)構(gòu)模型示例：目標(biāo)層：最佳樹木種植方案準(zhǔn)則層：遮陽效果（夏季降溫率）、成本（元/平方米）、維護難度（人工小時/月）方案層：鳶尾、紫薇、麥冬四、建模應(yīng)用題評分要點（1）問題分析模型：計算各時段座位周轉(zhuǎn)率=實際使用時長/預(yù)約時長建立"供需比"指標(biāo)=預(yù)約人數(shù)/可用座位數(shù)分析"時間碎片"現(xiàn)象（預(yù)約時長與實際使用時長的偏差）（2）改進方案示例：時段劃分：7:00-10:00、10:30-13:30、14:00-17:00、17:30-22:00釋放機制：若15分鐘未簽到，系統(tǒng)自動釋放座位，記為"違約"，累計3次限制下周預(yù)約高峰期策略：采用"學(xué)分加權(quán)分配法"，將30%座位優(yōu)先分配給學(xué)業(yè)壓力大的高年級學(xué)生（3）模擬驗證：對比指標(biāo)：改進前后的座位利用率（建議提升≥25%）敏感性分析：調(diào)整"違約懲罰閾值"對預(yù)約成功率的影響五、開放性建模題評分要點（1）水量平衡模型：核心公式：收集量=降雨量×匯水面積×徑流系數(shù)滲透量=滲透系數(shù)×?xí)r間×面積蒸發(fā)量參考當(dāng)?shù)貧庀髷?shù)據(jù)（2）平面布局示例：沉淀池（5m×5m）、植被區(qū)（40m×20m）、蓄水溝（寬1m，環(huán)繞植被區(qū)）坐標(biāo)描述：以西南角為原點，沉淀池（0,0）-（5,5），植被區(qū)（5,5）-（45,25）（3）方案摘要需包含：關(guān)鍵參數(shù)：設(shè)計降雨量50mm/h，土壤配比1:2（黏土:沙土）效益指標(biāo)：年節(jié)水300m3，減少內(nèi)澇風(fēng)險60%注意事項：植物種植間距≥0.5m，定期清理沉淀池六、實踐操作題評分要點代碼規(guī)范性（變量命名、注釋完整性）數(shù)據(jù)處理正確性（缺失值處理、異常值剔除）可視化效果（圖表標(biāo)題、坐標(biāo)軸標(biāo)簽、圖例完整性）模型合